2020-2021学年珠海市七年级上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年珠海市七年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列说法正确的个数是()
①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值
是它的相反数；④互为相反数的两个数的绝对值一定相等；⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
2.向东行进−50m表示的意义是()
A. 向东行进50m
B. 向南行进50m
C. 向北行进50m
D. 向西行进50m
3.据报道，中国已经成为“微博用户”世界第一大国，截至2013年3月31日用户数量约达
4.24亿
户，把“4.24亿”用科学记数法表示为()
A. 42.4×107
B. 4.24×108
C. 0.424×109
D. 4.24×1010
4.已知0.5x a+b y a−b与2
3
x a−1y3是同类项，那么()
A. {a=−1
b=2B. {a=1
b=−2
C. {a=−2
b=1
D. {a=2
b=−1
5.下列计算中，正确的是()
A. a2+a3=a5
B. (a2b3)3=a5b6
C. (a2)7=(−a7)2
D. a3⋅a2=a6
6.多项式x+2y与2x−y的差是()
A. −x+3y
B. 3x+y
C. −x+y
D. −x−y
7.列各式去括号错误的是()
A.
B.
C.
D.
8.下列各组数中，互为相反数的是()
A. 2和1
2
B. (−1)3和−1
C. −12和(−1)2
D. −(−2)和|−2|
9.若x2−x−1=0，则x3−2x2+5的值为()
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
10.用“※”定义新的运算：对于任意有理数a和b，规定a※b=b2−ab，如：1※3=32−1×3=6，
则(−3)※(−2)的值为()
A. 2
B. −2
C. 6
D. −6
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.单项式−πxy的系数是__________，次数是_____________。

12.一件商品的进价为a元，将进价提高80%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售价是
______ 元.(结果需化简)
13.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a−b|=______．
14.代数式2a−3b+8的值是18，则代数式4a−6b+2的值为______．
15.列等式表示：“x的2倍与8的和等于10”上述等式可列为：______ ．
16.利用数轴解下列各题：
(1)数轴上点A、点B分别是实数−3、2对应的点，则点A、点B间的距离为______；
(2)再选几个点试试，猜想：若点A、点B分别是实数a、b对应的点，则点A、点B间的距离为______；
(3)若数轴上点A对应的实数为a，且|a+2|+|a−1|=5，则点A对应的实数为______．
三、计算题（本大题共3小题，共23.0分）
17.计算：(−1
2)−(−31
4
)+(+23
4
)−(51
2
)．
18.某人去批发市场采购苹果，他看中了两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都为6元/千克，
批发价各不相同
A家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的2%优惠；批发数量不超过2000千克，按零售价的90%优惠；批发数量超过2000千克，按零售价的88%优惠．
B家的规定如下表：
数量范围(千克)0～500(含500)500～1500(含
1500)
1500～2500(含
2500)
2500以上
价格(元)零售价的90%零售价的85%零售价的75%零售价的70%例如在B家批发1000千克苹果，需要的费用为500×6×95%+(1000−500)×6×85%= 5400(元)
(1)若他批发600千克苹果，在A，B两家批发分别需要多少元？
(2)若他批发x千克苹果(1500<x<2000)请你分别用含x的式子表示在A、B两家批发所需的
费用；
(3)现在他要批发1800千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．
19. 先化简再求值：4a2b+2ab+3(a2b−ab)，其中a=−2，b=−1．
四、解答题（本大题共6小题，共43.0分）
20. 观察下列各式：31−30=2×30…………①32−31=2×31…………②33−32=2×
32…………③……
探索以上式子的规律：
(1)写出第5个等式：______；
(2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(3)计算30+31+32+⋯+32020．
21. 从一个多项式中减去2ac−3bc+1，一位同学由于粗心，看错了符号，以为是加上这式子，得
到的答案是−4ac+2bc−5，请你帮他求出正确的答案．
22. 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值。

例：如图所示，点A、B在数轴上分
别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a−b|。

根据以上知识解题：
(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、−1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为_________；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为___________；
(2)|x+1|+|x−2|的最小值为_______；此时x的取值是______；
(3)已知(|x+1|+|x−2|)(|y−3|+|y+2|)=15，求x−2y的最大值_____和最小值_____。

