河间市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

河间市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当
]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则
实数的取值范围是（ ）111]
A ．)2
2,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(
2． 设函数()(
)2
1,141
x x f x x ⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）
A ．(][],20,10-∞-
B ．(][],20,1-∞-
C ．(][],21,10-∞-
D ．[][]2,01,10- 3． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=sinx
B ．y=1g2x
C ．y=lnx
D ．y=﹣x 3
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 4． 设F 1，F 2
分别是椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ=60°，
|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
5． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）
A ．64
B ．32
C ．
643 D ．32
3
6．不等式≤0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞） D．（﹣1，2]
7．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（）
A．3条B．2条C．1条D．0条
8．（理）已知tanα=2，则=（）
A．B．C．D．
9．已知a n=（n∈N*），则在数列{a n}的前30项中最大项和最小项分别是（）
A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a10，a30
10．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A ．i ≤21
B ．i ≤11
C ．i ≥21
D ．i ≥11
11．已知函数(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，则(2016)f -=（ ） A ．2
e B ．e C ．1 D ．1e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
12．已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π
B
．
C
．
D
．
二、填空题
13．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_________（单位:
）．
14．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：
①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e -<的解集为(0,)+∞； ②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________． 16．椭圆
的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．
17．自圆C ：22
(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．2110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
18．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．
三、解答题
19．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试． （Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率； （Ⅱ）若设选出男生的人数为X ，求X 的分布列和EX ．
20．如图，四棱锥P ABC -中，,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====，M 为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．
MN平面PAB；
（1）证明：//
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值；
21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．
22．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,4
5a b a b x ++⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.
23．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=，DC=2AB=2BC=2
，以直线AD 为旋转轴旋转一周的都如图
所示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A 上是否存在点M ，使二面角M ﹣BC ﹣D 的大小为45°，且∠CAM 为锐角若存在，请求出CM 的弦长，若不存在，请说明理由．
24．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1x
xe -．
（a ∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，求a的取值范围．
河间市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，
()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，
()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，
()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨
⎧-><<23log 10a
a ，解得：33
0<<a 故选A ．
考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的
图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.
2． 【答案】A 【解析】
考
点：分段函数的应用.
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 3．【答案】B
【解析】解：根据y=sinx图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；
y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B正确；
根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；
根据单调性定义知y=﹣x3在（0，+∞）上单调递减．
故选B．
【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．
4．【答案】D
【解析】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
5．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:144432
⨯⨯⨯=，故选B.
2
考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
6．【答案】D
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x≤2，
故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
7．【答案】C
【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
设直线l的方程为：，
则．
即2a﹣2b=ab
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，
即ab=﹣16，
联立，
解得：a=﹣4，b=4．
∴直线l的方程为：，
即x﹣y+4=0，
即这样的直线有且只有一条，
故选：C
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】解：∵tanα=2，∴===．
故选D．
9．【答案】C
【解析】解：a
==1+，该函数在（0，）和（，+∞）上都是递减的，
n
图象如图，
∵9＜＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9．
故选：C．
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，是基础题．
10．【答案】D
【解析】解：∵S=
并由流程图中S=S+
故循环的初值为1
终值为10、步长为1
故经过10次循环才能算出S=的值，
故i ≤10，应不满足条件，继续循环 ∴当i ≥11，应满足条件，退出循环 填入“i ≥11”． 故选D ．
11．【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 12．【答案】D
【解析】解：由函数f （x ）=sin 2
（ωx ）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为
=π，可得ω=1，
故f （x ）=﹣cos2x ．
若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），可得y=﹣cos2（x ﹣a ）=﹣cos （2x ﹣2a ）的图象；
再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k π+，a=
+
，k ∈Z ．
则实数a 的最小值为．
故选：D
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
14．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x
g x e f x =，()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增， ∴()x
f x e
-<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =，()()
()0x
f x f x
g x e
'-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2
()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
15．【答案】3
π
【解析】
试题分析：依题意可知所求直线的斜率为3，故倾斜角为
3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
16．【答案】 20 ．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ． ∴△PQF 2的周长=20．， 故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
17．【答案】D 【
解
析
】
18．【答案】 m ＞1 ．
【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2
﹣2x+m ≤0”是假命题，
则命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x+m ＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m ＜0，
解得m＞1，
故答案为：m＞1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；
故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；
P（X=3）==；P（X=4）==．…
0 1 2 3 4
EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
20．【答案】（1）证明见解析；（2.
