朗道理论应用－畴结构

§11 朗道理论应用：畴结构
1、对称性与畴结构 2、朗道理论应用－180O畴界及其能量 3、朗道理论应用－BaTiO3四方相90O畴壁 4、朗道理论关于一般结构相变的应用
1、对称性与畴结构
1－1、畴结构与居里原理
畴结构普遍存在于铁性体中－－几种基本类型分别称为磁 畴，电畴，弹性畴。
这些相变导致的低对称相畴结构，其出现是由于低对称相 往往是简并的，即有许多能量相等而取向有差异的状态。
相变后平移畴的数目为 m = V V0
无序相和有序相的晶胞体积比
情形三
G G 0 平移和点群对称性发生变化
k≠0
存在有平移取向畴。例如：βGd2(MoO4)3
P 421 m
Pba 2
平移取向畴的数目
n = n'⋅m
铁性相与非铁性相
三类畴结构的示意图。（a）原型相，（b）铁电相 （c）非铁电相， （d）铁电相
x
δ
⎟⎞ ⎠
x=0 η =0
x = ±∞ η = ±η 0
畴界宽度
δ=
2
1
⎜⎛ ⎝
4B K
⎟⎞ 2 ⎠
η0
=
1
1
⎜⎝⎛ a (T C
−T
) 2K
⎟⎠⎞ 2
畴界的产生使得系统的自由能密度变化为
Δ ϕ = a (T − TC )η ( x ) 2 + B η ( x ) 4
[ ] +
K
⎡ ⎢⎣
dη (x)⎤2
1
η = ±⎜⎛ − a ( p )(T − TC ) ⎟⎞ 2
⎝
2B ⎠
系统如何选择哪种畴？由两种因素决定。
气液临界点 磁系统
外场 外场，边界条件
如果考虑畴界，需要考虑序参量的梯度项
ϕ
= ϕ0
+
a (T
− TC )η 2
+
Bη 4
+
K
⎜⎛ ⎝
∂η
∂x
⎟⎞ 2 ⎠
( ) ∂
∂η
∫ ϕ dV
=0
ϕ
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
dp x dy
⎟⎟⎠⎞ 2
+ ⎜⎛ ⎝
dp x dz
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
dp y dx
⎟⎟⎠⎞ 2
+
⎜⎜⎝⎛
dp y dz
⎟⎟⎠⎞ 2
+
⎜⎛ ⎝
dp z dx
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
dp z dy
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
低温四方相 β1 > 0 β 2 β1 > 1 低温三斜相 β1 > 0 − 0.5 < β 2 β1 < 1
1－3、畴壁的分类
180º畴壁
90°畴壁的二维图示
不稳定90°畴 （带电荷）
稳定90°畴
畴界又可以分为带电和不带电两类 要看畴界两侧极化的法向分量是反平行的还是平行的
对于正交相
按照畴界的夹角， 可以分为四种类型
180O， 90O， 60O和 120O
1－4、铁电畴和铁磁畴
理论和实验证明，在两个相邻磁畴之间原子层的自旋取向由 于交换作用的缘故，不可能发生突变，而是逐渐的变化，从 而形成一个有一定厚度的过渡层，称为畴壁。
=0
αpy
+ β1 py3 + β2 py px2 − κ1
d 2 py dy 2
−κ2
d 2 py dx 2
=0
边界条件
px = p py = 0 x + y → ∞ p y = p p x = 0 x + y → −∞
进行坐标变换
X = 1 (x + y)
2
Y = 1 (− x + y )
2
( ) PX =
考虑xy平面内的90O畴界
pz = 0
dp x = dp y = 0 dz dz
ϕ
=
α
2
( px2
+
py2
+
pz2) +
β1
4
( px4
+
py4
+
pz4)
+
β2
2
( px2 py2
+
pz2 py2
+
px2 pz2)
+
κ1
2
⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
dp x dx
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
dp y dy
⎟⎟⎠⎞ 2
应用积分公式 x =
8K B
1
2η 0
tanh
−
1
⎜⎜⎝⎛
η η0
⎟⎟⎠⎞
序参量随空间变化的解
η
=
η0
tanh
⎜⎛ ⎝
x
δ
⎟⎞ ⎠
δ=
