高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)
一、填空题
1
．已知)
F
为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于
,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且
△OFP 外接圆的面积为
23
π
，则椭圆C 的长轴长为___________. 2
．已知函数23tan ,,,2332()2,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫
∈-⋃ ⎪⎪
⎥⎝⎦⎝⎭
⎪
=⎨
⎛⎤
⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该
最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________.
3．已知函数()[)[]2
43,0,3,92sin ,3,156
x x y f x x x π⎧⎛⎫
-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭
==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足
()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.
4．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD
是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.
5．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且
sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则
2
S
a 的最大值为________. 6．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π
3
，
AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．
7．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==
，12
n n n a b
c ++=，则n A ∠的最大值是________________. 8．若向量x y ，满足2
2
1
2
x y +=，则2
1
||2
x x y +
+的最大值是___________. 9．函数π
π5sin (1510)5
5y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐
标之和为___________.
10．△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，
1B ，1C .则
111cos
cos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C
++++的值为_____________.
二、单选题
11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）
A ．若12θθ=，则AC BC =
B ．若12θθ≠，则121tan tan 2
θθ⋅= C ．θ可能值为6
π
D ．当θ取值最大时，12θθ=
12．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
13．设函数()2
11f x x =-，()1
22x f e x --=，()31sin 23f x x π=，99
i i
a =，0i =、1、2、
、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则
（ ） A ．123I I I << B ．321I I I << C ．132I I I <<
D ．213I I I <<
14．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1
x
g x f x x =
++在区间
[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
15．已知双曲线2
2
413
y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足
120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→
=.现将12MF F △沿MN 折成直二面
角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
16．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．①④
17．已知函数()2sin 1,02
2sin 1,0
2x x f x x x ππ⎧
-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区
间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-
B ．8-
C ．6-
D ．4-
18．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与
x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）
A ．
4
π B ．
3
π C ．
2
π D ．π
19．在ABC 中，若22sin cos 1A B +=，则8cos AB BC
BC A AC
+的取值范围为（ ）
A ．)
43,8⎡⎣
B ．)43,7⎡⎣
C ．()7,8
D ．(0,43
20．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝
⎭，已知,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直
线1312x π=
为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．
12
5 B ．85
C ．
165
D ．
185
三、解答题
21．已知向量(
)
()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12
f x a b =⋅+
的最小正周期为π.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若关于x 的方程2
2cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫
++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有
实数解，求实数a 的取值范围.
22．若函数()y f x =的图像上存在两个不同的点关于y 轴对称，则称函数()y f x =图像上存在一对“偶点”．
（1）写出函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程） （2）证明：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”；
（3）若函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”，求m 的取值范围． 23．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．
（1）当4
PAQ π
∠=
时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
24．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.
（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.
25．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；
（2）若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.
26．已知函数()()2
sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝
⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的
距离为
2
π
. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭
，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.
27．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一
条对称轴是3x π
=
，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
. （1）求()f x 的解析式；
（2）已知DBC △是锐角三角形，向量
,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 28．已知函数()sin cos cos 63f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫
=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最大值为1.
（1）求常数a 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.
29．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量
()sin sin ,m A C b a =--，sin sin 4n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，且m n ⊥.
（1）求角C ；
（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长. 30．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2
π
ωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两
个相邻交点间的距离为
2
π
，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：
（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02
π
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的值域．
【参考答案】
一、填空题
1．2．47,912ππ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
3．()135,216 4．28π
56．80π
7．π
3
##60°
8 9．-7
10．4 二、单选题 11．C 12．A 13．D 14．B 15．C 16．A 17．B 18．C 19．A 20．A 三、解答题
21．（1）()sin(2)6f x x π
=-；（2）1a 或732
a +-.
【解析】
（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式；
（2）先化简()sin 212
f x x π
+
=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于
t 的方程，分离参数后进行求解.
【详解】 （1）因为(
)
()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x
ωωωωω=
-=>，
所以()2111cos 213sin cos 22222
x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6
x π
ω=-.
因为()f x 的最小正周期为π，所以22π
πω
=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-. （2）由（1）可知()sin 212
f x x π
+
=.
