理论力学L4-4 空间力系简化
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空间力系的简化
z
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
力系简化的基础知识课件
学仿真等。
05
力系简化的实例分析
平面力系的简化
总结词
平面力系简化的目标是将其化简为单一 的合力或若干个相互独立的力，以便于 分析和计算。
VS
详细描述
平面力系简化的方法主要包括力的合成与 分解、力的平移等。通过这些方法，可以 将平面力系简化为一个或几个独立的力和 力矩，从而简化分析过程。
空间力系的简化
03
力系简化的应用
静力学平衡问题
01 02
静力学平衡问题
力系简化在静力学平衡问题中有着广泛的应用。通过将复杂的力系简化 为简单的形式，可以更容易地分析物体的平衡状态，并确定支撑反力和 约束反力。
静力平衡方程
在静力学平衡问题中，力系简化可以帮助建立静力平衡方程。通过将力 系简化为一个或多个力的平衡，可以求解未知的力或位移。
力矩
力与力臂的乘积。力矩的作用效果是使物体绕某点旋转或产生转动效应。
力的向心力和离心力
向心力
物体做圆周运动时，受到指向圆心的 合力，称为向心力。向心力的大小与 速度和半径有关，方向始终指向圆心 。
离心力
物体做圆周运动时，受到远离圆心的 合力，称为离心力。离心力的大小与 速度和半径有关，方向始终远离圆心 。
力系简化的基础知识 课件
目录
• 力系简化的基本概念 • 力系简化的方法 • 力系简化的应用 • 力系简化的注意事项 • 力系简化的实例分析
01
力系简化的基本概念
力系简化的定义
定义
力系简化是指将复杂的力系通过 一定的方法简化为简单的力系， 以便于分析、理解和计算。
解释
力系简化是力学分析中的重要步 骤，通过简化可以更好地理解力 的作用方式和效果，简化计算过 程，提高分析效率。
05
力系简化的实例分析
平面力系的简化
总结词
平面力系简化的目标是将其化简为单一 的合力或若干个相互独立的力，以便于 分析和计算。
VS
详细描述
平面力系简化的方法主要包括力的合成与 分解、力的平移等。通过这些方法，可以 将平面力系简化为一个或几个独立的力和 力矩，从而简化分析过程。
空间力系的简化
03
力系简化的应用
静力学平衡问题
01 02
静力学平衡问题
力系简化在静力学平衡问题中有着广泛的应用。通过将复杂的力系简化 为简单的形式，可以更容易地分析物体的平衡状态，并确定支撑反力和 约束反力。
静力平衡方程
在静力学平衡问题中，力系简化可以帮助建立静力平衡方程。通过将力 系简化为一个或多个力的平衡，可以求解未知的力或位移。
力矩
力与力臂的乘积。力矩的作用效果是使物体绕某点旋转或产生转动效应。
力的向心力和离心力
向心力
物体做圆周运动时，受到指向圆心的 合力，称为向心力。向心力的大小与 速度和半径有关，方向始终指向圆心 。
离心力
物体做圆周运动时，受到远离圆心的 合力，称为离心力。离心力的大小与 速度和半径有关，方向始终远离圆心 。
力系简化的基础知识 课件
目录
• 力系简化的基本概念 • 力系简化的方法 • 力系简化的应用 • 力系简化的注意事项 • 力系简化的实例分析
01
力系简化的基本概念
力系简化的定义
定义
力系简化是指将复杂的力系通过 一定的方法简化为简单的力系， 以便于分析、理解和计算。
解释
力系简化是力学分析中的重要步 骤，通过简化可以更好地理解力 的作用方式和效果，简化计算过 程，提高分析效率。
理论力学4—空间力系
上式即为空间力偶系的平衡方程。
例2. 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b,
CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?
