第四章 能量法与近似计算

W
动力学中
1 2 sin(t ) 3 4
F1 F 2 f sin(t ) F3 F4
外载{ f } 所作的功 W 就等于该体系所存储的应变能 U
L 0
L
0
EJY ' ' 2 ( x)dx
n i 1
FY ( x)dx mi Y 2 ( xi )
2
1
2


L
0 L
FY ( x)dx
2

0
EJY ''2 ( x)dx
n

i 1 L
miY 2 ( xi ) EJY ''2 ( x)dx
n
0
1
1
02
i2 i 1
U y 1 EJ 2 dx x 2 0
L 2 2
T
1 y F dx 2 0 t
L
2
设梁振动曲线表示为
y( x, t ) Y ( x) sin(t )
2 y Y ' ' ( x) sin(t ) 2 x y Y ( x) cos( t ) t
TMAX
2
2

L
0
FY 2 ( x)dx
2
2
F
L
0
16a 2 2 4 x (l x) 2 dx F 2 a 2l l4 15
4 32 EJa 2 2 2 F a l 15 l3
2

120EJ Fl 4
10.95 EJ l2 F
2、假设形状函数为均布载荷作用下的挠度曲线
全杆应变能
U U dU
* L 0
dx 1 L N 2 ( x) 2 N ( x) dx 0 2 EF 2 EF
L U P2 2 EF
*
而且
N ( x) EF ( x) EF
u x
2
1 L 1 L u 2 U EF ( x)dx EF ( ) dx 2 0 2 0 x
1 T 1 T [ M ] 2 cos 2 (t ) T [M ] 2 2 1 T Tmax [ M ] 2 最大动能 2


U max Tmax
1 1 T T 2 [M ] K 2 2
1 L N 2 ( x) M 2 ( x) Q 2 ( x) M t ( x) * U ( dx 0 2 EF EJ GF Kt
2
1 L M 2 ( x) U* ( )dx 0 2 EJ
只考虑弯曲
W
5、有限自由度体系的应变能
1 2 3 4
四、能量守恒定律及应用 振动体的机械能
E U T
无阻尼
E U T const
1、计算弹簧质量系统的无阻尼自由振动频率
y A sin(t )
y A cos(t )
1 1 2 U K y KA2 sin 2 (t ) 2 2 1 1 2 T M V MA2 2 cos2 (t ) 2 2
3、直杆扭转变形得应变能 单位长度的抗扭刚度
Kt G J d
G键切模量，Jd 截面扭转常数 圆轴扭转应变位能为 Kt U 2 2L
U* L M 2t 2K t
Jd

32
d4
假如外扭距不仅作用在轴的两端，也作用在轴内
U
L 0
K t 2 ( ) dx 2 x
q Y ( x) (l 3 x 2lx3 x 4 ) 24 EJ
q Y '( x) (l 3 6lx 2 4 x3 ) 24 EJ q q Y ''( x) (12lx 12 x 2 ) (lx x 2 ) 24 EJ 2 EJ
q2 EJ ( lx x 2 ) 2 dx EJY ''2 ( x) dx 0 4 E 2 J 2 0 2 L L 2 q2 0 FY ( x)dx 0 F 576 E 2 J 2 (l 3 x 2lx3 x 4 )2 dx q 2l 5 120 EJ q 31 9 F( )2 ( )l 24 EJ 630
当质量运动到平衡位置时， y=0, 速度最大
U 0
E Tmax
1 MA2 2 2
当质量运动最大位置时， y=A, 速度为零
V 0
E U max
1 KA2 2
按能量守恒定率
1 1 MA2 2 KA2 2 2 K 2 M
2、确定梁的弯曲自由振动的固有频率（无限 自由度瑞雷-李茨） （不考虑阻尼、剪切变形、截面旋转） 梁的位能为 梁的位能为
1 T U W f 2
1 T U K sin 2 (t ) 2
二、动能 1、有限自由度体系的动能 体系的动能为 1 2 sin(t ) 3 4
m1 1 m2 1 2 1 2 1 2 1 } 2 T m11 m2 2 mn n {1 , 2 n 2 2 2 2 mn n 1 T [ M ] 2
F1 F f 2 F3 F4
[ K ] f
外载{ f } 所作的功 W 就等于该体系所存储的应变能 U
1 T U W f 2
U* 1 f T K 1 f 2
U 1 T K 2