因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，
所以22
(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.
令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，
则方程2
2cos 22cos 23301212a f
x x f x x a ππ⎡
⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
可化为()
2
222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.
因为0,4x π⎡
⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛
⎫=-=-∈- ⎪⎝
⎭.
所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，
当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得3
2
t =（舍）；
当0a ≠时，则2
2230at t a +--=可化为2121
32t a t
-=-，
令221
32t y t
-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，
2
212(3)11(3)222u u y u u ⎡⎤-
-⎢⎥--⎣⎦==⨯
1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为7
u u
+≥u =
当1u =时，7
u u
+
取到最大值8，
所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或73
2
a +-
. 所以实数a 的取值范围是1a 或73
2
a +- 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.
22．（1）()(),0,0ππ-（2）见解析（3）()1,+∞ 【解析】
（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；
（2）要证：函数数()2x h x e mx =--图象上有且只有一对“偶点”，只需证：
())()()y Q x g x g x ==--=在(0,2)上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；
（3）由题意，问题可转化为函数()()y h x h x =--只有一个零点，结合函数的性质及导数可求． 【详解】
（1）函数()sin f x x =图像上一对“偶点”的坐标为()(),0,0ππ-， （2）设()()()()()ln 2ln 22Q x g x g x x x x =--=+--+-， 因为()y Q x =的定义域为()2,2-，且()()Q x Q x -=-， 所以函数()y Q x =为奇函数，
要证：函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”， 只需证：()y Q x =在()0,2上有且只有一个零点， 令()()2
2
2204x Q x x
-'=
=-，得x =
所以，函数()Q x 在(上为单调减函数，在)
2上为单调增函数，
(
ln 30Q
=+-<，4441122ln 40Q e e e ⎛⎫⎛
⎫-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以函数()Q x 在41e ⎫-⎪⎭上有且只有一个零点，
所以函数()ln(2)2g x x x =+-+图像上有且只有一对“偶点”，
（3）设()()()2x x
F x h x h x e e mx -=--=--，()00F =，
因为()y F x =的定义域为R ，且()()F x F x -=-， 所以函数()y F x =为奇函数，
因为函数()2()x h x e mx m =--∈R 图像上有且只有一对“偶点”， 所以函数()y F x =在()0,∞+有且只有一个零点， ()1
2x x
F x e m e '=+
-，()0,x ∈+∞，
①当1m 时，因为()220F x m '>-≥，
所以函数()y F x =在()0,∞+上为单调增函数，所以()()00F x F >=， 所以函数()F x 在()0,∞+无零点，
②当1m 时，由()2121
20x x x
x x
e me F x e m e e -+'=+-==，
得：(0ln x m =，
所以函数()y F x =在()00,x 上单调减函数，在()0,x +∞上单调增函数， 所以()()000F x F <=， 设()ln H x x x =-，()1x
H x x
-'=
， 所以函数()H x 在()0,1上单调增函数，在()1,+∞上单调减函数， 所以()()110H x H ≤=-<，所以ln x x <，
所以(ln ln 22m m m +<<，
设()()211x m x e x x =-->，设()()2x
M x m x e x '==-， 因为()220x
M x e e '=->->，
所以函数()M x 在()1,+∞单调增函数，
所以()()120M x M e >=->，所以函数()m x 在()1,+∞单调增函数， 所以()()120m x m e >=->，所以当1x >时，21x e x >+， ()222221
24140m m m F m e m e m e
=-
->-->， 因为函数()y F x =在()0,x +∞上单调增函数，
所以函数()F x 在()0,2x m 上有且仅有一个1x ，使得()10F x =， 综上：m 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】
本题中综合考查了函数的性质及导数的综合应用，体现了分类讨论思想的应用，试题具有一定的综合性． 23．（1
）
S =
⎝
⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦]
；最小值为)
100001 （2）
PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=
．
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数定义及4
PAQ π
∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α
表示出S 花卉种植面积，
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】
（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4
PAQ π
∠=
，
∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 11
22
AB BP AD DQ =
⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭
(
)
5000
cos sin cos ααα=
=
+⎝
⎭，其中0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，
即8
π
α=时，S
)100001
=．
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100
y
β-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xy
αβ
αβαβ-+++=
=-⋅+-，
∵PB DQ PQ +=，
∴100100x y -+-=100200
xy
x y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1
100001001002
200xy xy
xy xy xy αβ⎛
⎫-⨯+-
⎪⎝⎭+=
==⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭
， ∴4
π
αβ+=
，
∴PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=．
【点睛】
本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.
