18.2(2)正比例函数的图像
正比例函数课件
contents
目录
• 正比例函数概述 • 正比例函数的图像性质 • 正比例函数的实际应用 • 正比例函数的解析式 • 正比例函数的图像变换 • 正比例函数与反比例函数的关系
01
正比例函数概述
正比例函数的定义
正比例函数是指形如 y=kx（k为常数， k≠0）的函数。
当k<0时，函数图像 过第二、四象限，y 随x的增大而减小。
04
正比例函数的解析式
解析式的推导过程
01
02
03
04
定义正比例函数：$y=kx$， 其中k为比例系数。
从已知的图像中，通过取不同 的x值，计算对应的y值。
利用已知数据，通过最小二乘 法进行线性回归分析，得出k
的值。
得出解析式：$y=kx$，其中 k为比例系数，x为自变量，y
为因变量。
解析式的应用实例
反比例函数的应用场景
反比例函数在工程、技术、经济等领域有广泛的应用。例如，在电子工程中描 述电阻、电容、电感之间的关系，在经济学中描述成本与产量之间的关系。
THANKS
感谢观看
日常生活中的应用
身高与年龄
在一定年龄范围内，身高与年龄 之间存在正比例关系。随着年龄
的增长，身高也会相应增加。
收入与工作时间
在一定时间内，收入与工作时间之 间存在正比例关系。随着工作时间 的增加，收入也会相应增加。
路程与速度
当速度保持不变时，路程与时间之 间存在正比例关系。当时间增加时 ，路程也会相应增加。
图像的平移变换
上下平移
正比例函数的图像在垂直方向上平移。
左右平移
正比例函数的图像在水平方向上平移。
平移性质
平移不改变函数的值域和定义域，也不改变函数 的单调性和奇偶性。
正比例函数
练习 ：已知y = (m − 3) x 1 函数，求m.
分析：成为正比例函数 （ ）比例系数 ≠ 0 1
|m|−2
是正比例
该题中比例系数为 m − 3
（2）自变量的次数为1 自变量的次数为 m − 2 (3) y是关于x的单项式
由题意得： 解：由题意得：
m−3≠ 0 m − 2 =1
m≠3 m出下列正比例函数的图象。 例2：画出下列正比例函数的图象。 y=（1）y=2x （2）y=-2x 列表: 解:(1) 列表: x y=2x y=y=-2x … -2 -1 0 … -4 -2 0 2 0 … 4 1 2 -2 2 4 -4 … … …
画出函数y=2x与y=-2x的图象 画出函数y=2x与y=-2x的图象 y=2x
提示m = ρV m=7.8V
L=2r; h=0.5n T=T=-2t ,m=7.8V
。
这些函数有什 么共同点？ 么共同点？
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。 这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。
☺一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， y=kx(k是常数 的函数 叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 *正比例函数的解析式的结构特征： 正比例函数的解析式的结构特征： （1)k≠0 (2)自变量x的次数为1（右 (2)自变量x的次数为1 自变量 边是关于x的一次单项式） 边是关于x的一次单项式）
正比例函数的解析式的结构特征： 2、正比例函数的解析式的结构特征： （1)k≠0 (2)自变量x的次数为1（右边是 (2)自变量x的次数为1 自变量 关于x的一次单项式） 关于x的一次单项式） 正比例函数y=kx(k为常数,k≠0) y=kx(k为常数,k≠0)的图象是 3、正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是 一条经过原点的直线。我们称为直线y=kx 一条经过原点的直线。我们称为直线y=kx 画正比例函数的图象时可用两点法。 4、画正比例函数的图象时可用两点法。 通常取原点和(1,k) 通常取原点和(1,k)
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
正比例函数与反比例函数(含图像)
1、正比例函数
定义：
形如y=kx（k为常数,且k≠0），我们就说y是x的正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数【一次函数的一般形式为y=kx+b（b不为0，k为常数）】。
图象作法:
a.列表(待定系数)
b.描点
c.连线
正比例函数的图象是一条直线，一定经过坐标的原点；
当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。
具体图像：
正比例函数y=x的函数图像
2、反比例函数
定义：
形如y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，我们就说y是x的反比例函数。
（自变量x的取值范围是不等于0的一切实数)
图像作法：
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴，但永不相交；
当k>0时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
具体图像：
反比例函数y=1/x的函数图像。
18.2-2正比例函数
2.正比例函数的图像
五、作业：
练习册：习题18.2(2)
理解自变量x可取任意实数，因此可以描出无数个点，且没有起点也没有终点，通过画图像体会这个函数的图像是一条直线体会“描点法”的一般步骤；同时提供机会让学生比较y=2x与y=-2x这两个函数的图像，感知两个图像的相同点和不同点，发现正比例函数的特征.在确认正比例函数的图像是过原点的一条直线以后，画正比例函数的图像时，只要确定两个点，然后过这两点画一直线.
