数学建模---两个综合模型(案例分析)

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表1
标定值容许范围 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
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C等 / 20 20 50 50 10 /
B等 25 50 50 100 / 25 25
A等 / / 200 500 / 100 100
4
[0.075 , 0.125] [0.225 , 0.375] [0.075 , 0.125] [0.075 , 0.125] [1.125 , 1.875] [12 , 20] [0.5625 , 0.935]
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③考虑到题目所给条件，产品参数y 偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损 失为1000元，y偏离y0±0.3时，产品 为废品，损失为9000元，可假设产品 参数y偏离目标值y0造成的单件产品质 量损失函数L（y）与（y-y0）2成正比 2 即 L( y) k ( y y 0 ) （1） k 10 3 / 0.12 10 5 易见
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由(2)式
Q( x0 , t ) E[k ( y y0 ) ] kE[( y Ey Ey y0 ) ]
2 2
k[( Ey y0 ) ]
2 2 y
为了得到Ey和 的简单表达式，在 x 0 处对y f ( x1 , x2 , , x7 )作Taylor展开， 并略去二阶及二阶以上项，有
得到最优解 x 和最优值 Z ，然后对 108个t比较 * * Z ( x 0 , t ) Z1 C (t ) （5) * * 得到全局最优解 x 0和最优值 Z 。 子问题（4）是非线性规划问题， 它的计算量是很大的，为了减少计算 子问题的次数，在程序设计时，每解 出一个子问题，由（5）式算出当前的 * * Z c Z 1 C c ，对待求解的子 最优值 * 问题，先判断 C (t ) Z c 是否成立，若成 立，则该子问题不必再解。
k 2 2 min Z ( x0 , t ) k ( f ( x0 ) y0 ) 9 ( d i xi 0 ti ) ci (ti ) i 1 i 1 s.t ai xi 0 bi t 0.01 or 0.05 or 0.1 (i 1,2,,7) i
7 7
（3）
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四、模型的分析及求解
1. 模型的分析 注意到在模型（3）中，决策变量 x0是连续的，t是离散型的，而且t的取 值共有2×3×3×3×2=108种，对每 种固定的t值，求解如下一系列子问题：
105 7 5 2 2 min Z1 ( x0 ) 10 ( f ( x0 ) 1.5) (d i xi 0ti ) 9 i 1 （4） 17 s.t a x b (i 1 ~ 7) 2013-8-6 i i0 i
零件制造成本，综合考虑产品质量 损失费和成本费是问题的关键。 由题目所给条件知，单件产品的零 件成本取决于相对容差等级 t i ，第 i 种零件的成本记作ci (ti ) ，于是单件产 品的成本，即7个零件的总成本为 7 （2） C (t ) ci (t i )
i 1
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产品参数y由决定 x1 , x2 , , x7
1.16
2
y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离 y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1000 （元）；当y偏离y0±0.3时产品为废品，损失 为9000（元）。零件参数的标定值有一定的容 许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用 与标定值的相对值表示，A等为±1%,B等为 ±5%，C等为±10%。7个零件参数标定值的 容许范围及不同容差等级零件的成本（元）如 表1（符号/表示无此等级零件）。
7 k 7 2 2 k ( f ( x 0 ) y 0 ) (d i xi 0 t i ) ci (t i ) 9 i 1 i 1
（2）数学模型 问题的目标函数是总费用函数Z （x0，t）达到最小，且约束条件是标
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定值x0落在给定的容许范围内，所以 该问题的数学模型为：
，
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记作y=f(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）， 而xi是随机变量，且xi~N（xi0，σi2），所 以产品参数y也是随机变量。进行成批生 产时，平均每件产品的质量损失费用应该 用损失函数L（y）的期望来度量，它取决 于零件参数标定值x0和容差t，记为：
Q( x0 , t ) E[ L( y)]
7
所以
k 7 Q( x 0 , t ) k ( f ( x 0 ) y 0 ) 2 ( d i x i 0 t i ) 2 9 i 1
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通过以上分析讨论可知，成批生产 时平均每件产品的总费用可表示为
Z ( x 0 , t ) Q( x 0 , t ) C (t )
零件的参数设计
一、 实际问题 这是1997年全国大学生数学建模竞赛的A 题，问题如下： 一件产品由若干零件组装而成，标志产品 性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件 参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产 时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容 差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若 将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望 值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定 为均方差的3倍。进行零件参数设计，就是确定 2013-8-6 1 其标定值和容差。
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t i ri / xi 0
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y0：产品质量参数的目标值；
y：产品质量参数，它是随机变量； σy：y的均方差； ai：标定值xi0的取值下限（已知的） bi：标定值xi0的取值上限（已知的） x0=（x10，x20，…，x70）标定值向量 t=（t1，t2，…，t7）：相对容差向量