23. 为了有效控制酒后驾车，某市城管的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，若规定向东为正，向
西为负，从出发点开始所走的路程为(单位：千米)：+3，−5，+4，+1，−6，−1，+7．
(1)此时，这辆城管的汽车司机如何向队长描述他所处的位置？
(2)如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻(含返回)共耗油多少升？(已知每千米耗油0.1升)
24. 甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同，甲商场规定：
凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取；乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取，某顾客购买的电器价格是x(x>4000)元．
(1)分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用；
(2)当x=6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由．
(3)当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？
25. 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，点P为数轴
上一动点，其表示的数为x。

(1)数轴上点B表示的数为______(直接填空)；
(2)是否存在点P，使PA+PB=26，若存在，写出x的值；若不存在，请说明理由；
(3)M为PA的中点，N为PB的中点，动点P从点A出发。

在点P运动的过程中，线段MN的长度是
否发生变化？若不变，请你画出不同情况的图形，并写出线段MN的长；若变化，请说明理由。

参考答案及解析
1.答案：C
解析：解：①一个数的绝对值的相反数不一定是负数，如0，不符合题意；
②正数和零的绝对值都等于它本身，符合题意；
③0和负数的绝对值是它的相反数，不符合题意；
④互为相反数的两个数的绝对值一定相等，符合题意；
⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值，符合题意；
故选：C．
根据绝对值、相反数和有理数解答即可．
此题考查正数和负数，关键是根据绝对值、相反数和有理数解答．
2.答案：D
解析：解：由题意得：“−”代表反向
∴向东行进−50m的意思即是向西行进50m．
故选：D．
向东行进−50m的意思即是向西行进50m．
本题考查正数和负数，实际问题中的“−”代表的相反意义．
3.答案：B
解析：试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
4.24亿=424000000=4.24×108，
故选：B．
4.答案：D
解析：
这类题目的解题关键是从同类项的定义出发，列出方程(组)并求解．
由同类项的定义，列出关于a，b的二元一次方程组，从而得到a，b的值．
解：由同类项的定义，得
{a−b=3
a+b=a−1，
解这个方程组，得
{a=2
b=−1．
故选D．
5.答案：C
解析：解：A.a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.(a2b3)3=a6b9，故本选项不合题意；
C.(a2)7=(−a7)2，正确；
D.a3⋅a2=a5，故本选项不合题意．
故选：C．
分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6.答案：A
解析：
本题考查多项式运算，要注意多项式参与运算时，需要对该多项式添加括号．根据题意对两个多项式作差即可．
解：(x+2y)−(2x−y)=x+2y−2x+y=−x+3y
故选A．
7.答案：C
解析：解：根据去括号的法则，可以知道A、B、D符合去括号的法则，所以它们都是正确的.而−2(2x−3y+4)=−4x+6y−8，所以C是错误的．
故选C．
8.答案：C
互为倒数，故本选项不正确；
解析：解：A、2和1
2
B、∵(−1)3=−1，∴(−1)3和−1相等，故本选项不正确；
C、∵−12=−1，(−1)2=1，∴−12和(−1)2互为相反数，故本选项正确；
D、∵−(−2)=2，|−2|=2，∴−(−2)和|−2|相等，故本选项不正确；
故选：C．
首先根据有理数的乘方和绝对值的定义进行化简，再根据相反数的定义即可解答．
此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数，0的相反数是其本身．
9.答案：C
解析：解：∵x2−x−1=0，即x2=x+1，x2−x=1，
∴原式=x⋅x2−2x2+5=x(x+1)−2(x+1)+5=x2+x−2x−2+5=x2−x+3=1+3= 4，
故选：C．
原式变形后，将已知等式变形代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.答案：B
解析：解：由题意得，
(−3)※(−2)=(−2)2−(−3)×(−2)=4−6=−2，
故选：B．
根据新定义的运算，转化为有理数的加、减、乘、除、乘方的运算，按照运算顺序和计算法则进行计算即可．
本题考查有理数的混合运算，理解新定义的运算与有理数的加、减、乘、除、乘方运算的转化，是解决问题的关键．
11.答案：–π，2
解析：∵单项式–πxy的数字因数是–π，所有字母指数的和=1+1=2，