2
1
=
1
1
⎜⎛ ⎝
4B K
⎟⎞ ⎠
2
η
0
⎜⎝⎛ a (TC
−T
) 2K
⎟⎠⎞ 2
关联长度，畴界宽度，在临界点没有很清除的定义
3、朗道理论应用－BaTiO3四方相90O畴壁
自由能密度（二级相变）
ϕ
=
α
2
( px2
+
py2
+
pz2) +
β1
4
( px4
+
py4
+
pz4 )
+
β2
2
( px2 py2
+
pz2
p
2 y
+
px2 pz2)
+
κ1
2
⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
dp x dx
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
dp y dy
⎟⎟⎠⎞ 2
+
⎜⎛ ⎝
dp z dz
⎟⎞ 2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
+
κ2
2
按畴壁两边磁化矢量的夹角来分类，可以把畴壁分成180°壁 和90°壁两种类型。
2、朗道理论应用－180O畴界及其能量
比如：低温相180O畴壁，可以用一维序参量的正畴区和负畴 区的边界来表示。如果是90O畴壁，那么至少需要两个序参 量来描速。
需要考虑自由能密度，应用金兹堡－朗道理论
ϕ
= ϕ0
+
a (T
依据无序相和有序相空间群的关系， 可以将畴分为如下三种情形:
情形一 G G 0 相变只涉及点群的变化
k =0
初级晶胞大小没有变化，这是铁性相变，。 这样导致取向畴，如BaTiO3，KNbO3的铁电畴
在低对称相（空间群G）的平移取向畴，通过一定的对称 操作，可转换为另一畴。这个对称元素就是相变是所丧失 的对称元素。
dx ⎥⎦
−
a (T
− T C )η 0 2 + B η 0 4
畴界能就等于
∫ σ = ∞ Δ ϕ ⋅ dx −∞
σ
~ (TC
3
−T) 2
给出一种具体计算方法。计算畴界能，以及单位面积的畴界 能（表面张力）
ϕ
= ϕ0
+
a (T
− TC )η 2
+
Bη 4
+
K ⎜⎛ ∂ η
⎝ ∂x
⎟⎞ 2 ⎠
边界条件 x = ±∞ η = ±η 0
1 2
px + py
( ) PY =
1 2
− px + py
沿着Y方向是畴壁方向， 应该没有变化
自由能密度写为
ϕ
=α
2
( px2 +
py2) +
β1
4
( px4
+
py4) +
β2
2
px2 py2
+
κ1
+κ2
4
⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
dp x dX
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
dp y dX
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
极化满足如下方程
三方相，点群（3m） 取向畴的自发极化沿着 <111>方向，48/6＝8种
3m C3v
E
C
1 3
C
2 3
σ1
σ2
σ3
情形二 G G 0 点群不变，平移对称性变化
k≠0
这些差异只在于平移对称元素。低对称相的初始晶胞 尺寸为原来的整数倍，可能的畴区为反相畴。
举例：Cu3Au的有序无序相变，空间群由Fm3m变为 Pm3m初始晶胞体积增加4倍。
αpx
+
β1 px3
+
β2
px
py2
−
κ1
+κ
2
2
d 2 px dX 2
=0
αpy
+
β1
py3
+
β2
py
px2
−
κ1
+κ2
2
d 2 py dX 2
=0
边界条件
px = p py = 0 X → ∞
p y = p p x = 0 X → −∞
由于对称性，下面方程成立
px (− X ) = py (X )
η
0 2η
2
+
Bη4
4
[ ] =
B 4
η02 −η 2
2
η ' = E + V (η )
2K
[ ] η ' =
B 8K
η02 −η 2
假定 x = 0 η = 0
∫ ∫ x
x = dx = 0
8K η0 dη B 0 η02 −η 2
∫ ∫ x
x = dx = 0
8K η0 dη B 0 η02 −η 2