解：根据力偶只能与力偶平衡的性质,画出构 件的受力图见图示。约束反力ZA 和ZD 形成一 力偶, XA与XD形成一力偶。故该力系为一空间 力偶系。
3.3.2 力偶的矢量表示 由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩 的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表 示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指 向按右手螺旋法则表示力偶的转向； M的作用线与力偶 作用面的法线方位相同。如图所示。 M称为力偶矩矢。 力偶矩矢为一自由矢量。
[例] 图示传动轴，皮带轮直径D1=160mm，圆柱齿轮节圆直径 D2=240mm，T1=200N， T2=100N，=20°。 求：平衡时力P=？和轴承A , B的约束反力？ 分析： T2 T1 P 20°
YA
x
z ZA
P Py
Pz
20°
YB
ZB
T2
Fabc a 2 b2 a 2 b2 c 2
[例] 已知：如图 所示，试求力F 对点A的力矩的大小。 分析： x
Ax Az
A d
Ay O
z Fx
3
F
4
d
d
Fy y
先将力分解，在对A点 三个轴取矩。 4 Fx F 0.8F 2 2 3 4
3 Fy F 0.6F 2 2 3 4
m2 my 0, m2 Z A a 0, Z A a m3 mz 0, m3 YA a 0, YA a mx 0, m1 bZ A c X A 0
理论力学第七版第四章空间力系
常见的空间力系示例
悬索桥
悬索桥是一种常见的空间力系示例，需要考虑多个力和 力矩的作用。
起重机
起重机是另一个常见的空间力系示例，用于进行吊装和 搬运工作。
空间力系的平衡条件和解题方法
1
ห้องสมุดไป่ตู้
平衡条件
空间力系平衡的条件是合力为零，合力矩为零。
2
解题方法
利用平衡条件和分析方法，逐步确定未知量的数值。
3
示例题目
通过解题方法解决具体问题，加深理解。
空间力系的应用和意义
空间力系的应用涵盖了各个工程领域，可以用于解决实际工程问题，提高工程设计的准确性和效率。
机械工程
用于机械结构的设计和分析，例如机械臂、传动系 统等。
建筑工程
用于建筑物结构的分析和设计，例如桥梁、楼房等。
航空航天
用于航空器和航天器的设计和分析，例如飞机、卫 星等。
海洋工程
用于海洋结构的分析和设计，例如海上平台、潜水 器等。
结论和要点
• 空间力系是由多个力或力矩组成的力的系统。 • 空间力系的力和力矩可以用矢量表示。 • 空间力系需要考虑多个力和力矩的分析和平衡条件。 • 空间力系广泛应用于各个工程领域，提高工程设计的效率和准确性。
复杂性
空间力系一般由多个力和力矩组成，分析较为复杂。
工程应用
空间力系广泛应用于工程力学、机械设计等领域。
空间力系的力和力矩分析方法
力的分析方法
将力分解为分力或合力分解，再 进行叠加得到结果。
力矩的分析方法
根据力对应的力臂和力的矢量关 系，计算力矩。
矢量计算法
利用矢量运算法则，对多个力和 力矩进行矢量计算。
理论力学第七版第四章空 间力系
理论力学 第4章 空间力系的简化和平衡
28
3
FR 0
M 0 FR M
FR
Mo
MO
FR
FR
FR
O’
oo M M
FR
FR
合力 o
如果一个力与一个力系等效，称该力是这个 力系的合力！
29
4 FR 0
5 FR 0
M 0
M 0
R // M
力螺旋 o
FR
垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，
F1=3N， F2=5N，构件自重不计，求A,B两处的约束反力。
解：取整体为研究对象。
Mx 0 Mz 0
20
§4-4 空间一般力系的合成与平衡
一，空间力系向一点的简化 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的
简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 设作用在刚体上有
解：各杆均为二力杆,取球铰O为研究对象
Fix 0
Fiy 0
Fiz 0
10
§4-2 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
mO (F ) Fd 2AOB面积
如果r 表示A点的矢径，则：
T1 546(kN)
36
由B点：
X 0, T2cos cos45T3cos cos450
Y 0, T1sin60T2cos cos45T3cos cos450
Z 0, N2 T1cos60T2sin T3sin 0
cos 4 4, sin 3
力螺旋 o
空间力系简化与平衡2
S5 B1
z
C S4 S3 D 3 a S2 4 S1 2 C1
1
A1
x y
D1
a
a
∑ mDC ( F ) = 0 : S 6 a + S5 cos 45 a = 0 ⇒ S 6 = − P
∑ Z = 0 : − S1 − S 6 − S 3 − S 5 cos 45 − S 4 cos 45 − S 2 cos 45 = 0 ⇒ S1 = P + P − P − P + P = P
§3-6 重心
一、重心与计算公式
