【教育资料】第三章 3.3.2 第2课时学习精品

第2课时 线性规划的整数解和非线性规划问题
学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性规划的最优解. 知识点一 非线性约束条件
思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域.
答案
梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.
知识点二 非线性目标函数
思考 在问题“若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥6，x ≤4，
y ≤4，求z ＝y －1
x －1
的最大值”中，你能仿照目标函数z ＝
ax ＋by 的几何意义来解释z ＝
y －1
x －1
的几何意义吗？ 答案 z ＝y －1
x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率.
梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.
1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(√)
2.目标函数z ＝x 2＋y 2的几何意义为点(x ，y )到点(0,0)的距离.(×)
3.目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.(×) 类型一 生活实际中的线性规划问题
例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题
解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为z 百元，
则z ＝2x ＋y (百元)，⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ≤24，
x ＋y ≤5，5y ≤15，
x ，y ∈N ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋y ≤12，
x ＋y ≤5，
y ≤3，x
，y ∈N ，
作出可行域，如图阴影部分中的整点，
由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)，C ⎝⎛⎭⎫
72，32，D (4,0).
平移直线y ＝－2x ＋z ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时，z 有最大值.
所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大. 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移
直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.
跟踪训练1 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？
考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题
解 设桌子、椅子分别买x 张，y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，
即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
50x ＋20y ≤2 000，
y ≥x ，
y ≤32x ，
x ∈N ，y ∈N .
由⎩⎪⎨⎪⎧
50x ＋20y ＝2 000，
y ＝x ，解得⎩⎨⎧
x ＝200
7
，
y ＝2007，
所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫
2007，2007.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝25，y ＝752，
所以B 点坐标为⎝
⎛⎭⎫25，75
2. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O ()
0，0为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，
由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝
⎛⎭⎫25，75
2时取得最大值， 但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝25，
y ＝37.
故买桌子25张，椅子37把是最好的选择. 类型二 非线性目标函数的最值问题
命题角度1 斜率型目标函数
例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
3x －y －3≤0.
试求z ＝y ＋1
x ＋1的最大值和最小值.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值
解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)
x －(－1)
，
故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，
由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝1
2.
∴z 的最大值为3，最小值为1
2.
引申探究
1.把目标函数改为z ＝3y ＋1
2x ＋1
，求z 的取值范围.
解 z ＝3
2·y ＋13x ＋12，其中k ＝y ＋13x ＋1
2的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率. 由图易知，k NC ≤k ≤k NB ，即29≤k ≤14
3，
∴13≤3
2
k ≤7，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，7. 2.把目标函数改为z ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求z 的取值范围.
解 z ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1
x ＋1＋2.
设k ＝y －1x ＋1
，仿例2解得－12≤k ≤1.∴z ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 反思与感悟 对于形如cx ＋dy ＋f ax ＋b 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题.
跟踪训练2 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，y ≥0，
x －y ≥0，则z ＝y －1x
的取值范围是( )
A.[－1,0]
B.(－∞，0]
C.[－1，＋∞)
D.[－1,1)
考点 题点 答案 D
解析 作出可行域阴影部分，如图所示，y －1
x 的几何意义是点(x ，
y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行， ∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1).
命题角度2 两点间距离型目标函数
例3 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，
试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值
解 z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，
结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小. 故z max ＝|OA |2＝13，z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫2×152＝45
.
反思与感悟
当两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活
运用.
跟踪训练3 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z ＝y
x ，求z 的最小值；
(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；
(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 解 由约束条件
⎩⎨⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝
⎛⎭⎫1，22
5； 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，
解得B (5,2). (1)因为z ＝y x ＝y －0x －0
，
所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min ＝k OB ＝2
5
.
(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29， 即2≤z ≤29.
(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)
的距离的
平方.结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8. 所以16≤z ≤64.
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C
解析 设购买软件x 片，磁盘y 盒， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *
，
画出线性约束条件表示的平面区域，如图
阴影部分(含边界)所示.
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.
2.已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )
A.10
B.8
C.16
D.10 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如图(阴影部分含边界)所示，易得A (1,1)，|OA |＝2， B (2,2)，|OB |＝22， C (1,3)，|OC |＝10. ∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2 ＝(10)2＝
10.
3.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥6，x ≤4，
y ≤4，
则z ＝
y －1
x －1
的最大值是________. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z ＝
y －1
x －1
可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率.由图可知z ＝y －1x －1
的最大值为k AB ＝3. 4.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为______.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 1
2
解析 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示， 则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝⎛
⎭⎫122＝1
2
. 1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.
2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.
3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x 2＋y 2是点(x ，y )到点(0,0)的距离的平方，而非距离. 一、选择题
1.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A.2 000元
B.2 200元
C.2 400元
D.2 800元
考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 B
解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元， 根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，x ∈N ，
0≤y ≤8，y ∈N .
求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值， 可行域如图阴影部分(含边界)所示，
解得当⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝2时，z 有最小值，且z min ＝2 200(元).
2.已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2上的一个动点，
则OA →·OM →
的取值范围是( ) A.[－1,0] B.[0,1] C.[0,2]
D.[－1,2]
考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最优解 答案 C
解析 作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示， 因为OA →·OM →＝－x ＋y .
所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1,1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0； 过点Q (0,2)时，z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， 所以OA →·OM →的取值范围是[0,2].
3.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的2
3，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利
润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元
D.24万元
考点 线性目标函数的最值问题 题点 求线性目标函数的最值 答案 B
解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润z 万元，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤60，
x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，
z ＝0.4x ＋0.6y .