【解析】
试题解析：
（2）在三角形AMC 中，由2
2,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=
，得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠= ， 222AM MC AC +=，则AM MC ⊥， ∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ，
∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD 平面PAD AD =， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ，
在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连结NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。

在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF = ，得AF =sin ANF ∠=
所以直线AN 与平面PMN ．1
考点：立体几何证明垂直与平行． 21．【答案】
【解析】解：（1）∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形，∴AC=A 1C 1， ∵AC=AA 1，∴AA 1=A 1C 1，
∵∠AA 1C 1=60°，∴△AA 1C 1为等边三角形， 同理△ABC 1是等边三角形， ∵D 为AC 1的中点，∴BD ⊥AC 1， ∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，
平面ABC 1∩平面AA 1C 1C=AC 1，BD ⊂平面ABC 1， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ．
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DB 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
平面ABC 1的一个法向量为，设平面ABC 的法向量为
，
由题意可得
，
，则
，
所以平面ABC 的一个法向量为=（，1，1），
∴cos θ=
．
即二面角C 1﹣AB ﹣C 的余弦值等于
．
【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．
22．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增.（2）7b e a ≤<
【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不
等式()'0h x >得b x e >
求出单调增区间；解不等式()'0h x <得b
x e
<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35
b a b
e +>三种
情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7b
e a
≤
<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7b
a <，由条件得()min 0h x ≤. ①当345a
b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭，由0b a e -+≤得 3,5b b e e e a a e
≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,4
5a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43?3044e b b
a b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0b
a e
-+≤得.
③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,45a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
52?2230553e b b
a b e e b e
----=>=>，∴当35b e a e >
-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 23．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得； 该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体， 其表面积为
S=×4π×2×
2=8
π， 或
S=×4π×2
+×（4π×
2
﹣2
π×
）
+×2
π×
=8
π；
（2）作ME ⊥AC ，EF ⊥BC ，连结FM ，易证FM ⊥BC ， ∴∠MFE 为二面角M ﹣BC ﹣D 的平面角， 设∠CAM=θ，∴
EM=2sin θ，EF=，
∵tan ∠MFE=1，∴，∴tan
=
，∴
，
∴CM=2
．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
24．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3,21e ⎛⎤-∞-
⎥-⎝⎦
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
12）上无零点，只需要对x ∈（0，1
2
）时f （x ）＞0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，
由f ′（x ）＞0，得x ＞2； 由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．
故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的
，f （x ）＞0恒成立，即对
恒成立．
令，则
，
再令，
则
，故m （x ）在
上为减函数，于是
，
从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以
，
故要使
恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f （x ）在10,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2； （3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增； 当x ∈（1，e]时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减． 又因为g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e •e 1﹣e ＞0， 所以，函数g （x ）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
当a ≠2时，f ′（x ）=，x ∈（0，e]
当x=
时，f ′（x ）=0．
由题意得，f （x ）在（0，e]上不单调，故，即
①
又因为，当x →0时，2﹣a ＞0，f （x ）→+∞，
，
所以，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2）， 使得f （x i ）=g （x 0）成立，当且仅当a 满足下列条件：
即
令h （a ）=，
则h
，令h ′（a ）=0，得a=0或a=2，
故当a ∈（﹣∞，0）时，h ′（a ）＞0，函数h （a ）单调递增；
当
时，h ′（a ）＜0，函数h （a ）单调递减．
所以，对任意，有h （a ）≤h （0）=0， 即②对任意恒成立． 由③式解得：
．④
综合①④可知，当a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的
精选高中模拟试卷x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．
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