_月__日 星期__第__周
课题
18.2－1正比例函数
课 型
新授
教 时
1
教学
目标
1．通过画正比例函数图像的操作实践，体验“描点法”画正比例函数图像。
2．知道正比例函数的图像是过原点的一条直线，会画正比例函数的图像。
3．知道函数图像的意义。
重点
知道正比例函数的图像是过原点的一条直线，并会画正比例函数的图像。
二、新授：
(一)探讨
1、从上面的操作，画函数图像的步骤可以归纳为几个方面呢？
2、学生开始进行，可同桌讨论.
3、汇报结果.
板书：画函数图像的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.
4、操作：
按照画函数y=2x的图像操作的步骤，画函数y=-2x的图像.
5、思考：函数y=-2x的图像与y=-2x的图像有哪些相同的特点？
(二)例题：
例题：
在同一直角坐标平面内，分别画出下列函数的图像：
y=3x,y=x,y= x.
分析：画正比例函数图像，可先取图像上的两个点，再过这两点画一条直线.为了方便，我们通常取原点O（0，0）和点（1，k）.但有时为了在画直线时能准确地定位，所取的两点不宜太靠近.
18.2(2)正比例函数的图像
正比例函数图像及其画法。
教学难点适当选取两个点画正比例 Nhomakorabea数的图像。
相关链接
前期：函数和函数值，正比例函数概念，直角坐标平面内点的确定，两点确定一条直线。
后期：反比例函数的图像，一次函数的图像，二次函数的图像。
初中数学教学目标
年级
课题
日期
八年级（上）
18.2（2）正比例函数的图像
教学
目标
知识与技能
1掌握用“描点法”画函数图像的三个步骤。
2.掌握正比例函数的图像是过原点的一条直线，会适当选取两个点画正比例函数的图像。
3.经历用“描点法”画函数图像的过程，体验数形结合的思想。
过程与方法
情感态度
与价值观
教材
分析
18.2(2)正比例函数的图像 学案
18.2(2)正比例函数的图像一、课前练习已知y是x的正比例函数,且当x=4时,y=8.求y与x之间的函数解析式.二、阅读理解1.阅读教材P60～62.2.一般地,正比例函数y=kx (k是常数,k≠0)的图像是经过和的一条 .我们把正比例函数y=kx的图像叫做 .3.用描点法画函数图像的一般步骤:(1) ;(2) ;(3) .4.阅读中遇到的问题有三、新课探索如何画正比例函数y=2x的图像?它的图像是什么?直角坐标平面内任意一点都有唯一确定的坐标(x,y); 反过来,以任意给定的一对有序实数(x,y)为坐标,都可以在直角坐标平面内唯一确定一个点.想一想:由以上所述,你会画正比例函数y=2x的图像了吗?例题1 在直角坐标平面内画正比例函数y=2x的图像.操作画函数y=-2x的图像.(1)列表:(2)描点:(3)连线:观察函数y=2x与函数y=-2x的图像,看看它们有哪些相同的特点.例题2 在同一直角坐标平面内,分别画出下列函数的图像: y=3x, y=x, y=31x.四、课内练习1.正比例函数y=kx 的图像是___________,它一定经过点______和 _____.2.函数y=kx(k ≠0)的图像经过点(-21,5),写出函数解析式.这个函数图像经过哪几个象限?你是怎么判断的?3.在同一直角坐标平面内画出两个函数图像: (1)y=4x 与y=41x; (2)y=-31x 与y=-3x.18.2（2）正比例函数一、填空题1．若函数y =(a-2)x +b+3是正比例函数，且过点（－1，3），则a= ,b= .2．已知正比例函数图象上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 .3．若函数y=5x,当-2≤X ≤1时，y 的取值范围是_____________________ 二、选择题1．．函数y =3 x 的图象一定不经过点………………………………………（ ） A 、（1， 3） B 、（－1，－3） C 、（31，1） D 、（31，－1） 2．若y=(a-3)x+a ²-9是正比例函数，则它的图像一定经过点……………（ ）A 、（1，-12）B 、(-1,6)C 、(-1,-6)D 、（-2，-6） 三、根据图象写出解析式1、、四、解答题1、已知直线y ＝kx 过点（－2，3），A 是直线y ＝kx 上一点，点B 的坐标为（4，0），且S △AOB=12，求点A 的坐标.2、正比例函数图像经过P （－3，2）和Q （－m ，m －1）（1）写出正比例函数解析式 （2）并求出m 的值，写出Q 点的坐标 （3）当x 取何值时，y>-13、如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：⑴谁走得快？⑵求甲、乙两个函数解析式,并写出自变量的取值范围.⑶当t = 4时，甲、乙两人行程相差多少？∠1=∠2。
