广西壮族自治区南宁市第十中学高三数学文下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市第十中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题是（ ）
B
D 参考答案：
A
2. 已知复数满足
，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】A ∵复数z 满足（3+4i ）z=25，
∴z=
故答案为：A ．
【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出． 3. 如图，在平面四边形ABCD 中，，
，
，
. 若点E 为
边CD 上的动点，则
的最小值为
(A) (B) (C) (D)
3
参考答案：
A
分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
点在
上，则
，设
，则：
，即
，
据此可得：
，且：
，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
4. 为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.75，则的最小值为（）
A．9 B．C．3 D．
参考答案：
C
【考点】茎叶图．
【分析】根据平均数的定义求出a+b=3，再利用基本不等式求出+的最小值．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为
=×（a+11+13+20+b）=11.75，
∴a+b=3；
∴+=（+）
=+++=++≥+2
=+2×
=3，
当且仅当a=2b，即a=2，b=1时取“=”；
∴+的最小值为3．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数的定义与基本不等式的应用问题，是基础题．
5. 设，不等式的解集是，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
6. 已知，则
A． B． C． D ．
参考答案：
D
7. 已知函数，若则（）
A．B．－C．2 D．－2
参考答案：
B
8. 设集合，则C中元素的个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D.6
参考答案：
【知识点】集合中元素个数的最值．A1
【答案解析】B 解析：∵a∈A，b∈B，∴a=1，或a=2或a=3，b=4或b=5，则x=b﹣a=3，2，1，4，即B={3，2，1，4}．故选：B．
【思路点拨】根据集合C的元素关系确定集合C即可．
9. 设，：，：，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
参考答案：
A
10. 函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的方程为________________
参考答案：
12. 一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．参考答案：
1/2
略
13. 已知，是第四象限的角，则
=
．
参考答案：
14. 数列{a n}，{b n}的前n项的和分别为A n、B n，数列{c n}满足：c n=a n B n+b n A n﹣a n b n．若A2009=41，
B2009=49，则数列{c n}的前2009项的和C2009= ．
参考答案：
2009
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】c n=a n B n+b n A n﹣a n b n=（A n﹣A n﹣1）（B n﹣b n）+（B n﹣B n﹣1）A n=A n B n﹣A n﹣1B n﹣1．利用“累加求和”方法即可得出．
【解答】解：c n=a n B n+b n A n﹣a n b n=（A n﹣A n﹣1）（B n﹣b n）+（B n﹣B n﹣1）A n
=A n B n﹣A n﹣1B n﹣1．
∴数列{c n}的前2009项的和C2009=（A2009B2009﹣A2008B2008）+（A2008B2008﹣A2007B2007）+…+（A2B2﹣A1B1）+A1B1 =A2009B2009
=41×49
=2009．
故答案为：2009．
【点评】本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 已知向量=（－4，3），=（6，m），且⊥，则m=__________.
参考答案：
8
【分析】
利用转化得到加以计算，得到.
【详解】向量
则.
16. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则
.参考答案：17. 设函数f（x）=，若f（f（a））=3，则a= ．
参考答案：
【考点】分段函数的应用；函数的值；函数的零点与方程根的关系．
【分析】利用分段函数，通过a的范围，列出方程求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，若f（f（a））=3，当a≥1时，
可得：f（﹣2a2+1）=3，可得log2（2a2）=3，解得a=2．
当a＜1时，
可得：f（log2（1﹣a））=3，log2（1﹣a）＞1时，可得，解得a∈?．log2（1﹣a）＜1时，可得log2（1﹣log2（1﹣a））=3，即1﹣log2（1﹣a）=8，log2（1﹣a）=﹣7，
1﹣a=，可得a=．
故答案为：2或．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x3﹣x+2．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程．
（Ⅱ）化简g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使
y=g（x）在（e，+∞）上有极值，转化为 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围．
（Ⅲ）转化已知条件为?t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2），通过函数的单调性以及最值，推出
=，构造函数
，利用导数以及单调性求解即可．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（1）=13﹣1+2×1=2．…（1分）
…（2分）
∴函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．…（3分）
（Ⅱ）解：
定义域为（0，1）∪（1，+∞）∴…（4分）
设h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，
则 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，
∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①…
而且一根在区间（e，+∞）上，不妨设x2＞e，又因为x1?x2=1，∴，
又h（0）=1，
∴
联立①②可得：…（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x∈（1，x2），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，
x∈（x2+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）在（1，+∞）上有最小值g（x2）即?t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2）…（7分）
又当x∈（0，x1），g'（x）＞0∴g（x）单调递增，当x∈（x1，1），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，
∴g（x）在（0，1）上有最大值g（x1）即对?s∈（0，1），都有g（s）≤g（x1）…（8分）
又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈（0，），x2∈（e，+∞），
∴==…（10分）
，
∴，
∴k（x）在（e，+∞）上单调递增，∴…（11分）
∴…（12分）
【点评】本题考查函数的导数，函数的单调性以及函数的最值，构造法的应用，考查函数的最值以及单调性的关系，考查转化思想以及计算能力．
19. （本小题满分14分）
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，
求证：平面AB1D⊥平面ABM．
参考答案：
证明：(1) 记A1B∩AB1＝O，连接OD.
∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，
又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD. ………2分
又∵A1C平面AB1D，OD平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ………6分
注意：条件“A1C平面AB1D，OD平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！
(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.………8分
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C.
【或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C.】………10分
∵BM平面BB1C1C，
∴AD⊥BM. ………12分
又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D平面AB1D，
∴BM⊥平面AB1D.
又∵BM平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．………14分
20. 如图，内接于,,直线切于点,弦,相交于点
.
(Ⅰ)求证:△≌△；
(Ⅱ)若,求长.
参考答案：
（1）证明：∵ 直线是圆的切线∴∠=∠
∵∥∴∠=∠又∵∠与∠为弧所对的圆周角∴∠=∠
∴∠=∠
又∵∠与∠为弧所对的圆周角∴∠＝∠
又∵＝∴△≌△
（2）解：∵直线是圆的切线∴∠＝∠
∵∥∴∠＝∠
∵∠与∠为弧所对的圆周角∴∠=∠
∴∠=∠=∠∴＝＝4
又∵∠＝∠＋∠＝∠＋∠＝∠＝∠
∴＝＝4
设＝易证△∽△∴＝＝∴＝
又∵＝＝6－
∴（6－）＝4解得＝∴＝
21. 已知函数与的图象在点(1,1)处有相同的切线．（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）若函数与的图象有两个交点，求实数n的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个极值点，且，证明：．
参考答案：
（Ⅰ）因为，，根据题意，
得解得………2分
（Ⅱ）设，则，
当时，，当时，，
所以，
故欲使两图象有两个交点，只需，，
所以实数的取值范围为.……………5分
（Ⅲ）由题意，函数，其定义域为，
，
令，得，其判别式，
函数有两个极值点，，等价于方程在内有两不等实根，又，故．……………8分
所以，且，，
令，，则，
由于，∴，故在上单调递减．
故．
所以，
所以．……………12分
22. 已知函数在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3）若P（x0，y0）为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）由函数在x=1处取得极值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b确定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可；
（3）找出直线l的斜率k=f′（x0），利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到k的范围．【解答】解：（1）因，
而函数在x=1处取得极值2，
所以??
所以；
（2）由（1）知，
如图，f（x）的单调增区间是[﹣1，1]，
所以，?﹣1＜m≤0，
所以当m∈（﹣1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．
（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：
=
令，则t∈（0，1]，此时，
根据二次函数的图象性质知：
当时，k min=，当t=1时，k max=4
所以，直线l的斜率k的取值范围是．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及直线斜率的求法．。