平行力系的合力为重力， 平行力系的合力为重力，重力作用线 必经的一点为物体的重心。 必经的一点为物体的重心。
28
由合力矩定理： 由合力矩定理：
PxC = ∑ ∆Px
z
M i ( xi , yi , zi )
− PyC = − ∑ ∆Py
将坐标绕x轴转过 90 ，由合力 将坐标绕 轴转过 O 矩定理(对 轴 矩定理 对X轴）： yi
∑M
x
( Fi )i + ∑ M y ( Fi ) j + ∑ M z ( Fi )k
' FR = ∑ Fi' = ∑ Fi = ∑ X i i + ∑ Yi j + ∑ Z i k
′ FRx ′ FRy ′ FRz
—有效推进力 有效推进力 —有效升力 有效升力 —侧向力 侧向力 —滚转力矩 滚转力矩
∑X =0 ∑Y = 0 ∑Z = 0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0
i i x i
y i z i
三、空间约束的类型举例
13
14
《理论力学》第四章 力系的简化习题解
解：
（1）确定悬索的形状
根据对称性，建立如图所示的坐标系。
由公式（4-6）得：
悬索的边界条件为： ， ， ， 。
所以悬索线方程为：
悬索线的斜率：
边界条件：
故悬索线方程为：
（2）求
（3）求最大拉力
由公式 得：
（出现在A、B两点处）。
[习题4-12]输电线之两塔相距 ，塔顶高差 ，垂度 ，电线每米重 ，并假定沿水平跨度均匀分布，求最低点水平拉力及最大拉力。
最大静摩擦力，那 么圆轮水平向右滑动，不
发生滚动。在这种情况下，杆OC的受力图如
图（a）所示。
由OC的平衡条件得：
圆轮的力图如图（b）所示。
由圆轮的平衡条件得：
（2）如果A先达到最大静摩擦力，那么圆轮将
沿地面滚动。此时，
由圆轮的平衡条件得：
（3）如果B先达到最大静摩擦力，那么圆轮将沿OC滚动。此时，
所示。由AB的平衡条件得：
………(1)
………(2)
………(3)
（1）/（2）得：
当物块M靠近B端时，板AB的受力如图（b）
所示。由AB的平衡条件得：
………(a)
………(b)
………(c )
(a)/(b)得：
综合考虑图(a)、(b)两种情况下的 值可知， 的范围是 。
[习题4-22] 攀登电线杆的脚套钩如图所示。设电线杆直径 ，A、B间的铅垂距离为 。若套钩与电线杆之间摩擦因为 ，求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最小距离 应为多大？
故悬索线方程为：
…………(3)
(3) 代入（2）得：
当 时， ，即：
。故悬索线方程为：
(2)确定水平力
当 时， ，即：
令
（1）确定悬索的形状
根据对称性，建立如图所示的坐标系。
由公式（4-6）得：
悬索的边界条件为： ， ， ， 。
所以悬索线方程为：
悬索线的斜率：
边界条件：
故悬索线方程为：
（2）求
（3）求最大拉力
由公式 得：
（出现在A、B两点处）。
[习题4-12]输电线之两塔相距 ，塔顶高差 ，垂度 ，电线每米重 ，并假定沿水平跨度均匀分布，求最低点水平拉力及最大拉力。
最大静摩擦力，那 么圆轮水平向右滑动，不
发生滚动。在这种情况下，杆OC的受力图如
图（a）所示。
由OC的平衡条件得：
圆轮的力图如图（b）所示。
由圆轮的平衡条件得：
（2）如果A先达到最大静摩擦力，那么圆轮将
沿地面滚动。此时，
由圆轮的平衡条件得：
（3）如果B先达到最大静摩擦力，那么圆轮将沿OC滚动。此时，
所示。由AB的平衡条件得：
………(1)
………(2)
………(3)
（1）/（2）得：
当物块M靠近B端时，板AB的受力如图（b）
所示。由AB的平衡条件得：
………(a)
………(b)
………(c )
(a)/(b)得：
综合考虑图(a)、(b)两种情况下的 值可知， 的范围是 。
[习题4-22] 攀登电线杆的脚套钩如图所示。设电线杆直径 ，A、B间的铅垂距离为 。若套钩与电线杆之间摩擦因为 ，求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最小距离 应为多大？
故悬索线方程为：
…………(3)
(3) 代入（2）得：
当 时， ，即：
。故悬索线方程为：
(2)确定水平力
当 时， ，即：
令
理论力学：空间任意力系的简化
O’
Od
O’
(A) FR 0, MO 0, FR MO (不过简化点O)
(B) FR 0, MO 0 (过简化点O)
3
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
(2) FR 0, MO 0, FR MO
MO FR
O
M O1 FR
O MO2
力螺旋 (wrench)
M O1
FR
FR
o d O’
理论力学
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
F3
F2
F1 平面椭圆A
F1
F3 F5
F2
F4
正方体A
F3
F2
F1
平面椭圆B
F2 F3
F1
F5
F4 正方体B
6
理论力学
§2-3 空间一般力系简化
例：求力系｛Fi｝向O点简化的结果。
z
解：1、 Fi Fix i Fiy j Fiz k
ri xii yi j zik
F1
c
n
2、 FR Fi
0
M
A
1 2
ql 2
2020/12/9
19
