【教育资料】第三章 3.3.2 第2课时学习精品

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第2课时 线性规划的整数解和非线性规划问题
学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性规划的最优解. 知识点一 非线性约束条件
思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法,画出约束条件(x -a )2+(y -b )2≤r 2的可行域.
答案
梳理 非线性约束条件的概念:约束条件不是二元一次不等式,这样的约束条件称为非线性约束条件.
知识点二 非线性目标函数
思考 在问题“若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪

x +y ≥6,x ≤4,
y ≤4,求z =y -1
x -1
的最大值”中,你能仿照目标函数z =
ax +by 的几何意义来解释z =
y -1
x -1
的几何意义吗? 答案 z =y -1
x -1的几何意义是点(x ,y )与点(1,1)连线的斜率.
梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.
1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(√)
2.目标函数z =x 2+y 2的几何意义为点(x ,y )到点(0,0)的距离.(×)
3.目标函数z =ax +by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax +by -z =0在y 轴上的截距.(×) 类型一 生活实际中的线性规划问题
例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品,其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时,装配加工1小时,每件甲种家电的利润为200元;每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时,在电器方面加工2小时,装配加工1小时,每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时,可用于电器方面加工的能力为每天24小时,可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件,可使获取的利润最大?(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题
解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件,y 件,获取的利润为z 百元,
则z =2x +y (百元),⎩⎪⎨⎪⎧ 6x +2y ≤24,
x +y ≤5,5y ≤15,
x ,y ∈N ,
即⎩⎪⎨⎪⎧
3x +y ≤12,
x +y ≤5,
y ≤3,x
,y ∈N ,
作出可行域,如图阴影部分中的整点,
由图可得O (0,0),A (0,3),B (2,3),C ⎝⎛⎭⎫
72,32,D (4,0).
平移直线y =-2x +z ,又x ,y ∈N ,所以当直线过点(3,2)或(4,0)时,z 有最大值.
所以工厂每天制造甲种家电3件,乙种家电2件或仅制造甲种家电4件,可获利最大. 反思与感悟 在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可以运用列举法验证求最优整数解,或者运用平移
直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.
跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌子和椅子的总数尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌子、椅子各买多少才是最好的选择?
考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题
解 设桌子、椅子分别买x 张,y 把,目标函数z =x +y ,把所给的条件表示成不等式组,
即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
50x +20y ≤2 000,
y ≥x ,
y ≤32x ,
x ∈N ,y ∈N .
由⎩⎪⎨⎪⎧
50x +20y =2 000,
y =x ,解得⎩⎨⎧
x =200
7

y =2007,
所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫
2007,2007.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x +20y =2 000,y =32x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧
x =25,y =752,
所以B 点坐标为⎝
⎛⎭⎫25,75
2. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007,2007,B ⎝⎛⎭⎫25,752, O ()
0,0为顶点的三角形区域(含边界)(如图),
由图形可知,目标函数z =x +y 在可行域内经过点B ⎝
⎛⎭⎫25,75
2时取得最大值, 但注意到x ∈N ,y ∈N ,故取⎩⎪⎨⎪⎧
x =25,
y =37.
故买桌子25张,椅子37把是最好的选择. 类型二 非线性目标函数的最值问题
命题角度1 斜率型目标函数
例2 已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,
3x -y -3≤0.
试求z =y +1
x +1的最大值和最小值.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值
解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示, 由于z =y +1x +1=y -(-1)
x -(-1)

故z 的几何意义是点(x ,y )与点M (-1,-1)连线的斜率, 因此y +1x +1的最值是点(x ,y )与点M (-1,-1)连线的斜率的最值,
由图可知,直线MB 的斜率最大,直线MC 的斜率最小, 又∵B (0,2),C (1,0),∴z max =k MB =3,z min =k MC =1
2.
∴z 的最大值为3,最小值为1
2.
引申探究
1.把目标函数改为z =3y +1
2x +1
,求z 的取值范围.
解 z =3
2·y +13x +12,其中k =y +13x +1
2的几何意义为点(x ,y )与点N ⎝⎛⎭⎫-12,-13连线的斜率. 由图易知,k NC ≤k ≤k NB ,即29≤k ≤14
3,
∴13≤3
2
k ≤7,∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13,7. 2.把目标函数改为z =2x +y +1x +1,求z 的取值范围.
解 z =2(x +1)+y -1x +1=y -1
x +1+2.
设k =y -1x +1
,仿例2解得-12≤k ≤1.∴z ∈⎣⎡⎦⎤32,3. 反思与感悟 对于形如cx +dy +f ax +b 的目标函数,可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题.
跟踪训练2 实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪

x ≥1,y ≥0,
x -y ≥0,则z =y -1x
的取值范围是( )
A.[-1,0]
B.(-∞,0]
C.[-1,+∞)
D.[-1,1)
考点 题点 答案 D
解析 作出可行域阴影部分,如图所示,y -1
x 的几何意义是点(x ,
y )与点(0,1)连线l 的斜率,当直线l 过B (1,0)时k l 最小,最小为-1.又直线l 不能与直线x -y =0平行, ∴k l <1.综上,k ∈[-1,1).
命题角度2 两点间距离型目标函数
例3 已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0,
试求z =x 2+y 2的最大值和最小值. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值
解 z =x 2+y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方,
结合图形(例2图)知,原点到点A 的距离最大,原点到直线BC 的距离最小. 故z max =|OA |2=13,z min =⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2
=⎝
⎛⎭⎪⎫2×152=45
.
反思与感悟
当两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时,注意数形结合思想方法的灵活
运用.
跟踪训练3 变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x -4y +3≤0,3x +5y -25≤0,
x ≥1.
(1)设z =y
x ,求z 的最小值;
(2)设z =x 2+y 2,求z 的取值范围;
(3)设z =x 2+y 2+6x -4y +13,求z 的取值范围. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 解 由约束条件
⎩⎨⎧
x -4y +3≤0,3x +5y -25≤0,x ≥1
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,3x +5y -25=0,解得A ⎝
⎛⎭⎫1,22
5; 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x =1,x -4y +3=0,解得C (1,1); 由⎩⎪⎨⎪⎧
x -4y +3=0,3x +5y -25=0,
解得B (5,2). (1)因为z =y x =y -0x -0

所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min =k OB =2
5
.
(2)z =x 2+y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min =|OC |=2,d max =|OB |=29, 即2≤z ≤29.
(3)z =x 2+y 2+6x -4y +13=(x +3)2+(y -2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)
的距离的
平方.结合图形可知,可行域上的点到点(-3,2)的距离中, d min =1-(-3)=4,d max =5-(-3)=8. 所以16≤z ≤64.
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C
解析 设购买软件x 片,磁盘y 盒, 则⎩⎪⎨⎪

60x +70y ≤500,x ≥3,x ∈N *,y ≥2,y ∈N *

画出线性约束条件表示的平面区域,如图
阴影部分(含边界)所示.
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.
2.已知点P (x ,y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x +y ≤4,y ≥x ,
x ≥1,则x 2+y 2的最大值为( )
A.10
B.8
C.16
D.10 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如图(阴影部分含边界)所示,易得A (1,1),|OA |=2, B (2,2),|OB |=22, C (1,3),|OC |=10. ∴(x 2+y 2)max =|OC |2 =(10)2=
10.
3.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x +y ≥6,x ≤4,
y ≤4,
则z =
y -1
x -1
的最大值是________. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z =
y -1
x -1
可看作可行域上的点(x ,y )与定点B (1,1)连线的斜率.由图可知z =y -1x -1
的最大值为k AB =3. 4.已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

y ≤1,x ≤1,x +y ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为______.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 1
2
解析 实数x ,y 满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示, 则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方,故z min =⎝⎛
⎭⎫122=1
2
. 1.画图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),应结合可行域与目标函数微调.
3.对于非线性目标函数,应准确翻译其几何意义,如x 2+y 2是点(x ,y )到点(0,0)的距离的平方,而非距离. 一、选择题
1.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2 000元
B.2 200元
C.2 400元
D.2 800元
考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 B
解析 设需使用甲型货车x 辆,乙型货车y 辆,运输费用z 元, 根据题意,得线性约束条件⎩⎪⎨⎪

