2021-2022学年山东省济南市第一中学高三数学文下学期期末试题含解析

2021-2022学年山东省济南市第一中学高三数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为( )
A．﹣1 B．C．2 D．3
参考答案：
B
【考点】基本不等式．
【专题】不等式．
【分析】先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．
解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，
∴点P（，），
∴=，
∴α=．
故选：B
【点评】本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．
2. 二项式的展开式中的常数项为
A.120
B.
C.160
D.参考答案：
D
略
3. 复数,则对应的点所在的象限为( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4
D 解析：∵复数z=1﹣i，
∴+z==+1﹣i=+1﹣i=对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．
【思路点拨】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
4. 下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A. y＝e x＋e－x
B. y＝ln(|x|＋1)
C. D.
参考答案：
D
分析：根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，根据函数单调性的定义判断单调性即可.
详解：
选项A，B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题
意；选项 D 中，是奇函数，且y＝x 和在(0，＋∞)上均为增函数，故在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．
点睛：这个题目考查了具体函数的奇偶性和单调性，一般判断函数奇偶性，先判断函数的定义域是否
关于原点对称，之后再按照定义判断，即判断与的等量关系.
5. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）
A．3 B．126 C．127 D．128
参考答案：
C
6.
在植树活动中，每名同学可从两种树苗中任选一种进行种植，那么甲乙两名同学选择同一种树苗的概率是
A．B．C．D．
参考答案：
C
7. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得
，第四次循环得，但此时,不满足条件，输出，所以选A.【解析】略
8. 设全集,集合，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
9. 如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且
，，在平面上有一个动点，使得，则面积的最大值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
10. 已知圆上两点关于直线对称，则圆的半径为
（）
A． 9 B．3 C．2 D．2
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线在点，
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 参考答案：
由
可得，
切线斜率，
在
处的切线方程为
，即
，
与坐标轴交于，
与坐标轴围成的三角形面积为
，故答案为.
12. 秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.
.
改写成以下形式：
若
，则
_________.
参考答案：
0 【分析】
利用霍纳算法依次计算，
，
在
处的
取值，由此可得出
，从而得出结果.
【详解】由霍纳算法可知，当
时，
，
，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查算法思想的应用，解题的关键就是利用题中的算法逐一计算，考查计算能力，属于中等题.
13. 用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为 ．
参考答案：
9
【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】设矩形的一边长为x ，则临边长为6﹣x ，其中0＜x ＜6，矩形面积S=x （6﹣x ），由基本不等式求最值可得．
【解答】解：设矩形的一边长为x ，则临边长为6﹣x ，其中0＜x ＜6，
则矩形面积S=x （6﹣x ）≤
=9，
当且仅当x=6﹣x 即x=3时取等号． 故答案为：9
【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题．
14. 设函数
则
=
参考答案：
4
15. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过抛物线
上一点
(第一象限内)作的
垂线
,垂足为
.若四边形
的周长为16，则点
的坐标为 ．
参考答案：
16.
右面的流程图可以计算的值，则在判断框中可以填写的表达式
为
.
参考答案：
答案：I ＞
199,I ＞200, I≥200,I≥201 等
中，，点P 是
17. 如图，在则实数
值
BN 上一点，若为
参考答案：
略
三、
解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文
字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点
，圆
:
，过点
的动直线与圆
交于
两点，线段
的中
点为，
为坐标原点. （I ）求的轨迹方程；
（II ）当
时，求的方程及
的面积
参考答案：
（I ）圆C 的方程可化为
,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
设M(x,y),则
，，,由题设知,故
，即
由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是
………… 6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,
为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.
因为ON 的斜率为3,所以的斜率为,直线的方程为：
又
，到的距离为，，
所以的面积为：. (12)
分
19. 一个多面体的直观图及三视图如图所示，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点。

（1）求证：MN//平面ACC 1A 1； （2）求证：MN ⊥平面A 1BC 。

参考答案：
解：由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1。

…………1分（1）连接AC1、AB1，由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形。

由矩形性质得AB1经过A1B的中点M，
又∵N为B1C1的中点，
∴△AB1C1中，MN//AC1。

………………5分
又∵AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1。

∴MN//平面ACC1A1。

……………………7分
（2）∵直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面
ACC1A1⊥平面ABC，且AC⊥BC
∴BC⊥平面ACC1A1。

又∵AC1-平面ACC1A1
∴BC⊥AC1。

在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C。

……………………10分
由（1）知MN//AC1。

∴MN⊥BC且MN//A1C。

……………………11分
又∵BC∩A1C=C。

∴MN⊥平面A1BC。

……………………12分
略
20. 设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）已知关于x的不等式在[－1,1]上有解，求实数a的取值范围.
参考答案：
(1) (2)
【分析】
（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题在上有解，去绝对值分离变量a 即可.
【详解】（1）不等式，即
等价于或或
解得，
所以原不等式的解集为；
（2）当时，不等式，即，
所以在上有解
即在上有解，
所以，．
【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.
21. 已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5，
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的前n项和公式及其通项公式即可得出；（2）由于=，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，
∵前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5，∴，
解得a1=1，d=﹣1．
∴a n=1﹣（n﹣1）=2﹣n．
（2）==，
∴数列{}的前n项和=
=
=．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式及其通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．
（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进
一步利用最后利用平行线分线段成比例求出λ的值．
【解答】证明：（Ⅰ）如图连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线
EQ∥PA，
又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．
所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，
所以PO⊥AB，且
又平面PAB⊥平面ABCD，
则PO⊥平面ABCD；
作FM∥PO于AB上一点M，
则FM⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD是矩形，
所以BC⊥平面PAB，
则△PBC为直角三角形，
所以，
则直角三角形△ABP的面积为
由FM∥PO得：
【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定，等体积的转化关系，锥体的体积公式，平行线分线段成比例定理．。