第五章平面向量与复数

第五章 平面向量与复数
第26讲 平面向量的概念与线性运算
A 应知应会
选择题
1.（多选）如图，若D , E , （）
AC 与BD 交于点O ,若A B + AD = AO ，贝U 入等
AB , BC , CA 的中点分别为 E , F , D ，则EC + F A 等于（
）
）已知 e i,e 2 是不共线向量，a = me i + 2e 2, b = n e i - e 2,且 mn ^ 0,
若a // b ，则m 等于（
）
A. FD + DA + DE B .
AD + BE + CF C. FD + DE + AD =AB D. AD + EC + FD =BD
于（） A. 1 B. 2 C. 4
D.
6
3.在等腰梯形 ABCD 中，AB =— 2CD , M 为BC 的中点，贝U AM 等于（
） A D B. 4 AB +1 A D
AD
D. 2 A B +3
AD
A. -
2
C. - 2
D. 2
中正确的是
F 分别是△ ABC 的边AB ，BC , CA 的中点，则下列等式
2.在平行四边形 ABCD 中，对角线
4.在^ ABC 中，设三边 A. BD
B. 1
BD
C. AC
D. 2 AC 5. （2019河北三市联考
解答题
6.设e1, e2是两个不共线向量，已知A B =2e1 —862, CB = e1 + 3e2, CD =2e1 —62.
⑴求证：A, B, D三点共线;
⑵若BF = 3e1—ke2,且B, D, F三点共线，求k的值.
7.在^ ABC 中, D , E分别为BC, AC边上的中点，G为BE 上一点，且GB= 2GE, 设A B = a, AC = b, 试用a, b表示AD , AG .
B组能力提升
填空题
1.在^ ABC 中,
T T T 1 T T
若AD = 2DB , CD = 3 CA + CB，则入
=
2. （2019无锡期末）在四边形ABCD中，已知AB = a+ 2b,
—3b，其中a, b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是_
BC = —4a—b, CD = —5a
3. （2019潍坊一模改编）若M是^ ABC内一点，且满足BA + BC = 4BM，则△ ABM与
△ ACM的面积之比为__________ .
4. （2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足PA + P B + 2PD = 0, PA + pPB + PC = 0，贝U 入=
解答题
5.在直角梯形ABCD 中，/ A = 90° / B= 30° AB = 2^3 , BC = 2,点E在线段CD 上，若AE = AD + pAB，求□的取值范围.
6. （1）如图（1），在同一个平面内，向量OA , OB , 00的模分别为1 , 1,
OC的夹角为a,且tan a= 7, OB与OC 的夹角为45。

.若0C = mOA + nOB (m, n€ R), 求m + n的值.
1 —T —T —T
⑵ 如图⑵，在△ ABC 中，AH 丄BC 于点H ,M€ AH ,AM = 3 AH，若AM = xAB + yAC ,
求x+ y的值.
A
/
H /；
图⑵
（第6
题）
A 应知应会
第27讲 平面向量的基本定理与坐标表示
一、 选择题 1. 已知 a = （3 , A. （7, 1） 2. 已知A , 的纵坐标为（ A.
—1), b = (— 1,
B. (— 7，— 1)
C 三点共线，且 2),则—3a — 2b 等于(
) C. (— 7, 1)
D. (7，— 1)
A(3 , — 6), B( — 5, 2)，若点C 的横坐标为 6,则点C
3.
—13
已知 B. 9 a = (1, 2), C. —
9 D. 13 b =(X , 1)，若 a + 2b 与 2a — b 平行, 则x 等于（
A. B. 1 C. —
1 D.
2 4.在^ ABC 中，P , Q 分别是
AB, BC 的三等分点, 且AP 1 T T
=3 AB , BQ 1 —> —> =-BC . 若AB 3
=a , A
C = b ，则 PQ 等于（ 1 1 A. 3a + 3 b 1 B. — 3 1 C. 3 a — 3 b
1 D. — 3 A. B. C. + U 2e 2) D. 5.（多选）设e 1, e 2为平面a 上不共线的两个向量，则下列命题中正确的是 （ ） 匕1+ ue 2（入u € R ）可以表示平面 a 内的所有向量 对于平面a 内任一向量a ,使a = &+ ue 2的实数对（入u ）有无穷多个 若向量 入e 1 + u 1e 2与？2© + u 2e 2共线，则有且只有一个实数 入使得 乃& + u 1e
2 = % ；2e 1 若实数 入U 使得 洽+ ue 2= 0，贝U k= u = 0 解答题
6. 设OA = (1, — 2) , OB = (a , — 1) , OC = (— b , 0) , a>0 , b>0 , O 为坐标原点，若 A , B , 1 C 三点共线，求- a +b 的最小值.