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：重为W 的均质正方形板 水平支承在铅垂墙壁上，求 绳1、2的拉力, BC杆的内力
理论力学 空间力系
MO( F ) = r×F
宁夏大学机械工程学院技术基础部
又 则
力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为
2.力对轴的矩 2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零。 力对该轴的矩为零。
力对轴的矩之定义
• 力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是一 个代数量，其绝对值等于该 力在垂直于该轴的平面上的 投影对于此平面与该轴的交 点的矩的大小。顶着坐标轴 看力使物体绕轴逆时针旋转 为正。 即 Mz( F ) = M O( Fxy) = ± Fxy h = ± 2△OAB
=
=
如同右图 有 为合力偶矩矢，等于各分 为合力偶矩矢， 力偶矩矢的矢量和。 力偶矩矢的矢量和。
合力偶矩矢的大小和方向余弦
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等 于零， 于零，即 有 ∑Mix = 0 简写为 称为空间力偶系的平衡方程。 称为空间力偶系的平衡方程。
∑Miy ∑Mix cos β = cosθ = M M
空间的固定端支座
MAx FAx
例4 - 6 已知： 已知：P=8kN, P =10kN, 各尺寸如图 1 求： 、B、C 处约束力 A 解：研究对象：小车 研究对象： 受力：P, P, FA, FB , FD, 受力： 1 列平衡方程
∑F = 0
z
x
y
∑M (F) = 0 1 ∑M (F) = 0 0.8P + 0.6P −1.2FB − 0.6FD = 0
因
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 只要保持力偶矩不变， 任意移转， 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶 臂的长短，对刚体的作用效果不变。 臂的长短，对刚体的作用效果不变。
理论力学-第2章 力系的等效与简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系简化的结果
力系的主矢不随简化中心的改变而改变， 所以称为力系的不变量。主矩则随简化中心 的改变而改变。
力系的简化
空间一般力系的简化
例题2
由F1、F2组成的空间力系，已 知：F1 = F2 = F。试求力系的主矢FR
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
-F
F
F
F
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
z
-F F
F
M
F
Mx My
F
力系的简化 空间一般力系的简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
M1
F1
F2
Mn
Fn
Fn
M2
F2 F1
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
MnMO M1
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
x
y
力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩
力矩矢量的方向
M
F
O
r
按右手定则 M= r F
力对点之矩与力对轴之 矩
力对轴之矩
力对点之矩与力对轴之
矩
力对轴之矩
力对轴之矩实例
F Fz Fy
Fx F
力对点之矩与力对轴之
矩
力偶与力偶系
力偶的性质
力偶的性质
性质一 :力偶无合力，即主矢FR=0。 力偶对刚体的作用效应，只取决于力偶矩矢量。
力偶与力偶系
力偶的性质
性质二：只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。
理论力学：空间任意力系的简化
理论力学
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
2020/12/9
10
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：结构如图所示，不计构件自重。已知主动力F（作用于杆 的中点），确定铰链O、B约束力的方向并比较其大小。
FA A
F O
1、研究OA杆 B
2、研究AB杆
A
FA
F
B
O
FB
FO FA
（A）
FB
F
FO FB FA FO
FO
（B）
FB
FB FA FO
F
2020/12/9
11
理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i 1
i 1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
二力平衡原理
作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理
