高中数学抓住特征巧解题学法指导

高中数学抓住特征巧解题
奇偶函数有许多优美而独特的性质，同学们在解题时，若能准确抓住这一特点，往往可以巧妙解题。

本文给出几种情形加以分析，供大家参考。

一、奇偶函数的定义域必关于原点对称
例1. 已知c b cx bx ax x f ++++=3)(23是偶函数，且定义域为)21(b b ，-，求a 、b 、c 的值。

解：由f(x)为偶函数，得定义域关于原点对称，有021=+-b b ，解得31=
b 。

又f(x)为偶函数，知)()(x f x f =-恒成立，易得0==
c a 。

注：一般地)(x f 为多项式函数时，若f(x)为奇函数，则x 的偶次项为零；若f(x)为偶函数，则x 的奇次项为零。

二、若f(x)为偶函数，则|)(|)()(x f x f x f =-=
例 2. 已知)(x f 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在)10[，上为增函数，若0)4()2(2<---m f m f ，试求m 的取值X 围。

解：已知)4()2(2m f m f -<-，由)(x f 为偶函数，即有|)4(||)2(|2
m f m f -<-。

又因在)10[，上为增函数，故有： ⎪⎩⎪⎨⎧<-<-<-<--<-141121|4||2|22m m m m 即⎪⎩
⎪⎨⎧<<<<-<-533
1)4()2(22
22m m m m 解得23<<m 或52<<m ，即m 的取值X 围是（3，2） （2，5）。

注：一般地利用偶函数的这一性质在解函数不等式时，往往可以避免复杂的分类讨论，使问题更容易解决。

三、若奇函数)(x f 在x=0有定义，则0)0(=f
例3. 实数m 为何值时，m x f x x lg 33)(--=为奇函数。

解：因函数为奇函数且定义域为R ，则0)0(=f ，即m lg 33000-=，解得10=m
注：一般地对于含参数的奇函数在求参数时，往往利用0)0(=f 或0)1()1(=-+f f ；而对于含参数的偶函数在求参数时，往往利用)1()1(-=f f ，比直接应用)()(x f x f -±=要简单得多。

四、若)(x f 为奇函数，则0)()(=-+x f x f
例4. 已知函数x x x f -+=11lg
)(，若n m f =)(，则)(m f -的值为（ ）。

A. n B. –n C. n 1 D. n
1- 解：对于定义域内的x 有
01lg )1111lg(11lg 11lg
)()(==+-⋅-+=+-+-+=-+x
x x x x x x x x f x f ， 故由奇函数定义，知)(x f 为奇函数，则有n m f m f -=-=-)()(。

故选B 。

注：一般地对于一个函数，若能判断出奇偶性，再利用奇偶函数的性质解题往往可达到事半功倍的效果。

同时对于函数的奇偶性，应注意自变量的对称性与函数值的对应性，把握
住这些特征，可以巧妙解题。