7. 如图，以向量0A T T 1 T T 1 T =a , OB = b 为邻边作 OADB , BM = 3 BC , CN = 3 CD , 用a , b 表示O M , O
N , MN .
B组能力提升
一、填空题
1.已知梯形ABCD中，AB // CD ,且DC = 2AB,若三个顶点分别为A(1 , 2), B(2 , 1),
C(4 , 2),则点D的坐标为___________ .
—> —> _ —> —> —> —>
2.已知|OA |= 1 , |OB 1=73 , OA OB = 0,点C 在/ AOB 内，且OC 与OA 的夹角为30° ,设OC = mOA + nOB (m , n € R),则罗的值为
3. (2019南昌十校二模)已知向量a= (1, - 2), b= (x, 3y—5),且a// b,若x, y均为正数，则xy的最大值是__________ .
4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1, 0) , B(0 , 1) , C为坐标平面内第一象限内一
点且/ AOC= n,且|OC|= 2,若OC = ?O A +QB ,贝u 入+ = ________________ .
解答题
5. (2019长沙模拟改编)在平面直角坐标系xOy中，已知点A^/3 , 0), B(1 , 2)，动点P 满足O>P = oA + QB，其中入让[0, 1],入+让[1 ,2],求所有点P构成的图形的面积.
6.已知正三角形ABC的边长为2逅,平面ABC内的动点P , M满足|AP |= 1, PM =
MC，求|BM |2的最大值.
一、 选择题
1. (2019深圳二调)已知向量a = (1, 2 2
A. 5
B. —
5
2. (2019 芜湖期末)已知向量 a , b 满足 a = (cos a, sin a , a R , a b =— 1，贝U a (2a —b)等于()
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
3. (2019太原期末)设向量a,b,c 都是单位向量，且2a = b —c,则a,b 的夹角为(
)
n n n A. -
B. -
C.- 6
4
3
4. (2019长沙检测)在^ ABC 中， CA AO 等于(
)
A. 16
B. 32
C. — 16
5.(多选)给出下列四个命题，其中正确的选项有
( ) A.非零向量a , b 满足|a|= |b|= |a — b|,贝U a 与a + b 的夹角是30
B. 若(AB + AC ) (AB — AC ) = 0,则^ ABC 为等腰三角形
C. 若单位向量a , b 的夹角为120 °则当|2a + xb|(x € R)取最小值时x = 1
D.若OA = (3, - 4), OB = (6 , - 3), OC = (5 — m ,— 3 — m),/ ABC 为锐角，则实
e i , e 2满足|ei|= 2,心|= 1, e i , e 2所成的角为 60°若向量2te i + 7e 2与 t 的取值范围.
7.已知 |a|= 4, |b|= 3, (2a — 3b) (•a + b) = 61. (1) ⑵
若AB = a , BC = ^求^ ABC 的面积.