∴此单项式的系数是–π，次数是2．
故答案为：–π，2．
12.答案：1.26a
解析：解：由题意得：实际售价为：(1+80%)a⋅70%=1.26a(元)，
故答案为：1.26a．
售价=(1+提高的百分比)×a×折扣÷10，化简即可．
此题考查了列代数式的知识，解题的关键是联系生活，知道七折就是标价的70%．
13.答案：b−a
解析：解：∵a<b，
∴a−b<0，
∴|a−b|=b−a．
故答案为：b−a．
先比较出a、b的大小，然后得到a−b的正负，最后化简绝对值即可．
本题主要考查的是实数与数轴，绝对值的知识，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
14.答案：22
解析：解：由2a−3b+8=18，
得到2a−3b=10，
则4a−6b+2
=2(2a−3b)+2
=2×10+2
=22
故答案为：22．
由题意求出2a−3b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
15.答案：2x+8=10
解析：
要明确给出文字语言中的运算关系，先求倍数，然后求和．
本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．解：依题意得：2x+8=10．
故答案是2x+8=10．
16.答案：5 |a−b|2或−3
解析：解：(1)数轴上点A、点B分别是实数−3、2对应的点，则点A、点B间的距离为|−3−2|=5，故答案为：5；
(2)如：表示−5的点与表示1的点距离为：|−5−1|=6，表示4的点与表示1的点距离为：|4−1|=
3...
点A、点B分别是实数a、b对应的点，则点A、点B间的距离为|a−b|，
故答案为：|a−b|；
(3)当a>1时，a+2+a−1=5，解得a=2，
当−2≤a≤1时，a+2+1−a=5无解，
当a<−2时，−a−2+1−a=5，解得a=−3，
综上所述，点A对应的实数为2或−3，
故答案为：2或−3．
(1)观察数轴即可得答案；
(2)观察规律即可得到答案；
(3)分三种情况去绝对值，即可解得答案．
本题考查数轴上点之间的距离，解题的关键是掌握表示实数a、b的点之间的距离为|a−b|．
17.答案：解：原式=−1
2+31
4
+23
4
−51
2
=−6+6=0．
解析：原式先计算减去一个数等于加上这个数的相反数将减法运算化为加法运算，计算即可得到结果．
此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.答案：解：(1)如果在A家批发则需要：600×92%×6=3312(元)
如果在B家批发则需要：500×95%×6+100×85%×6=2850+510=3360(元)
答：在A家批发为3312元，在B家批发为3360元；
(2)如果他批发x千克苹果(1500<x<2000)，
在A家批发需要：90%x×6=5.4x元，
在B家批发需要：500×95%×6+1000×85%×6+(x−500−1000)75%×6
=(4.5x+1200)元；
(3)在A家则需要：90%×6×1800=9720(元)
在B家则需要：500×95%×6+1000×85%×6+300×75%×6=9300(元)，
∵9720>9300，
所以选择B家更优惠．
解析：(1)A家批发需要费用：质量×单价×92%；B家批发需要费用：500×单价×95%+(600−500)×单价×85%；把相关数值代入求解即可；
(2)把x代入(1)得到的式子求值即可；
(3)把1800千克代入(2)即可比较哪家便宜．
此题考查了列代数式；解题的关键是学生要利用商家的优惠政策，读懂政策，按政策计算出你批发的总钱数进行比较．
19.答案：解：原式=4a2b+2ab+3a2b−3ab
=7a2b−ab，
当a=−2、b=−1时，
原式=7×(−2)2×(−1)−(−2)×(−1)
=−28−2
=−30．
解析：原式去括号合并得到最简结果，把a、b的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了整式的加减法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．20.答案：35−34=2×34
解析：(1)根据题意得，35−34=2×34，
故答案为：35−34=2×34；
(2)根据题意得，3n−3n−1=2×3n−1，
证明：左边=3n−1(3−1)=2×3n−1=右边，
∴3n−3n−1=2×3n−1；
(3)30+31+32+⋯+32020=2×30+2×31+2×32+⋯+2×32020
2
=31−30+32−31+33−32+⋯+32021−32020
2
=32021−1
2
．
(1)根据已知等式总结规律：3的相邻自然数次幂之差(大数减小数)等于较小次幂的2倍．据此写出第5个等式便可；
(2)用字母n表示上述规律，通过提取公因式法进行证明便可；
(3)把原式化成2×30+2×31+2×32+⋯+2×32020
2
，再逆用(2)中公式，把分子每一项化成3的自然数幂之差进行计算便可．
本题主要考查了数字规律的探索，关键是善于观察思考，总结出规律．
21.答案：解：根据题意得：(−4ac+2bc−5)−2(2ac−3bc+1)
=−4ac+2bc−5−4ac+6bc−2
=−8ac+8bc−7．
解析：根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
22.答案：(1)|x+1|；−3或1；
(2)3；−1≤x≤2；
(3)6；−7。