24．（1）()sin 46
2f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4 【解析】
【分析】
（1）由212T πω==
，得ω，由53
A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案； （2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案.
【详解】
（1）解：由图知212T π
ω==，6
πω∴= 又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩ ()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭
，代入(0,5)，得22k πϕπ=+， 又0ϕπ<<，2
π
ϕ∴= 所求为()sin 46
2f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：
()sin 4cos 46
26f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为： ()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦
两企业用电负荷量之和
()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，0t ≥ 依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
恒成立 即cos ()cos 166t m t π
π⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
恒成立 cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
其中，A =cos 16cos m A
πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=
1A ∴=≤ 整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭
解得2422363
k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭ 即124128k m +≤≤+
取0k =得：48m ≤≤
m ∴的最小值为4.
【点睛】
本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.
25．（1）()f
x 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
1.（2）0x =时，最小值0.38x π=
1.
【解析】
【分析】
（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
（2）利用整体法求出32444
x πππ-
≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】 （1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-
+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ ∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝
⎭， ()f x ∴
1.
（2）由（1）得(
)214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.
sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭， ∴当24
4x π
π-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0. 当242x π
π-=，即38
x π=时，()f x
1.
【点睛】
本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.
26．（1）()23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】
【分析】
（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为
2
π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；
（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，再由函数()g x 的图象经过点
,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【详解】
解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭
11cos22cos24222x x x ωωω-=
--⨯+
32cos22
x x ωω=+
23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω
=，1ω=
∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
. （2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象
∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， ∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭
22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
∴23m k π
π-=，k Z ∈ ∴26
k m ππ=+，k Z ∈ ∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6
π
此时，()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭. 令7612x ππ-
≤≤，则2112336x πππ≤+≤ 当22332x πππ≤+
≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增 当232232x π
ππ≤+≤，即51212
x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.
27．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【解析】
（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；
（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解.
【详解】
（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ
==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z π
ϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6
πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =， 从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭. （2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，
∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+ 4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭
∴2,3B k k Z π
π+=∈，∴:,62
k B k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π
=. ∵3sin 5C =，∴4cos 5
C =，
∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=
.
即cosD =
. 【点睛】 本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.
28．（1）1a =-（2）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【解析】
（1）化简()f x ，求最大值，即可求解；
（2）应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论；
（3）运用正弦函数图像，即可求解.
【详解】 解：()sin cos
cos sin cos cos sin sin cos 6633f x x x x x x a ππππ=-++++
11cos cos cos 22x x x x x a =-+++
cos x x a =++12cos 2x x a ⎫=++⎪⎪⎝⎭
2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值为21a +=，所以1a =-.
（2）由22,262k x k k Z πππππ-
+≤+≤+∈， 解得222,33
k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
. （3）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭. 因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝
⎭. 所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝
⎭， 所以722,666
k x k k Z πππππ-+<+<+∈.
所以422,3
k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422|,3k x k k Z x πππ-+<<∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查三角函数恒等变换，化简解析式，考查三角函数的性质以及三角不等式，属于中档题.
29．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】
【分析】
（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.
【详解】
（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，
∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，
且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 化简得：222c a b ab =+-.
由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2
C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π
=.
（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，
∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）
1
sin 2S ab C ==≤
所以，max S =
ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】
本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.
30．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
；（3）[)2,1- 【解析】
【分析】
（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；
（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值域 【详解】
（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，
所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6
π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6
y x π=+． （2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
可得 222262k x k π
π
π
ππ-+≤+≤+，解得36k x k π
π
ππ-+≤≤+
故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
． （3）设 26t x π=+
，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=- 时，min 2f =- 当t 趋于6π
时，函数值趋于1，
故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值域为[)2,1- ． 【点睛】
本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力．。