第28讲 平面向量数量积的应用
A 应知应会
—1), b = (— 2, 3).若 a 丄(a + mb)，贝U m 等于( ) 1 D. 1
C. 0
2 n D. 2"
AB = 10, BC = 6, CA = 8,且 O 是^ ABC 的外心，则
D. — 32
(
数m 的取值范围是
3 m >—-
解答题
6.已知两向量
向量e 1 + te 2所成的角为钝角，求实数
求a 与b 的夹角0; 求 |a + b|;
1
填空题
|a + b|
1. （2019合肥检测）若非零向量a , b 满足a 丄（a + 2b ）,则打『
解答题
已知在△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量m = （sin A , sin B ）, n = cos A ）, nrn=sin 2C. 求角C 的大小；
B 组能力提升
2. （2019福州抽测改编）已知点0是^ ABC 内部一点，且满足
OA + OB
+ OC = 0,又
A B A C = 2(3 , / BAC = 60 ° 则^ OBC 的面积为
1
3. （2019郑州模拟）已知平面向量 a , b , c 满足|a|= |b|= |c|= 1,若a b = ，则(a + b) (•b
—C ）的最小值为
4. （2019江苏淮阴中学 )在^ ABC 中，/ A = 60° AB = 3, AC = 2.若BD = 2DC ,AE =
A) — AB (入€ R)，且 AD AE = — 4,则入的值为
5. (cos B ,
若sin A , sin C , sin B 成等差数列，且 CA (AB — AC )= 18,求边 c 的长.
6. （2019山东德州模拟）在平面直角坐标系
=2 OA ，点
0）, C （1,逅），点M 满足0M
xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A （6,
P 在线段BC 上运动（包括端点），如图所示.
⑴求/ OCM 的余弦值;
（2）是否存在实数入使（OA 围；若不存在，请说明理由.
—QP ）丄CM ?若存在，求出满足条件的实数 入的取值范
>
C
(第 6 )
若 |Z 1— Z 2| = 0,贝U Z 1= Z 2
若01= |Z 2|,贝y Z 1 -Z 1 = Z 2 -Z
解答题
已知Z 是复数，Z + 2i ，才J 均为实数（i 为虚数单位），且复数（Z + ai ）2
在复平面内对
2 — i
应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围.
7.设Z 1是虚数，Z 2= Z 1+1是实数，且一 K Z 2 < 1. （1）求|Z 1 |的值以及Z 1的实部的取值范围; 1 — Z 1
⑵若3=—，求证：3为纯虚数.
1. A.
2. 第29讲复数
A 应知应会
选择题
若复数Z 满足（2 — i ）z = |1 + 2i|,则Z 的虚部为（ ）
誓 B.芈 i C. 1 D. i
5 5
已知复数z =|（｛3 — i ）i| + i 5（i 为虚数单位），则复数Z 的共轭复数为A. 2 — i B. 2 + i 3.设i 是虚数单位,
C. 4— i
D. 4 + i
a + i
如果复数丁—的实部与虚部相等，那么实数
a 的值为（
C. 3
D. - 3
4. 设复数Z = Ig （m
A. 一定不在第一、
B. 一定不在第二、
C. 一定不在第三、
2
— 1） + P 1 — m 二象限 三象限 四象限 i ，则Z 在复平面内对应的点（
）
5. （多选）（2019 •山东枣庄模拟改编 ）设Z 1, Z 2是复数，则下列命题中的真命题是 （
）
A. B. 若 Z 1= Z 2,贝U Z 1= Z 2
C. D. 若 |Z 1|= |Z 2|，贝U Z 2
= Z 2
6.
1 + Z1
填空题
1.设Z 2= z i — i z 1(其中z 1表示z i 的共轭复数)，已知Z 2的实部是一1，则Z 2的虚部为
2.已知i 是虚数单位，若 1+丄 <O(m € R),贝y m 的值为
3.定义：若z 2
= a + bi(a , b € R , i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a + bi 的平方根.根 据
定义，复数一3 + 4i 的平方根是 ___________.
4.已知复数z = a 2— b 2
+ (|a| + a)i(a,b € R)，使复数z 为纯虚数的充要条件是 写出一个使
复数z 为纯虚数的充分不必要条件是 ______________________ .
解答题
已知0为坐标原点，向量0Z 1,0Z 2分别对应的复数Z 1 ,Z2,且z 1= 0+^ + (10 — a 2)i , 2 z 2
=
1 — a
(1) 求实数a 的值；
(2) 求以0Z 1, 0Z 2为邻边的平行四边形的面积.
6.已知复数z 和3满足：z G +
2iz — 2i 3+ 1 = 0. (1)若 3
— z = 2i ，求 Z 和 3；
(2)求证：若|Z |=A /3，则| 3— 4i|的值是一个常数，并求出这个常数.
B 组能力提升
5. + (2a — 5)i(a € R)，若 z 1+ z 2是实数.。