作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力的 作用线共面，或汇交于一点或彼此相互平行。
• 空间任意力系的简化与平衡条件
2020/12/9
1
理论力学 BUAA
空间任意力系的简化
三、空间任意力系简化结果的讨论
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR , MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0 2、 FR 0, MO 0
平衡力系 合力 (过简化点O)
3、 FR 0, MO 0
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理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
例：结构如图所示，不计构件自重。已知主动力F（作用于杆 的中点），确定铰链O、B约束力的方向并比较其大小。
FA A
F O
1、研究OA杆 B
2、研究AB杆
A
FA
F
B
O
FB
FO FA
（A）
FB
F
FO FB FA FO
FO
（B）
FB
FB FA FO
F
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理论力学
§2-4 各类力系平衡条件
二、空间任意力系的平衡条件
空间任意力系简化 {F1, F2 ,, Fn} {FR , MO}
平衡
FR 0, MO 0
n
n
FR Fi ' Fi
i 1
i 1
n
n
MO Mi ri Fi
i1
i1
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 MO ( MOx )2 ( MOy )2 ( MOz )2
二力平衡原理
作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理
作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力的 作用线共面，或汇交于一点或彼此相互平行。
理论力学第四章空间力系
FAx 1004N
36
例4-9(简单讲)
已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , Ft （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
37
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
29
当
成角
且
不平行不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
4）平衡 当 时，空间力系为平衡力系
30
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零。 1、空间任意力系的平衡方程 （4–12） 空间平行力系的平衡方程 （4–13） 2、空间约束类型举例(P88表4－1) 3.空间力系平衡问题举例
19
M iy 0
M iz 0
（4–11）
例4-5(自学) 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。 列力偶平衡方程
。
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
24
举例：
—有效推进力 —有效升力
飞机向前飞行 飞机上升
—侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩
—俯仰力矩
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯
飞机仰头 25
2、空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1）合力 a. 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 b. 当 时， 最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
36
例4-9(简单讲)
已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , Ft （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
37
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
29
当
成角
且
不平行不垂直时
力螺旋中心轴距简化中心为
4）平衡 当 时，空间力系为平衡力系
30
§4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零。 1、空间任意力系的平衡方程 （4–12） 空间平行力系的平衡方程 （4–13） 2、空间约束类型举例(P88表4－1) 3.空间力系平衡问题举例
19
M iy 0
M iz 0
（4–11）