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function y41=fun(x) y41=fy(x)*0.5*(1/u(x)*uu4(x)); function y51=fun(x) y51=fy(x)*(-1/x(5)); function y61=fun(x) y61=fy(x)*(-0.5/x(6)); function y71=fun(x) y71=fy(x)*(-0.5/x(7));
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二、 模型的假设及符号说明
（1）模型的假设 ①假设各零件的参数为随机变量， 且是相互独立的，它们都服从以零件 标定值为均值，容差的三分之一为均 方差的正态分布。( ②假设生产1000个批量产品时， 每个零件参数只按一种容差等级进行 生产，7个零件可以按不同的容差等 级进行组合生产。
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③分别建立函数fy(x)对x1,x2,…,x7的偏 导数函数文件y11.m,y21.m,…,y71.m function y11=fun(x) y11=fy(x)*(1/x(1)+0.85/(x(2)-x(1))); function y21=fun(x) y21=fy(x)*((-0.85)/（x(2)x(1))+0.5*(1/u(x))*uu2(x)); function y31=fun(x) y31=fy(x)*(0.85/x(3));
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④建立子问题（4）的目标函数文件 ch721.m
function[ch721.g]=ch721(x,p2,p3,p4,p6, p7) ch81=100000*(fy(x)-1.5)ˆ2+(100000/9) *((y11(x)*x(1)*0.05)ˆ2+… (y21(x)*x(2)*p2)ˆ2+(y31(x)*x(3)*p3)ˆ2+ … (y41(x)*x(4)*p4)ˆ2+(y51(x)*x(5)*0.1)ˆ2+ … (y61(x)*x(6)*p6)ˆ2+(y71(x)*x(7)*p7)ˆ2; g=-x(1);
这时要考虑两方面因素：一是当零件组装成产品时， 如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量 损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决 定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高,试通过 如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子 分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1， x2，…，x7）决定，经验公式为
x1 x3 y 174 .42 x x x 1 5 2 x4 1 2.62 1 0.36 x 2 2013-8-6 x6 x7
0.85

3/ 2
0.56
x4 x 2
现进行成批生产，每批产量1000 个。在原设计中，7个零件参数的标 定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1, x5=1.5,x6=16,x7=0.75；容差均取最便 宜的等级。 请你综合考虑y偏离y0造成的损失 和零件成本，重新设计零件参数（包 括标定值和容差），并与原设计比较， 总费用降低了多少。
endenddisp?生产每个零件的最小费用?minldisp?更换刀具的最优间隔数?goodudisp?定期检查的最优间隔数?goodn201442872执行后输出生产每个零件的最小费用minl75760更换刀具的最优间隔数goodu350定期检查的最优间隔数goodn22201442873问题3的进一步讨论由于工序故障时的合格品率相当高可考虑检查时当查到的那个零件为合格品时再查一个零件若仍是合格品则判定工序正常若为次品则判定工序故障这样虽使检查费用增加但不合格品的损失费将减少相应地效益函数为
* 0
* 1
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2. 模型的求解 按照上面对模型（3）的分析，下 面设计在MATLAB中计算模型（3） 的程序。 为了方便起见，记
v( x) 1 0.36( x 4 / x 2 ) u ( x) 1 2.62[v( x)]
0.56 1.5
( x4 / x2 )
1.16
2 y
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y f ( x 0 ) d i ( xi xi 0 )
i 1
7
13
其中 于是
f di x i
(i 1 ~ 7)
x x0
Ey f ( x 0 )
1 7 2 y Dy d i2 i2 (d i xi 0 t i ) 2 9 i 1 i 1
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Байду номын сангаас
（2）符号说明 xi (i 1 ~ 7) : 第i个零件的参数，它是随 机变量； xi 0 (i 1 ~ 7) : 第i个零件的标定值，即xi 的期望值； i (i 1 ~ 7) : 第i个零件的均方差； ri (i 1 ~ 7) : 第i个零件的容差，即 ri 3 i t i (i 1 ~ 7)第i个零件的相对容差，即； :
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三、问题的分析及数学模型
（1）问题的分析 问题的目标函数是总费用函数最 小，而总费用是由产品参数偏离目标 值引起的质量损失费用和产品的成本 费用两部分组成。一般来说，标定值 设计不合理或容差设计得太大，会使 产品参数远离目标值，造成质量损失； 而容差设计得太小，又会增加零
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fy( x) 174.42( x1 / x5 )(x3 /( x 2 x1 ))0.85 (u ( x) /( x 6 x 7 )) 0.5
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①分别建立函数文件v.m，u.m，fy.m function v=fun(x) v=1-0.36*x(2)ˆ0.56*x(4)ˆ(-0.56); function u=fun(x) u=1-2.62*v(x)ˆ1.5*(x(4)/x(2))ˆ1.16; function fy=fun(x) fy=174.42*(x (1)/x(5))*(x(3)/(x(1)+x(2)))ˆ0.85*… sqrt(u(x)/(x(6)*x(7)));
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②分别建立函数u(x)对x2,x4的偏导数函数 文件uu2.m,uu4.m function uu2=fun(x) uu2=0.792288*v(x)ˆ0.5*x(2)ˆ(1.6)*x(4)ˆ0.6+… 3.0392*v(x)ˆ1.5*x(2)ˆ(- 2.16)*x(4)ˆ1.16; function uu4=fun(x) uu4=(-0.792288)*v(x)ˆ0.5 *x(2)ˆ0.6*x(4)ˆ(-0.4)-… 3.0392*v(x)ˆ1.5*x(2)ˆ(- 1.16)*x(4)ˆ0.16;