三角形相似练习题

A B C D
D
A
B
C
D
A
B
C E
A
B
C
D E
要点：
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．
拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

知识点1．相似三角形的判定
．
判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．
知识点2．直角三角形相似的判定
知识点3． 相似三角形中的基本图形
A 型，X 型 交错型
旋转型 母子形
备注：
1、三角形相似
两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。

2、相似比例形式
AB AC =AE AF
AB ·AF = AE ·AC
AB AC
=
AD AB
AB 2=AD ∙AC
1、具备下列各组条件的两个三角形中，一定相似的是（ ） A. 两个任意三角形 B. 两个等腰三角形
A
B C D E
C. 两个等边三角形
D. 两个直角三角形 2、判断题：
(1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。

（ ） (2)两个等腰直角三角形是相似三角形。

（ ） (3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。

（ ） (4)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。

（ ） (5)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。

（ ） (6)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。

（ ） (7)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似。

（ ）
3、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高.
则 ∽ ∽ 4、如图，∠ACD ＝∠B. 则 ∽
5、如图ABCD 是平行四边形，F 是DA 延长线上一点，连CF 交BD 于G ，交AB 于E ，则 △AEF
∽ ∽ 。

6、如图，△ABC 中， DE 、FG 均平行于BC 且将△ABC 面积分成三等分， 则 ∽ ∽ 。

7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ．
8、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD
9、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ACD=∠B ，求证：AD
BC
CD AB
10、如图，AB 是Rt △ABC 的斜边，CD 是高线，∠BAC 的平分线交BC ，CD 于E ，F ． 求证：△ACF ∽△ABE ； 11、如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=
∠C ．
求证：△ABF ∽△EAD ； ．
12、已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900
，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证： △MAE ∽△MAD ；
13、如图所示，Rt △ABC 中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过点D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于点E ． 证明：△ABD ∽△DCE ；
B
F E
D
C
A
B
E D
C
A
F
A
B
C D E M 12
14、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
15、如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，已知F 是CD 的中点，另外、AB =6，AE =9，DE =2，
证明：ABE DEF △∽△．
16．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？
17、如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=6cm ，CD=4cm ，BD=14cm ，点P 在BD 上由B 点向D 点移动，当BP 等于多少时，△ABP 与△CPD 相似？
18. 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB
上，且3
1
AC AD ，AE ＝BE ，则在图中能找到相似三角形吗？请说明理由．
A .
A B D C P
19、如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ． （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请分别说明两对三角形相似的理由．
20．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AH ⊥BC 于H ，以AB 和AC 为边在Rt △ABC 外作等边△ABD 和△ACE ，试判断△BDH 与△AEH 是否相似，并说明理由．
21、在正方形ABCD 中，AB = 2， P 是BC 边上与 B 、C 不重合的任意点，DQ ⊥AP 于Q 。

（1）试说明ΔDQA ∽ΔABP 。

（2）若P 为中点时，求AQ 的长度？
例题22：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900
，M 是BC 的中点，DM ⊥
BC 于
点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：MA 2
=MD •ME ；
A
B
C
D E
M
12
23、如图所示，△ABC中AB=AC，D为CB的延长线上一点，E为BC延长线上一点，满足AB2=DB· CE。

求证：△ADB∽△EAC；
24．已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.
求证:
（1）ΔACE∽ΔBCE
（2）AE
CE =CE
EB
（3）ΔAPE∽ΔBDE
（4）CE2=ED·EP.
25、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
证明：
（1）⊿AEF∽⊿ABE
（2）BD2=AD·DF吗?请说明理由。

26、如图，在△ABC中，已知BD、CE是△ABC的高，
求证：
A
B
C
D
E
A
D B C E
（1）AE ·AB = AD ·AC （2）△ADE ∽△ABC 。

27、如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB ，AC 于E ，F ． 求证：BD
BE
AD AF
．
28、在三角形ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，延长AM 交BC 于点G ，AD 与BE 相交于点F ， 求证：（1）DE AD =CE
CD
;
（2）△BCE ∽△ADM ；
1、如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于（ ） A 、
161cm 2 B 、81cm 2 C 、4
1
cm 2 D 、1cm 2
2．如图，已知△ADE ∽△ACB ，且∠ADE=∠C ，则AD ：AC=（ ）
B
F
D
C
B
A
E F
（A ）AE ：AC （B ）DE ：BC （C ）AE ：BC （D ）DE ：AB
3．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果
2
3
=DB AD ，AE=15，那么EC 的长是（ ） （A ） 10 （B ） 22. 5 （C ） 25 （D ） 6 4．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DCE ADE S S ∆∆=2，则 ABC
ADE
S S ∆∆=（ ）
（A ）
41 （B ） 21 （C ）32 （D ）9
4 5．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为（ ）
A 、6cm 2
B 、9cm 2
C 、12cm 2
D 、24cm 2
5、如图，D 为△ABC 的边AC 上的一点，∠DBC=∠A ，已知BC=2，△BCD 与△ABC 的面积的比是2：3，则CD 的长是（ ）
6、如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且
3
1
=AC AD ，AE=BE ，则有（ ） A ．△AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD
7、如图，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若3=GA
BG
,BC=8，则AE 的长为________。

F
E D
C
B
A
A
B
C
D E
A
B C
D
E
A
B
D
E A
B C
D
E
A
B
C
D
E
BE AD
【拓展】．
1、某同学身高AB ＝1.60m ，他从路灯杆CD 底部的点D 直行4m 到点B ，此时其影长PB ＝2m,求路灯杆CD 的高度。

2、如图，Rt △ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到点B ，C ），过D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于E ．
（1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
3、已知△ABC ，△DCE ，△EFG 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG•在同一直线上，且BC=1，连接BF ，分别交AC ，DC ，DE 于P ，Q ，R ．
B
E
D
C
A
求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长。

4、如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．。