20x +10y ≥100,0≤x ≤4,x ∈N ,
0≤y ≤8,y ∈N .
求线性目标函数z =400x +300y 的最小值, 可行域如图阴影部分(含边界)所示,
解得当⎩
⎪⎨⎪⎧
x =4,
y =2时,z 有最小值,且z min =2 200(元).
2.已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪

x +y ≥2,x ≤1,
y ≤2上的一个动点,
则OA →·OM →
的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2]
D.[-1,2]
考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最优解 答案 C
解析 作出可行域,如图阴影部分(含边界)所示, 因为OA →·OM →=-x +y .
所以设z =-x +y ,作l 0:x -y =0,易知过点P (1,1)时,z 有最小值,z min =-1+1=0; 过点Q (0,2)时,z 有最大值,z max =0+2=2, 所以OA →·OM →的取值范围是[0,2].
3.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2
3,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利
润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元
D.24万元
考点 线性目标函数的最值问题 题点 求线性目标函数的最值 答案 B
解析 设投资甲项目x 万元,投资乙项目y 万元,可获得利润z 万元,
则⎩⎪⎨⎪⎧
x +y ≤60,
x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,
z =0.4x +0.6y .
可行域如图阴影部分(含边界)所示,
由图象知,目标函数z =0.4x +0.6y 在A 点取得最大值.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x +y =60,y =32x ,
得A (24,36), ∴z max =0.4×24+0.6×36=31.2(万元). 4.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x ≥0,y ≥x ,
4x +3y ≤12,则
2y +2
x +1
的最大值是( ) A.5 B.6 C.8 D.10
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 D
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示,y +1
x +1的几何意义是点M (-1,-1)与可行域内
的点P (x ,y )连线的斜率,
当点P 移动到点N (0,4)时,斜率最大,最大值为4-(-1)
0-(-1)=5,∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫2y +2x +1max =2×5=10.故选D.
5.设z =x +y ,其中实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪

x +2y ≥0,x -y ≤0,
0≤y ≤k ,若z 的最大值为6,则z 的最小值为( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.0 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 A
解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,
由z =x +y ,得y =-x +z ,由图可知当直线y =-x +z 经过点A 时,直线y =-x +z 在y 轴
上的截距最大,此时z 最大为6,由⎩⎪⎨⎪⎧ y =k ,x -y =0,得⎩⎪⎨⎪⎧
x =k ,
y =k ,
即点A (k ,k ),
∴z =k +k =6,得k =3.
当直线y =-x +z 经过点B 时,z 取得最小值,
由⎩⎪⎨⎪⎧ y =k =3,x +2y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧
x =-6,
y =3,
即点B (-6,3),此时z 的最小值为-6+3=-3. 6.设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪

x -y -2≤0,x +2y -5≥0,
y -2≤0,则z =y x +x
y
的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤
13,103 B.⎣⎡⎦⎤13,52 C.⎣⎡⎦
⎤2,52 D.⎣
⎡⎦⎤2,103 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 D
解析 令k =y
x
,则y =kx (因为x ≠0,所以k 存在),直线y =kx 恒过原点,不等式组
⎩⎪⎨⎪

x -y -2≤0,x +2y -5≥0,y -2≤0
表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,
当直线y =kx 过点A (1,2)时,斜率有最大值2;当直线y =kx 过点B (3,1)时,斜率有最小值13,
所以斜率k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13,2,又z =y x +x y =k +1k ,当k ∈⎣⎡⎦⎤13,1时,z =k +1
k 为减函数;当k ∈[1,2]时,z =k +1
k 为增函数,可得z 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2,103,故选D. 7.若满足条件⎩⎪⎨⎪

x -y ≥0,x +y -2≤0,
y ≥a 的整点(x ,y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个,
则整数a 的值为( ) A.-3 B.-2 C.-1
D.0
考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C
解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示,当a =0时,只有4个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0).当a =-1时,正好增加(-1,-1),(0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1),5个整点.再加上a =0时的四个整点,共9个整点,故选C. 二、填空题
8.某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
5x -11y ≥-22,
2x +3y ≥9,
2x ≤11,
x ,y ∈N *

则z =
10x +10y 的最大值是________. 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 90
解析 先画出满足约束条件的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,
由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x -11y =-22,2x =11,解得⎩⎪⎨⎪⎧
x =5.5,y =4.5,
但x ∈N *,y ∈N *,结合图知当x =5,y =4时,z max =90.
9.实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥0,x -y ≥0,2x -y -2≤0,则ω=y -1x +1
的取值范围是________.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 ⎣⎡⎦⎤-1,1
3 解析 如图,
画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪

y ≥0,
x -y ≥0,
2x -y -2≤0
的解(x ,y )构成的可行域△ABO ,求得B (2,2),
根据目标函数的几何意义是可行域上一点(x ,y )与点(-1,1)连线的斜率, 可求得目标函数的最小值为-1,最大值为1
3.
故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤-1,13. 10.已知⎩⎪⎨⎪

x ≥1,x -y +1≤0,
2x -y -2≤0,
则x 2+y 2的最小值是________.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 5
解析 令z =x 2+y 2,画出可行域,如图阴影部分(含边界)所示, 令d =
x 2+y 2,
即可行域中的点到原点的距离, 由图得d min =1+4=5,∴z min =d 2=5.
三、解答题
11.某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A ,B 两种规格的小袋,每袋大米可同
时分得A ,B 两种规格的小袋大米的袋数如表所示:
已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋,市场急需A ,B 两种规格的成品数分别为15袋和27袋.
问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A ,B 两种规格的成品数,且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少?(要求画出可行域) 考点 线性规划中的整点问题
题点 线性规划中的整点问题
解 设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x ,y ,所用的袋装大米的总袋数为z ,则
⎩⎪⎨⎪⎧
2x +y ≥15,
x +3y ≥27,0≤x ≤5,0≤y ≤10,
z =x +y (x ,y 为整数),作出可行域D 如图阴影部分(含边界)所示.
从图中可知,可行域D 的所有整数点为(3,9),(3,10),(4,8),(4,9),(4,10),(5,8),(5,9),(5,10),共8个点.因为目标函数为z =x +y (x ,y 为整数),所以在一组平行直线x +y =t (t 为参数)中,过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x +y =12,其经过的整点是(3,9)和(4,8),它们都是最优解.
所以,需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3,9或4,8可使所用的袋装大米的袋数最少.
12.设非负实数x ,y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
y ≥x -1,2x +y ≤5,(2,1)是目标函数z =ax +3y (a >0)取最大值时的最优解,
求a 的取值范围.
考点 线性规划中的参数问题
题点 线性规划中的参数问题
解 作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界),由z =ax +3y (a >0),得y =-a 3x +z
3,
因为当直线z =ax +3y (a >0)过P (2,1)时,z 取最大值,所以由图可知-a
3≤-2,所以a ≥6,所
以a 的取值范围是[6,+∞).
13.已知⎩⎪⎨⎪

x -y +2≥0,x +y -4≥0,
2x -y -5≤0,
求:
(1)z =x 2+y 2-10y +25的最小值; (2)z =2y +1
x +1
的取值范围.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合
解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示,A (1,3),B (3,1),C (7,9). (1)z =x 2+(y -5)2表示可行域内任一点(x ,y )到点M (0,5)的距离的平方, 过M 作AC 的垂线,易知垂足N 在AC 上, 故|MN |=
|0-5+2|
1+(-1)2

32
=322.
∴|MN |2=⎝⎛
⎭⎫3222=9
2
,∴z 的最小值为92.
(2)z =2·y -⎝⎛⎭⎫-1
2x -(-1)表示可行域内的点(x ,y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫-1,-1
2连线斜率的2倍, ∵k QA =74,k QB =3
8,∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34,72. 四、探究与拓展
14.已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

x +y ≤1,x -y ≤1,
x ≥a ,若x +2y ≥-5恒成立,则实数a 的取值范围为
( )
A.(-∞,-1]
B.[-1,+∞)
C.[-1,1]
D.[-1,1)
考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 C
解析 由题意作出可行域,如图(阴影部分含边界)所示,由图易知a ≤1.x +2y ≥-5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x +2y =-5的右上方,即点A 在直线x +2y =-5上或其右上方.易知A 点坐标为(a ,a -1),所以a +2(a -1)≥-5,所以实数a 的取值范围为[-1,1]. 15.若实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

x +3y -3≤0,x -y +1≥0,
y ≥-1,则z =2|x |+y 的最大值为( )
A.12
B.11
C.7
D.8
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 B
解析 满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图(阴影部分)所示的△ABC 及其内部,
其中A (6,-1),B (0,1),C (-2,-1),z =2|x |+y 可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0,z =2x +y 或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0,
z =-2x +y .
①当z =2x +y (x ≥0)且目标函数的图象经过点A (6,-1)时,z 取得最大值,z max =11; ②当z =-2x +y (x <0)且目标函数的图象经过点C (-2,-1)时,z 取得最大值,z max =3. 综上可知,z =2|x |+y 的最大值为11,故选B.。

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