例4-5(自学) 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A 。 列力偶平衡方程
。
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯 飞机仰头
24
举例：
—有效推进力 —有效升力
飞机向前飞行 飞机上升
—侧向力 —滚转力矩 —偏航力矩
—俯仰力矩
飞机侧移 飞机绕x轴滚转 飞机转弯
飞机仰头 25
2、空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1）合力 a. 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 b. 当 时， 最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为
空间力系的简化
F
MO
O
主矩： M O M O
x FR
FR
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
y FR
2 2 F F ( F ) ( F ) 709.4 kN R x y 合力FR的大小： R
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 体，是一个压力 FN
未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰
FAz
A
FAx
FAy
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角
坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
MO
O
主矩： M O M O
x FR
FR
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
y FR
2 2 F F ( F ) ( F ) 709.4 kN R x y 合力FR的大小： R
FR M B 50(i k ) 2.5i d 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
最后结果： FR 与 M B 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 解： 力系向A点简化
合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 体，是一个压力 FN
未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰
FAz
A
FAx
FAy
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角
坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
基本力系的简化结果：
汇交力系—过汇交点的合力
力偶系—合力偶
根据力的空间位臵：
空间力系、平面力系
空间力系的简化与平衡
1.空间力系的平衡条件
任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 定点O的主矩 M 全为零。
O
FR
和对任一确
即
n FR Fi 0
M O M O ( Fi ) 0
i 1
i 1 n
（7.1）
8
§3–2 空间力系的平衡
2.空间力系的平衡方程
在O点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方程可写为6个独立的 代数方程：
（1）、简单几何形状的物体 查重心表、或直接计算
（2）、复杂几何形状的物体
组合法 （3）、实验法
22
合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和. 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和. （2）合力偶 当 FR 0, MO 0 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 （3）力螺旋 当 FR 0, MO 0, FR ∥M O 时
力螺旋中心轴过简化中心
.
2
1、空间任意力系向一点的简化
将每个力向简化中心平移
M1
Fn
F2
Fn
F2 F1
主矢为
F3
F1
Mn
M2
空间力系的简化结果为一主矢和一主矩。
F
' R
F
i 1
n
n
i
与简化中心无关
主矩为 M 0 M 0 (F) 与简化中心有关
i 1
3
主矢和主矩的计算 主矢—通过投影法 根据它们，可得到 主矢的大小和方向
FBx 0
16
M iy 0
M
ix
P 1 FT 2 2 0 FT
空间力系的简化与平衡
例题3－4 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F， 它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。
B
C
30
D
60
5m
45
G E
45
A
B C
30
1. 先取滑轮 B为研究对象。注意，起 解：