可行域如图阴影部分(含边界)所示，
由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝60，y ＝32x ，
得A (24,36)， ∴z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元). 4.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥x ，
4x ＋3y ≤12，则
2y ＋2
x ＋1
的最大值是( ) A.5 B.6 C.8 D.10
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 D
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，y ＋1
x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内
的点P (x ，y )连线的斜率，
当点P 移动到点N (0,4)时，斜率最大，最大值为4－(－1)
0－(－1)＝5，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫2y ＋2x ＋1max ＝2×5＝10.故选D.
5.设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥0，x －y ≤0，
0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )
A.－3
B.－2
C.－1
D.0 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 A
解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，
由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴
上的截距最大，此时z 最大为6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ，x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k ，
y ＝k ，
即点A (k ，k )，
∴z ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.
当直线y ＝－x ＋z 经过点B 时，z 取得最小值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ＝3，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－6，
y ＝3，
即点B (－6,3)，此时z 的最小值为－6＋3＝－3. 6.设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0，则z ＝y x ＋x
y
的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤
13，103 B.⎣⎡⎦⎤13，52 C.⎣⎡⎦
⎤2，52 D.⎣
⎡⎦⎤2，103 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 D
解析 令k ＝y
x
，则y ＝kx (因为x ≠0，所以k 存在)，直线y ＝kx 恒过原点，不等式组
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0
表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
当直线y ＝kx 过点A (1,2)时，斜率有最大值2；当直线y ＝kx 过点B (3,1)时，斜率有最小值13，
所以斜率k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，2，又z ＝y x ＋x y ＝k ＋1k ，当k ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，z ＝k ＋1
k 为减函数；当k ∈[1,2]时，z ＝k ＋1
k 为增函数，可得z 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2，103，故选D. 7.若满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，
则整数a 的值为( ) A.－3 B.－2 C.－1
D.0
考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C
解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0).当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点.再加上a ＝0时的四个整点，共9个整点，故选C. 二、填空题
8.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
5x －11y ≥－22，
2x ＋3y ≥9，
2x ≤11，
x ，y ∈N *
，
则z ＝
10x ＋10y 的最大值是________. 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 90
解析 先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5.5，y ＝4.5，
但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90.
9.实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1
的取值范围是________.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，1
3 解析 如图，
画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，
x －y ≥0，
2x －y －2≤0
的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，
根据目标函数的几何意义是可行域上一点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率， 可求得目标函数的最小值为－1，最大值为1
3.
故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13. 10.已知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x －y ＋1≤0，
2x －y －2≤0，
则x 2＋y 2的最小值是________.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 5
解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示， 令d ＝
x 2＋y 2，
即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝1＋4＝5，∴z min ＝d 2＝5.
三、解答题
11.某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A ，B 两种规格的小袋，每袋大米可同
时分得A ，B 两种规格的小袋大米的袋数如表所示：
已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A ，B 两种规格的成品数分别为15袋和27袋.
问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A ，B 两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域) 考点 线性规划中的整点问题
题点 线性规划中的整点问题
解 设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x ，y ，所用的袋装大米的总袋数为z ，则
⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ≥15，
x ＋3y ≥27，0≤x ≤5，0≤y ≤10，
z ＝x ＋y (x ，y 为整数)，作出可行域D 如图阴影部分(含边界)所示.
从图中可知，可行域D 的所有整数点为(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8个点.因为目标函数为z ＝x ＋y (x ，y 为整数)，所以在一组平行直线x ＋y ＝t (t 为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解.
所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3,9或4,8可使所用的袋装大米的袋数最少.
12.设非负实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
y ≥x －1，2x ＋y ≤5，(2,1)是目标函数z ＝ax ＋3y (a >0)取最大值时的最优解，
求a 的取值范围.
考点 线性规划中的参数问题
题点 线性规划中的参数问题
解 作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，由z ＝ax ＋3y (a >0)，得y ＝－a 3x ＋z
3，
因为当直线z ＝ax ＋3y (a >0)过P (2,1)时，z 取最大值，所以由图可知－a
3≤－2，所以a ≥6，所
以a 的取值范围是[6，＋∞).
13.已知⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1
x ＋1
的取值范围.
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合
解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝
|0－5＋2|
1＋(－1)2
＝
32
＝322.
∴|MN |2＝⎝⎛
⎭⎫3222＝9
2
，∴z 的最小值为92.
(2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－1
2x －(－1)表示可行域内的点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－1
2连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝3
8，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. 四、探究与拓展
14.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤1，x －y ≤1，
x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为
( )
A.(－∞，－1]
B.[－1，＋∞)
C.[－1,1]
D.[－1,1)
考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 C
解析 由题意作出可行域，如图(阴影部分含边界)所示，由图易知a ≤1.x ＋2y ≥－5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x ＋2y ＝－5的右上方，即点A 在直线x ＋2y ＝－5上或其右上方.易知A 点坐标为(a ，a －1)，所以a ＋2(a －1)≥－5，所以实数a 的取值范围为[－1,1]. 15.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，
y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的最大值为( )
A.12
B.11
C.7
D.8
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 B
解析 满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图(阴影部分)所示的△ABC 及其内部，
其中A (6，－1)，B (0,1)，C (－2，－1)，z ＝2|x |＋y 可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，z ＝2x ＋y 或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，
z ＝－2x ＋y .
①当z ＝2x ＋y (x ≥0)且目标函数的图象经过点A (6，－1)时，z 取得最大值，z max ＝11； ②当z ＝－2x ＋y (x <0)且目标函数的图象经过点C (－2，－1)时，z 取得最大值，z max ＝3. 综上可知，z ＝2|x |＋y 的最大值为11，故选B.。