18.2正比例函数的图像(第2课时)(作业)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册精品教学
18.2正比例函数的图像（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）直线23y x =-不经过点（ ） A ．（0，0） B ．（﹣2，3） C ．（3，﹣2） D ．（﹣3，2）2．（2021·上海市罗星中学八年级期中）关于函数y ＝﹣2x ，以下说法错误的是（ ）A ．图象经过原点B ．图象经过第二、四象限C ．图象经过点(2,2)-D ．y 的值随x 的增大而增大二、填空题3．（2021·上海市建平实验中学八年级期末）如果正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的图象经过第二、四象限，那么k 的取值范围是 _____．4．（2020·上海市浦东模范中学八年级期末）已知正比例函数的图像经过点（2，-6），则这个函数的解析式为__________．5．（2022·上海·八年级期末）正比例函数(1)y k x =+图像经过点（1，-1），那么k =__________． 6．（2022·上海·八年级期末）已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________．7．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）正比例函数12y x =的图像经过第 ___象限． 三、解答题8．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A （3，7）在正比例函数图像上．（1）求正比例函数的解析式．（2）点B （1，0）和点C 都在x 轴上，当△ABC 的面积是17.5时，求点C 的坐标．9．（2021·上海·八年级期中）已知y与x成正比例，且当x=12时，y=2，求（1）y关于x的函数解析式？（2）当y=-2时，x的值？【能力提升】一、单选题1．（2021·广东·深圳市南山外国语学校八年级期中）如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（）A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m2．（2022·全国·八年级专题练习）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜03．（2022·福建漳州·八年级期中）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（）A．12y x=B．109y x=1-C．12y x=或910y x=D．12y x=或109y x=二、填空题4．（2022·福建龙岩·八年级期中）若函数()21m y m x =-是关于x 的正比例函数，则该函数的图像经过第______象限．三、解答题5．（2020·四川巴中·八年级期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为边DC 上的一点，设DP x =，求APD △的面积y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．6．（2021·全国·八年级课时练习）画出下列正比例函数的图象：（1）12,3y x y x ==； （2） 1.5,4y x y x =-=-．7．（2022·福建·厦门市湖滨中学八年级期中）已知函数y =12x ，请按要求解决下列问题：(1)在平面直角坐标系中画出图象；(2)点（m －1，m ）在函数y =12x 的图象上，求m 的值．8．