精品解析：广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题(原卷版)

广西师范大学附属2021届高三年级第三次月考
(数学-理科)
一､选择题
1. 已知集合A={x|x>0}，B={x|x2≤4}，则A∪B=（）
A. (-∞，-2]
B. (-∞，2]
C. [2，+∞)
D. [-2，+∞)
2. |(1+2i)(1-i)|=（）
A. 10
B. 3
C. 22
D. 2
3. 随着电子商务的快速发展，快递服务已经成为人们日常生活中必不可少的部分.国家邮政局数据显示，我国快递业务量已连续6年居世界榜首，下图是我国2011—2019年的快递业务量(单位：亿件)及增速情况，则以下说法正确的是（）
A. 2012—2019年我国快递业务量
的增速逐年减少B. 2013—2014年我国快递业务量的增速最大C. 2019年我国快递业务量比2015年大约增长300% D. 2019年我国快递业务量比2014年增加了495.6亿件4. 已知等比数列{}n a前n项和为n S，若31235S a a+=，则数列{}n a的公比为（）
26 C. 2 D. 22
5. 五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤.如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米.现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为16
25π
，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为（）
A. 0.8厘米
B. 1厘米
C. 1.1厘米
D. 1.2厘米
6. 已知a >0，b >0，4a +b +2=2ab ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a +b ≥7
B. a +b ≤5
C. 2a +b ≥7
D. 2a +b ≤6
7. 已知某锥体的三视图如图所示，其中侧视图为等边三角形，则该锥体的体积为（ ）
A. 33
B. 3
C. 2
D.
38. 将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)2πϕ
⎛⎫
< ⎪⎝
⎭
∣的图象向左平移
6π
个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为（ ） A. －
3
2
B. －
12
C.
12
D.
32
9. 某集团军接到抗洪命令，紧急抽调甲､乙､丙､丁四个专业抗洪小组去A ，B ，C ，D 四地参加抗洪抢险，每地仅去1人，其中甲不去A 地也不去B 地，乙与丙不去A 地也不去D 地，如果乙不去B 地，则去D 地的是（ ） A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
10. 已知函数2
1()cos sin 4f x x x =+-的定义域为[0，m ]，值域为3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则实数m 的最大值为（ ）
A. π
B.
7π6
C.
4π3
D.
3π2
11. 已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（ ）
A .
12
B.
35
C.
23
D. 1
12. 已知f (x )是定义在R 上的连续函数，f′(x )是f (x )的导函数，且f (x )-f (-x )+4x =0.若当x >0时，f′(x )>-2，则不等式f (x -2)-f (x )>4的解集为（ ） A. (-∞，-1)
B. (-∞，1)
C. (-1，+∞)
D. (1，+∞)
二､填空题
13. 已知向量(1,2)AB =，(2,1)BC =-，则AB AC ⋅的值为__________.
14. 已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂
足为M ，若1
tan 2
MAF ∠=，则C 的离心率为__________.
15. 已知递增等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，22
853a a =+，则当公差d 的值为__________时，S 13的最小值
为__________.
16. 设m ≠-1，函数2log (),,()1
,,x m x m f x x m x m +>-⎧⎪=⎨<-⎪+⎩则使得1
((1))2f f =成立的实数m 的个数为__________. 三､解答题
17. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且sin cos b A c A +=. （1）求C ；
（2）若a =6，c =b +4，求△ABC 的面积.
18. 已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，
现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表.
（1）求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？
男生 30
女生
50
总计
（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X 近似服从正态分布N (μ，14.312)，其中μ近似为样本平均数x ，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？ 参考公式及数据：X ~N (μ，σ2)，P (μ-σ≤X <μ+σ)≈0.6827，P (μ-2σ≤X <μ+2σ)≈0.9545；
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d .
P (K 2≥k 0) 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.
706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19. 四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB //DC ，AB ⊥AD ，DC =AD =1，AB =2，∠P AD =45°，E 是P A 的中点，F 在线段AB 上，且满足0B C D F ⋅=.
（1）求证：DE //平面PBC ； （2）求二面角F -PC -B 的余弦值；
20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为A ，B 6
，P 是C 上异于A ，B 的动点.
（1）证明：直线AP ，BP 的斜率之积为定值，并求出该定值.
（2）设||3AB =，直线AP ，BP 分别交直线l ：x =3于M ，N 两点，O 为坐标原点，试问：在x 轴上是
否存在定点T ，使得O ，M ，N ，T 四点共圆？若存在，求出点T 的
坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数()()1x
f x x e b =--.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）设0a >，若函数()()g x f x ax =-在区间[)0,+∞上有一个零点0x ，求24a b +的最小值以及此时0x 的值.
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,
2x t y t
=⎧⎨
=-+⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin a θ
ρθ
=，a >0.
（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）设点P (0，-2)，l 与C 交于A ，B
两点，||||PA PB +=a 的值. 23. 已知函数15()2f x x x x x
=-
+-. （1）若f (x )≥a 对任意x ∈[1，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围. （2）证明：2
()23f x x x +->.。