精品解析:广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题(原卷版)
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广西师范大学附属2021届高三年级第三次月考
(数学-理科)
一、选择题
1. 已知集合A={x|x>0},B={x|x2≤4},则A∪B=()
A. (-∞,-2]
B. (-∞,2]
C. [2,+∞)
D. [-2,+∞)
2. |(1+2i)(1-i)|=()
A. 10
B. 3
C. 22
D. 2
3. 随着电子商务的快速发展,快递服务已经成为人们日常生活中必不可少的部分.国家邮政局数据显示,我国快递业务量已连续6年居世界榜首,下图是我国2011—2019年的快递业务量(单位:亿件)及增速情况,则以下说法正确的是()
A. 2012—2019年我国快递业务量
的增速逐年减少B. 2013—2014年我国快递业务量的增速最大C. 2019年我国快递业务量比2015年大约增长300% D. 2019年我国快递业务量比2014年增加了495.6亿件4. 已知等比数列{}n a前n项和为n S,若31235S a a+=,则数列{}n a的公比为()
26 C. 2 D. 22
5. 五铢钱是一种中国古铜币,奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统,这种钱币外圆内方,象征着天地乾坤.如图是一枚西汉五铢钱币,其直径为2.5厘米.现向该钱币上随机投掷一点,若该点落在方孔内的概率为16
25π
,则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为()
A. 0.8厘米
B. 1厘米
C. 1.1厘米
D. 1.2厘米
6. 已知a >0,b >0,4a +b +2=2ab ,则下列不等式一定成立的是( ) A. a +b ≥7
B. a +b ≤5
C. 2a +b ≥7
D. 2a +b ≤6
7. 已知某锥体的三视图如图所示,其中侧视图为等边三角形,则该锥体的体积为( )
A. 33
B. 3
C. 2
D.
38. 将函数f (x )=sin (2x +φ)2πϕ
⎛⎫
< ⎪⎝
⎭
∣的图象向左平移
6π
个单位长度后关于原点对称,则函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为( ) A. -
3
2
B. -
12
C.
12
D.
32
9. 某集团军接到抗洪命令,紧急抽调甲、乙、丙、丁四个专业抗洪小组去A ,B ,C ,D 四地参加抗洪抢险,每地仅去1人,其中甲不去A 地也不去B 地,乙与丙不去A 地也不去D 地,如果乙不去B 地,则去D 地的是( ) A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
10. 已知函数2
1()cos sin 4f x x x =+-的定义域为[0,m ],值域为3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,则实数m 的最大值为( )
A. π
B.
7π6
C.
4π3
D.
3π2
11. 已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,点M ,N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =,则点M 到y 轴的距离为( )
A .
12
B.
35
C.
23
D. 1
12. 已知f (x )是定义在R 上的连续函数,f′(x )是f (x )的导函数,且f (x )-f (-x )+4x =0.若当x >0时,f′(x )>-2,则不等式f (x -2)-f (x )>4的解集为( ) A. (-∞,-1)
B. (-∞,1)
C. (-1,+∞)
D. (1,+∞)
二、填空题
13. 已知向量(1,2)AB =,(2,1)BC =-,则AB AC ⋅的值为__________.
14. 已知双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ,左顶点为A ,过F 作C 的一条渐近线的垂线,垂
足为M ,若1
tan 2
MAF ∠=,则C 的离心率为__________.
15. 已知递增等差数列{a n },其前n 项和为S n ,22
853a a =+,则当公差d 的值为__________时,S 13的最小值
为__________.
16. 设m ≠-1,函数2log (),,()1
,,x m x m f x x m x m +>-⎧⎪=⎨<-⎪+⎩则使得1
((1))2f f =成立的实数m 的个数为__________. 三、解答题
17. 已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c
,且sin cos b A c A +=. (1)求C ;
(2)若a =6,c =b +4,求△ABC 的面积.
18. 已知某校共有1000名学生参加体能达标测试,
现从中随机抽取100名学生的成绩,将他们的测试成绩(满分:100分)分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下频数分布表.
(1)求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(2)在这100名学生中,规定:测试成绩不低于80分为“优秀”,成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关?
男生 30
女生
50
总计
(3)根据样本数据,可认为该校全体学生的体能测试成绩X 近似服从正态分布N (μ,14.312),其中μ近似为样本平均数x ,则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人? 参考公式及数据:X ~N (μ,σ2),P (μ-σ≤X <μ+σ)≈0.6827,P (μ-2σ≤X <μ+2σ)≈0.9545;
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n =a +b +c +d .
P (K 2≥k 0) 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.
706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19. 四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,AB //DC ,AB ⊥AD ,DC =AD =1,AB =2,∠P AD =45°,E 是P A 的中点,F 在线段AB 上,且满足0B C D F ⋅=.
(1)求证:DE //平面PBC ; (2)求二面角F -PC -B 的余弦值;
20. 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ,B 6
,P 是C 上异于A ,B 的动点.
(1)证明:直线AP ,BP 的斜率之积为定值,并求出该定值.
(2)设||3AB =,直线AP ,BP 分别交直线l :x =3于M ,N 两点,O 为坐标原点,试问:在x 轴上是
否存在定点T ,使得O ,M ,N ,T 四点共圆?若存在,求出点T 的
坐标;若不存在,请说明理由. 21. 已知函数()()1x
f x x e b =--.
(1)求()f x 的单调区间;
(2)设0a >,若函数()()g x f x ax =-在区间[)0,+∞上有一个零点0x ,求24a b +的最小值以及此时0x 的值.
22. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为,
2x t y t
=⎧⎨
=-+⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为24cos sin a θ
ρθ
=,a >0.
(1)求l 的普通方程和C 的直角坐标方程;
(2)设点P (0,-2),l 与C 交于A ,B
两点,||||PA PB +=a 的值. 23. 已知函数15()2f x x x x x
=-
+-. (1)若f (x )≥a 对任意x ∈[1,+∞)恒成立,求实数a 的取值范围. (2)证明:2
()23f x x x +->.。