在磁性物质中，磁畴壁中的自旋，他们的排列是逐渐改变其 取向的，各向异性能的作用是沿着易磁化轴方向的自旋数目 增加，另一方面，自旋间的交换能使得他们间的夹角减小， 因此各向异性能倾向于畴壁变薄，而交换能使得于畴壁增 厚，这两种作用平衡的结果决定了畴壁的厚度。
在铁电体中，元胞中的电偶极矩除了沿自发极化轴取向外。 沿其他方向的几率很小，换句话说，各向异性很大，因此电 畴壁逐渐改变方向是不可想象的。在铁电体中，没有磁物质 交换作用使得畴壁变厚的机制，但是畴壁附近的应变产生的 弹性能使得畴壁变薄，一般是几个晶格常数。
铁电体畴结构的研究主要有以下两个方面：
一是基于自由能极小原理和居里原理的畴结构确定， 包括畴尺寸、畴壁厚度及相邻畴的取向关系等研究；
（铁电体中，畴的出现使得晶体的静电能和应变能降 低，但畴壁的存在引入畴壁能，总自由能取极小决定 了电畴的稳定结构）
另一是基于实验观测和运动模式推想相结合的动力学 研究，施加外场畴的各种运动。
= ϕ0
+
a (T
− TC )η 2
+
Bη 4
+
K
⎜⎛ ⎝
∂η
∂x
⎟⎞ 2 ⎠
(∫ ) ∂
∂η
ϕ dV = 0
2a(T
− TC )η
+ 4Bη 3
− 2K
∂ 2η
∂x 2
=
0
2a(T
− TC )η
+
4Bη 3
− 2K
∂ 2η
∂x 2
=
0
可以求出序参量随空间 变化的解（孤子解）
η
=
η0
tanh
⎜⎛ ⎝
变分
2a(T
− TC )η
+ 4Bη 3
− 2K
∂ 2η
∂x 2
=
0
2 K η ' ' = V ' (η )
η ' ' = d 2η
dx 2
V ' = dV
dη
V = a (T − TC )η 2 + B η 4
2 K η ' ' = V ' (η )
V ' = dV
dη
η ''=
d 2η
dx 2
居里原理（Curie’s principle）
G = G0 I Γ G G 0 为低对称相和母相空间群
Γ
相变序参量的对称群
群论语言表述： 低对称相的空间群为G0的使序参量保持不变的最大子群。
居里原理的举例
在BaTiO3的120 OC的立方到四方相变G0＝m3m， G＝ 4mm。
1－2、畴的类型
四方相（4mm） 取向态最大值为48/8＝6 自发极化沿＋x， ＋y， ＋z， －x， －y， －z六个方向
正交相的点群（mm2）不是四方相（4mm）的子群，但是 立方（m3m）的子群。 此时正交相的取向畴仍旧可以按照群论来分析。
n ' = 48 = 12 取向畴的自发极化沿着<110>方向 4
四方相，取向畴的自发极化沿着<100>方向，6种 正交相，取向畴的自发极化沿着<101>方向，12种
− TC )η 2
+
Bη 4
+
K
⎜⎛ ⎝
∂η
∂x
⎟⎞ 2 ⎠
对于均匀低对称相
Φ ( p, T ,η ) = Φ 0 ( p, T ) + a ( p )(T − TC )η 2 + B ( p )η 4
η =0
得到
1
η = ±⎜⎛ − a ( p )(T − TC ) ⎟⎞ 2
⎝
2B ⎠
低对称相，两种单畴
η ' = E + V (η ) E 为由边界条件决定的一个常数。
2K
在无穷远边界 η ' = 0
E
=
−V (η 0 ) =
a 2 (T − TC ) 2 4B
=
B 4
η
0
4
E
=
−V (η 0 ) =
a 2 (T − TC ) 2 4B
=
B0 ) =
B 4
η
4 0
−
B 2
αpx
+ β1 px3 + β2 px py2 − κ1
d 2 px dx 2
−κ2
d 2 px dy 2
=0
αpy
+
β1 py3
+
β2
py
px2
− κ1
d 2 py dy 2
−κ2
d 2 py dx 2
=0
得到如下方程
αpx
+
β1
px3
+
β2
px
py2
− κ1
d 2 px dx 2
−κ2
d 2 px dy 2
+
⎜⎛ ⎝
dp z dz
⎟⎞ 2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
+
κ2
2
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
dp x dy
⎟⎟⎠⎞ 2
+ ⎜⎛ ⎝
dp x dz
⎟⎞ 2 ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
dp y dx
⎟⎟⎠⎞ 2
+