（2022·广东东莞·八年级期末）水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每5min 记录一次容器中的水量如下表： 时间/min t 0 5 10 15 20 …水量/mL v 0 25 50 75 100 …(1)请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点；(2)根据（1）中各点的分布规律，求出v 关于t 的函数解析式；(3)请估算这种漏水状态下一天的漏水量．9．（2021·上海·八年级期中）已知y 与x ﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当x=﹣1时，求y 的值；（3）当﹣3＜y ＜5时，求x 的取值范围．10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数23m y mx -=的图象经过第一、三象限，求m的值．。
正比例函数图像ppt课件
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k>o k<o
当k>0时，图像在 象限， y 的值随x的值增大而 ;
当k>0时，图像在 象限，
y 的值随x的值增大而
。
36
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37
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正比例函数y=kx(k≠0) 结 论
中，k的绝对值越大
直线越陡。
四
39
40
04 课堂练习
神秘的
一次函数的图像
川化中学
郑英
探究
讨论
总结
探究 路径
什么是函数图像？
01
如何做正比例函数的图像？
02
正比例函数图像的性质
03
总结和练习
04
01 什么是函数图象？
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A
B
什么是函
数图像？
C
D
把一个函数的自变量x与对应 的因变量y的值分别作为点的横 坐标和纵坐标，在直角坐标系内 描出它的对应点，所有这些点组 成的图形叫做该函数的图象 。
4 5
4. 已知正比例函数y=(3-k)x，
(1)若y的值随x的增大而增大，则k的取值范围是什么？ (2)若y的值随x的增大而减小，则k的取值范围是什么？
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y=ax y=bx
正比例函数图像如图： （1）a,b的正负？ （2）函数的增减性？ （3）a,b的绝对值的大小？
46
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正比例函数图像如图： （1）c,d的正负？ （2）函数的增减性？ （3）c,d的大小？
47
05我们的收获
探究 收获
什么是函数图像？
《正比例函数》课件
欢迎来到正比例函数的世界！这个PPT将会带你深入探索正比例函数，了解它 的定义、性质和应用。
定义与特点
定义
正比例函数是一种函数，其定义域和值域都是正实数，且函数的值与自变量成正比例关系。
特点
自变量为0时函数值为0。自变量每增加1，函数值增加k。函数图像为一条经过原点的直线。
公式
y=kx (k 为比例常数)
2
方法二
已知函数图像斜率为 k，取图像上两点 (x1,y1) 和 (x2,y2)，代入公式 (y2-y1)/(x2x1)=k，求解比例常数 k。
3
方法三
已知函数经过点 (x,y)，代入公式 y=kx，求解比例常数 k。
应用：直接比例与反比例
直接比例
两个量的比例关系为直接比例， 如果一个量增大，另一个量也相 应地增大。
3 问题三
如何通过函数图像求解正比例函数的比例常数？请列出步骤。
结论与思考
结论
正比例函数是数学中重要的函数类型之一，概念简 单易懂，应用广泛。
思考
正比例函数可以用来描述哪些现象和问题？你能设 计一道有趣的应用题吗？
结束语
感谢观看这个PPT，我们希望通过本次分享，让大家更加深入地了解正比例函数，并能够在实际问题中灵活运 用。谢谢！
反比例
两个量的比例关系为反比例，如 果一个量增大，另一个量相应地 减小。
反比例的应用
例如在物理学中，波长和频率呈 反比例关系。
小试牛刀
1 问题一
已知正比例函数 y=kx (k>0)，当 x=2 时，y=6，求比例常数 k。
2 问题二
已知正比例函数 y=kx (k>0)，当 x=2 时，y=6，当 x=4 时，y=12，验证斜率为常数 k。
正比例函数图像 PPT
y=ax y=bx
快速回答