重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，
5m
60
它是一个二力构件，把滑轮 B 简化为一点，
D
它的受力图如图所示。 这是一平面汇交力系，列平衡方程
G E
45 45
A
y B x
Fx 0,
4 3
2
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
（二）.空间汇交力系的合成与平衡 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 Fx cos( FR , i ) n FR FR F1 F2 Fn Fi Fy i 1 cos( FR , j ) X i i Yi j Z i k FR Fz cos( FR , k ) FR
F1 FA
B
F
F F
x
0
A x
F1 sin 45 F2 sin 45 0
理论力学之力系的简化
右力螺旋
左力螺旋
9
∥ ② R' 与M O 成任意角度，此为最一般情况。分解 M O M O M O ， ⑤
R' 0，M O 0
了解即可
∥ （R' ·M O）R' M O＝ R' 2 ∥ ( R ' , M O ) R ，( R, M O ) 为力螺旋
第二章 力系的简化 (Reduction of a force system)
◇ 目的： 1. 由简化结果研究原力系作用效果 2. 简化结果为0 => 力系平衡条件 => 平衡方程 ◇ 力系分类 ◇ 本章内容： 平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系(含力偶系) 任意力系(一般力系)
1、 力系的等效 2 、力系的简化结果 3 、重心
B.合力作用线方程：
MO r R R R ', r xi yj zk
8
The Wrench R' 0，M O 0 ④ R '∥ M O ， ( R ' , M O ) 为力螺旋，最简力系之一。 ① R ' ·M O 0 ──右力螺旋， R ' ·M O 0 ──左力螺旋。 —— R' 的中心线──力螺旋的中心轴。 此时即 R ' 作用线
( F1 , F2 ,, Fn )
任意力系 力平移定理
(F1 ' , F2 ' ,, Fn ' )
汇交力系：
主矢(与O无关)：
R'
Fi ' Fi
i 1
n
理论力学力系的简化
M O = M A + OA × FR
⇒ MO = M A
FR = 0
3、 F R ≠ 0 ; M O = 0
力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
思考: 是否与简化中心O有关 有关? 思考 是否与简化中心 有关
4、
F R ≠ 0; M O ≠ 0
分三种情况讨论
; F （1） F ≠ 0 MO ≠ 0且 R ⊥ MO (即第二不变量FR • M O = 0) R
M 4 = − Sdi + Sdj + Sdk
M 3 = Sdi
M 5 = Sdi + Sdj − Sdk
MO = M1 + M2 + M3 + M4 + M5 = Sd(i + j + k)
FR =Sk ≠ 0
FR • M O = S d ≠ 0
2
MO = Sd(i + j + k) ≠ 0
FR × M O = Sd ( i + j ) ≠ 0
F • M =0 R O
力系平衡 力系简化为一个合力偶，力偶矩为 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo 力系与一个力等效：该力过简化中心O， 力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。 大小、方向与力系的主矢相同。
简化为一个合力 简化为一个合力
作用线方程
FRy FRx FRz = = =c x − xB y − yB z − zB
FR
可以向
O B
′′ FR × MO FR × MO O = B = 2 2 FR FR
方向平移，简化为一个过B的主矢 FR′ 并且
理论力学课件 力系简化理论
2012-3-1
或 x
MO 3.514m FRy
例题 2-6 在边长为a的正方形顶点O、F、C和E处分别作用有大小都等于F 的力，方向如图所示，求此力系的最终简化结果。
解：
首先，将各力表示成矢量的形式
F1 F 2 (i j ) 2
F2 F
2 ( i j ) 2
简化的最终结果是一平面力偶 ，大小为 3 Fa。
2012-3-1
例题2-6：重力坝
重力坝受力如图(a)所示。设 求主动力系的合力。
y
解： （1）先将力系向O点简化，求主矢 FR′和主矩MO
先求主矢FR′在x 、y 轴上的投影
F x F1 F2 con 232.9 FRx
主矩的大小 主矩的方向余弦
M M x M y M z 251.86N m
My M
2
2
2
M cos cos
Mz 0.7943 M
2012-3-1
§2–3
力系的简化结果
1）合力的情况 0, M O 0 最后结果为一个过简化中心的合力. 当 FR
如图以a端为原点建立坐标载荷集度函数的一般表达式为合力的大小根据合力矩定理合力的作用位置201231常见分布载荷计算分布载荷的强度常用单位长度面积体积上载荷总量表示称为载荷集度q
第二章
力 系 简 化 理 论
2012-3-1
§2–1
力的平移定理