解析：
本题考查了绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。

这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。

事实上，|a−b|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。

这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(2)(3)这两道难题。

(1)①根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为|AB|=|a−b|。

即可解答；
②使①中的式子等于2，解出即可；
(2)求|x+1|+|x−2|的最小值，结合定义，可知当−1≤x≤2时，|x+1|+|x−2|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值；
(3)由于(|x+1|+|x−2|)(|y−3|+|y+2|)=15=3×5，可知−1≤x≤2，−2≤y≤3，依此得到x−2y的最大值和最小值。

解：(1)①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；
②依题意有|x+1|=2，
即x+1=−2或x+1=2，
解得x=−3或x=1。

故x值为−3或1。

故答案为：|x+1|；−3或1；
(2)|x+1|+|x−2|表示数轴上表示x的点到表示−1和2的两点的距离之和，则
|x+1|+|x−2|的最小值为3，此时x的取值是−1≤x≤2；
故答案为：3；−1≤x≤2；
(3)∵(|x+1|+|x−2|)(|y−3|+|y+2|)=15，
|x+1|+|x−2|的最小值为3，|y−3|+|y+2|的最小值为5，
∴|x+1|+|x−2|=3，|y−3|+|y+2|=5
∴−1≤x≤2，−2≤y≤3，
∴x−2y的最大值为2−2×(−2)=6，最小值为−1−2×3=−7。

故x−2y的最大值6，最小值−7。

故答案为：6；−7。

23.答案：解：(1)∵(+3)+(−5)+(+4)+(+1)+(−6)+(−1)+(−7)=−11(千米)，
∴这辆城管的汽车司机向队长描述他的位置为出发点以西11千米；
(2)|+3|+|−5|+|+4|+|+1|+|−6|+|−1|+|+7|+|−11|=38(千米)，
38×0.1=3.8(升)，
故这次巡逻(含返回)共耗油3.8升．
解析：(1)求出这些数的和，即可得出答案；
(2)求出这些数的绝对值的和，再乘以0.1升即可．
本题考查了有理数的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．
24.答案：解：(1)在甲商场所付的费用：4000+(x−4000)×80%=0.8x+800(元)，
在乙甲商场所付的费用：3000+(x−3000)×90%=0.9x+300(元)；
(2)当x=6000时，
在甲商场所付的费用：0.8x+800=0.8×6000+800=5600(元)，
在乙甲商场所付的费用：0.9x+300=0.9×6000+300=5700(元)，
∵5700>5600，
∴在甲商场购买更优惠；
(3)根据题意可得：0.8x+800=0.9x+300，
解得：x=5000，
答：当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同．
解析：(1)在甲商场所付的费用=4000+超过4000元的部分×80%，在乙甲商场所付的费用=3000+超过3000元的部分×90%；
(2)把x=6000代入(1)中的两个代数式即可；
(3)由题意得：在甲商场所付的费用=在乙甲商场所付的费用，根据等量关系列出方程，再解即可．此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
25.答案：解：(1)−14；
(2)存在，x=−16或x=0。

理由：PA=|8−x|，PB=|x+14|，
则PA+PB=|8−x|+|x+14|，
当x≤−14时，8−x−14−x=26，
解得：x=−16；
当−14<x<8时，8−x+x+14=6，
无解；
当x≥8时，x−8+x+14=6，
解得：x=0；
综上，x=−16或x=0。

(3)线段MN的长度不发生变化，都等于11；
理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP=1
2AP+1
2
BP=1
2
(AP+BP)=1
2
AB=1
2
×22=11，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP−NP=1
2AP−1
2
BP=1
2
(AP−BP)=1
2
AB=11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11。

解析：解：(1)∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=22，
∴点B表示的数是8−22=−14；
故答案为：−14；
(2)详细见答案；
(3)详细见答案。

分析：
(1)根据已知可得B点表示的数为8−22=−14；
(2)分别表示出PA、PB，令PA+PB=26，代入求出x的值；
(3)分类讨论当点P在点A、B两点之间运动时和当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可。

本题考查了数轴，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论。