正比例函数图像如图： （1）a,b的正负？ （2）函数的增减性？ （3）a,b的绝对值的大小？
快速回答
正比例函数图像如图： （1）c,d的正负？ （2）函数的增减性？ （3）c,d的大小？
05我们的收获
探究 收获
什么是函数图像？
01
如何做正比例函数的图像？
02
正比例函数中k的重要性
3 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t（分）
h（米）
45 37
11
3 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t（分）
下图反映了旋转时间t(分)与摩天轮上的一点的高度h (米)之间的关系。
3
10 37 45 37 11
02 如何做正比例函数图像？
探究一次函数图像？
观察对比正比例函数y=x,y=3x， y=-2x,y=-3x 图像是什么？是否经 过原点？分别经过哪些象限？
03 探究正比例函数图像的性质
活动二
y=x
请根据关系式，描述出对应的函数图像
y1x
2
y=kx
y=3x
y=-4x
动手操作，深化探索 （试一试 ）
k是解开正比例函数图像钥匙。
探究一：
思考3.k值如何影响函数图象的位置？
摩天轮的高度变化的函数图像
你还记得吗？
02
03
01
04
一个时间对应一个高度
1分钟
2分钟
3分钟
4分钟
摩天轮的高度随着时间的变化而变化
h（米）
3 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t（分）
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18.2(2)正比例函数的图像
合庆中学顾燕婷
教学目标
知识与技能：能用描点法画出正比例函数的图象。
过程与方法：通过画正比例函数的图象的过程，探索正比例函数图象的性质，培养观察能力，体会用数形结合的方式思考问题。
情感态度价值观：通过动手操作，培养严谨的学习态度，并养成善于观察、善于归纳的学习习惯。
重点:描点法体验画函数图像的过程
难点：掌握正比例函数图像的画法及特点
教学过程
一、复习导入
已知y是x的正比例函数，且当x=4时，y=8，求y与x之间的函数解析式
∵y是x的正比例函数
∴设y=kx(k≠0)
把x=4，y=8代入解析式
解得k=2
∴函数解析式是y=2x
二、学习新课
（一）思考：如何画出函数y=2x的图像？
分析：直角坐标平面内任意一点都有唯一确定的坐标（x,y），反过来，以任意给定的一对有序实数（x,y）的坐标，都可以在直角坐标平面内唯一确定一个点。
根据正比例函数的解析式，对自变量x在定义域内每取一个值，就能确定相应的一个函数值，分别以所取x的值和相应的函数值作为点的横坐标和纵坐标，可以在坐标平面内描出相对应的点。
（二）操作1
（3）连线
归纳画函数图像的步骤：列表、描点、连线
由画图的操作过程可知，所画直线上任意一点的坐标都满足函数解析式y=2x，同时以这个解析式所确定的x与y的任意一组对应值为坐标的点都在所画的直线上，我们就说：这条直线是函数y=2x的图像，并把它表示为：直线y=2x
对于一个函数y=f(x)，如果一个图形上任意一点的坐标都满足函数关系式y=f(x)，同时以这个函数解析式所确定的x与y的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数y=f(x)的图像。
（三）操作2：画函数y=-2x的图像
函数y=2x与y=-2x的图像的相同点：都经过原点(0,0)，一条直线由这条直线上的任意两点所确定。
归纳：一般地，正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图像是经过原点O(0,0)和点(1,k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx（两点确定一条直线）
（四）例题1 在同一直角坐标平面内，分别画出下列函数的图像：y=3x, y=x，
三、本课小结
1、描点法画函数图像的一般步骤：列表、描点、连线
2、正比例函数的图像：一般地，正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图像是经过原点O(0,0)和点(1,k)的一条直线，我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx（两点确定一条直线）四、布置作业
练习册18.2（2）。