将作用在刚体上一点A点的力F向刚体上任意点B平移而不改变对刚体 的作用，必须同时附加一力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点B 之矩，即
2012-3-1
因为
MO 0 FR
所以
或 x
MO 3.514m FRy
例题 2-6 在边长为a的正方形顶点O、F、C和E处分别作用有大小都等于F 的力，方向如图所示，求此力系的最终简化结果。
解：
首先，将各力表示成矢量的形式
F1 F 2 (i j ) 2
F2 F
2 ( i j ) 2
简化的最终结果是一平面力偶 ，大小为 3 Fa。
2012-3-1
例题2-6：重力坝
重力坝受力如图(a)所示。设 求主动力系的合力。
y
解： （1）先将力系向O点简化，求主矢 FR′和主矩MO
先求主矢FR′在x 、y 轴上的投影
F x F1 F2 con 232.9 FRx
主矩的大小 主矩的方向余弦
M M x M y M z 251.86N m
My M
2
2
2
M cos cos
Mz 0.7943 M
2012-3-1
§2–3
力系的简化结果
1）合力的情况 0, M O 0 最后结果为一个过简化中心的合力. 当 FR
如图以a端为原点建立坐标载荷集度函数的一般表达式为合力的大小根据合力矩定理合力的作用位置201231常见分布载荷计算分布载荷的强度常用单位长度面积体积上载荷总量表示称为载荷集度q
第二章
力 系 简 化 理 论
2012-3-1
§2–1
力的平移定理
将作用在刚体上一点A点的力F向刚体上任意点B平移而不改变对刚体 的作用，必须同时附加一力偶，其力偶矩等于原来的力对新作用点B 之矩，即
2012-3-1
因为
MO 0 FR
所以
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c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。
轴上的投影。
2 2 2 M O [ M O ]x [ M O ] y [ M O ]z
4)主矩大小： MO [ MO ]x i [ MO ]y j [ MO ]z k
由力对点矩矢量与力对轴之矩的关系：
[ MO ( F )]x M x ( F )
' FR 0 ， MO 0，则需要作进 4. 若简化结果：
一步分析。
' a) 若主矢垂直于主矩：FR Mo MO ' Mo FR O d ' d FR FR ' O' M
O
最终可以简化为一个偏离简化中心 O 的合力。 偏离点o’ 到简化中心的距离 d 可计算出。
3)主矢的解析表达式：
' ' ' ' Fi FR FRx i FRy j FRz k
' ' 主矢投影：FRx Fxi FRy Fyi
(Fxi i F j F k ) yi zi (Fxi i) (Fyi j ) (Fzi k ) (Fxi )i (Fyi ) j (Fzi )k
力对点的矩矢量在通过该点之轴上的投影，等 于力对该轴之矩。
[ MO ]x [mO ( Fi )]x mx (Fi )
2 2 2 MO (m x ( Fi )) (m y ( Fi )) (mz ( Fi ))
空间约束例：三维固定端
Mo
F’R
' Fi Fi ' ' FR Fi Fi
结论：空间一般力系向任意一点O简化的结果 为一个力和一个力偶。该力等于该力系的主矢， 作用线过简化中心O；该力偶的矩矢等于该力 系对简化中心O点的主矩。
' 1) 主矢 FR Fi
(矢量)，只与力系中各分力 矢量有关，与简化中心O的位置无关。 2) 主矩 MO mO ( Fi ) (矢量)，与简化中心O 的位置有关，因为平移的距离不同。
c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' ' ' ' 2) 因为力偶矩矢M O 垂直于主矢 FR ： FR MO ' 逆用力平移定理，可将主 ' ' MO 矢 FR 与力偶矩矢 M O 一起 简化为作用于点 o’ 的一个 ' O " FR 力 FR ，两点的距离d： dM F
' O' MO
O
R
' M o M o sin d ' ' F FR R
F1
O点是任选的简化中心。 由力平移定理，将各力向 O点平移，附加力偶 mi ， 空间任意力系等效变换成 一个空间汇交力系+ 一个空间力偶系。
空间汇交力系可合成为一个作用线过简化中心 ' O点的力 FR ； 空间力偶系可合成为一个空间力偶，该力偶矩 矢记为 M O ； 空间任意力系一般简化为一个力+一个力偶矩矢。
三维固定端约束处，有三个约束反力加上三个 约束反力偶，共有六个约束反力。
二、空间任意力系简化结果讨论 ' FR 0， Mo 0 ，则原力系简 1. 若简化结果： 化为一个空间力偶，此时主矩与简化中心 无关(力偶与矩心无关)。 ' 2. 若简化结果： FR 0， MO 0，则原力系简 化为一个合力 ，合力过简化中心。此时简 化也是合成。 ' 3. 若简化结果： FR 0 ， MO 0 ，力系平衡。
F Fzi
' Rz
' (Fxi )2 (Fyi )2 (Fzi )2 主矢大小： FR
主矢的方向余弦：
cos
Fxi
F
' R
cos
Fyi
F
' R
cos
F
' R
[ MO ]x、 [ MO ]y、 [ MO ]z 是 M O 在三个坐标 其中：