1 T 1 T [ M ] 2 cos 2 (t ) T [M ] 2 2


2、弹性杆的动能 纵向振动动能
微块的动能
dT 1 u F dx ( ) 2 2 t
全杆的动能 1 L u 2 T dT F ( ) dx 2 0 t
U
*
L
0
M 2 t ( x) dx 2K t
4、梁的应变能
其位移曲线
截面弯矩 剪 轴 扭 力 力 矩
y (x)
M (x)
Q(x)
N (x)
M t (x)
1 L u 2 2 y 2 y 2 2 U [ EF ( ) EJ ( 2 ) GF ( ) K t ( ) ]dx 2 0 x x x x
中所做的功
U=W；
静力学、动力学中都具有应变能； 应变能总是正的；
应变能是状态的函数，只与状态有关。
动 能：由于物体运动而具有的能量 静力学中不考虑功能； 动力学中才考虑动能。
二、应变能的计算
1、弹簧的应变能 弹簧在力p的作用下，伸长 L 应变能
应变余能 证明：
1 U We K L2 2 1 2 U P 2K
*
P L K
某一时刻，弹簧伸长x,
0 x L
N ( x) K x
拉力在 dx 作的微功
We N ( x) dx Kx dx
整个过程作的功
We We
L 0
1 Kx dx K L2 2
1 U We K L2 2
2、直杆的应变能
U MAX
1 L EJY ''2 ( x)dx 2 0
TMAX
2
2

L
0
FY 2 ( x)dx
1 L 2 EJY ''2 ( x)dx 2 0 2

L
0
FY 2 ( x)dx
2

0
L
EJY ' ' 2 ( x ) dx
L
0
FY 2 ( x) dx
2

1 T 1 T [ M ] 2 cos 2 (t ) T [M ] 2 2
三、能量法计算振动频率—瑞雷-李兹法


应变能
最大应变能 动 能
1 T 2 U K sin (t ) 2 1 T U max K 2
（a）两端受拉力的情况
L L P EF
相当的弹簧刚度系数为
K EF L
EF U L2 2L 1 U We K L2 2
U* L P2 2 EF
应变位能为
应变余能为
（b）受分布力情况 dx微段，两侧拉力N(x),
微段应变能为
dx dU N ( x) 2 2 EF
第四章 能量法与近似计算
§4-1 弹性体的动能与应变能
§4-2 建立运动方程的几种方法
§4-3 代替质量法 动能等效原理
§4-4 集中质量法与分散质量法
§4-5 有限自由度体系的瑞雷——李兹法
§4-1 弹性体的动能与应变能
一、应变能 应变能（变形能）：由于物体变形而储存在内部的能量 应变能密度：单位体积内积蓄的应变能； 贮存在物体中的应变能等于外力在物体变形过程
1

2 0


L
0 L 0
EJY ''2 ( x ) dx
FY ( x )dx
2
无集中质量的基频
1
i2

L
0
EJY ''2 ( x)dx miY 2 ( xi )
不考虑分布质量，只考 虑第i个集中质量的基频
用能量法求均布质量m,等截面简支梁的第一频率

2


0
L
EJY ' ' 2 ( x ) dx
y2 y1 2mg / k 5mg / k
3 X 1 5 2 精确解: 6 1 0.198k / m T X 1 k X 1 1 0.445 k / m 2 1 T X 1 mX 1 14k 0.2k / m 1 0.447 k / m 70m
y3 y1 mg / k 6mg / k
2.取直线
1 X 1 2 3
2 1 0.214k / m
1 0.463 k / m
1 3.取常数 X 1 1 12 0.333k / m 1 1 0.577 k / m 3 X 1 5 精确解: 2 6 1 0.198k / m T X 1 k X 1 2 1 0.445 k / m 1 T X 1 mX 1 14k 0.2k / m 1 0.447 k / m 70m
轴的扭转振动动能 转动角速度 微快的动能
( x, t ) t
dT
1全轴的动能
1 L 2 T dT J R ( ) dx 2 0 t
3、梁的动能
1 L y 2 1 L 2 y 2 T dT F ( ) dx J Z ( ) dx 0 0 2 t 2 xt
K T [M ]
T 2
要已知第j阶振型，才能计算第j阶频率，一般 假设振型，所以是一种近似算法，对基频精度较好。
算例.用能量法计算图示体系的基频. 解:
1.取自重引起的位移 y1 3mg / k
2 1 0 k 1 2 1 k 0 1 1
L
0
FY 2 ( x) dx
1、假设形状函数Y(x)为抛物线
4a Y ( x) 2 x(l x) l Y '( x) 4a 8a 2 x l l 8a Y ''( x) 2 l
2
U MAX
L 1 L 1 4a 32 EJa 2 EJY ''2 ( x)dx EJ 2 dx 0 2 0 2 l3 l