第四部分空间曲线及其方程教学课件

C
:
z
z
4 x2 y2, 3(x2 y 2 ),
两式消去 z，得：
x 2 y 2 1 为所求
这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.
交线在xOy面上的投影曲线为: x2 y2 1 z0
所求立体在xOy面上所围的的投影:
其投影为圆： x 2 y 2 1 z 0
在xOy 面上的所围的部分： x2 y2 1
点A(a,0,0)处.经过时间t，动点由A运动到
M(x,y,z).记M在xOy面上投影为 M' ，M' 的坐标
为x,y,0.由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z轴 旋转，所以经过时间t，∠AOM′=ωt.从而
x|O M |co A s M O aco ts, x|O M |si nAM O asin t.
由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升， 所以 z=M’M= vt
因此螺旋线的参数方程为
x a cos t ,
x
a
sin
t,
z t.
也可以用其他变量作参数;例如令θ=ωt，则螺旋线 的参数方程可写为
x a cos ,
x
a
sin,Biblioteka z b .这里 b ，而参数为θ.
第四部分空间曲线及其方程教学课件
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可以看作两个曲面的交线，设两个曲 面的方程为:
S1:F(x,y,z)=0 和 S2:G(x,y,z)=0
则：G Fxx,,yy,,zz00 为空间曲线C的一般方程.
例3 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕 z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上 升(其中ω、ν都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋 线.试建立其参数方程. 解 ： 取时间t为参数.设当t=0时,动点位于x轴上的一
解: 先求两方程消去z而得的母线平行于z轴
的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为：
x22y22y0
则
x2 2y2 2y 0
z0
即为交线 C在xOy面上的投影方. 程
例5 设一个立体由上半球面 z 4x2y2和锥面 z 3(x2y2)所围成， xO 面 求 y 上 它的 .在投影
解: 半球面和锥面的交线为:
三、空间曲线C在坐标面上的投影
1、曲线C关于xOy平面的投影柱面 由曲线C的一般方程： F(x,y,z) 0 G(x,y,z) 0 消去z得：H(x,y)=0 H(x,y)=0是以曲线C为准线，母线平行于z 轴的柱面.
此柱面H(x,y)=0称为空间曲线C在xOy平面 的投影柱面.
2、曲线C在xOy面上的投影(曲线) 投影柱面H(x,y)=0与xOy平面的交线，叫做曲线 C
在xOy面上的投影(曲线)，即投影，其方程为:
H(x, y) 0
z
0
同理，曲线C在yOz平面的投影曲线方程为:
R(y, z) 0
x
0
曲线C在xOz平面的投影曲线方程为：
T(x, z) 0
y
0
例4 已知两球面的方程为 x2y2z21 和 x 2 (y 1 )2 (z 1 )2 1,求它们的交线C在xOy面 上的投影方程.