2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十八)数学(文科)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十八）
数学（文科）试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{1,0,1,2,3},{|(23)0}A B x x x =-=->，则A B =（ ）
A. {1}
B. {1,2}-
C. {1,2,3}-
D. {0,1,2,3}
【答案】C 【解析】 【分析】
解不等式化简集合B ，再进行交集运算，即可得答案； 【详解】
3
{|(23)0}{|2
B x x x x x =->=>
或0}x <， ∴{1,2,3}A B =-，
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
2.设2
1
z i =
-，则z 的共轭复数为（ ） A. 1i -+ B. 1i --
C. 1i +
D. 1i -
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简复数z ，再根据共轭复数的概念，即可得答案； 【详解】
22(1)11(1)(1)
i z i i i i --=
==----+--， ∴1z i =-+，
故选：A.
【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.
3.已知(2,0)是双曲线22
1y
x k
-=的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y x =
B. y x =±
C. y =
D. y =
【答案】D 【解析】 【分析】
利用已知条件列出关系式，求解k ，然后得到双曲线的渐近线方程．
【详解】解：由已知(2,0)为双曲线的一个焦点可得，14k +=，即3k =，22
13
y
x ∴-=
所以渐近线方程为：y =． 故选：D ．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 4.通过随机询问100名中学生是否喜欢某电视节目，得到如下列联表：
已知
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
附表：
则以下结论正确的是（）
A. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”
B. 有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该电视节目与性别无关”【答案】A
【解析】
【分析】
直接将数据代入卡方公式中计算，即可得答案；
【详解】
2
2
100(40203010)
4.76 3.841
70305050
K
⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
，
∴有95%的把握认为“喜欢该电视节目与性别有关”，
故选：A.
【点睛】本题考查独立性检验思想，考查考数据处理能力，属于基础题.
5.设x，y满足约束条件
2
1
20
x
y
x y
≤
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+-≥
⎩
，
，
，
则z x y
=-的最大值为（）
A. -2
B. 0
C. 1
D. 2 【答案】C
【解析】
【分析】
作出约束条件所表示的可行域，当直线z x y =-过点H 时，z 取最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，如图所示，则(2,1)H ，
当直线y x z =-过点H 时，直线在y 轴上的截距z -达到最小，即z 达到最大值，
∴max 211z =-=.
故选：C.
【点睛】本题考查简单线性规划最值问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的运用. 6.已知α为第三象限角，10
cos sin αα-=cos2=α（ ） A. 45
-
B.
35 C.
35
D.
45
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可得2α为第一象限角，再对10
cos sin 5
αα-=-sin 2α，最后利用同角三角函数基本关系，即可得答案； 【详解】
10cos sin 5
αα-=-
α
为第三象限角， ∴522,4k k k Z πππαπ+<<+
∈，∴54224,2
k k k Z πππαπ+<<+∈， ∴2α为第一象限角，∴cos20α>，
10cos sin
5
αα-=-
∴
2322551sin sin αα=⇒=-，
∴25
cos 21s n 4
2i αα=-=
.
辑推理能力、运算求解能力，求解时注意根据条件缩小角度范围，才不会出现符号错误.
7.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童．现有一个长、宽、高分别为5、3、3的长方体，将上底面绕着上、下底面中心连线（对称轴）旋转90度，得到一个刍童（如图），则该刍童的外接球的表面积为（）
A. 43 4π
B.
25
2
π
C. 43π
D. 50π
【答案】C
【解析】
【分析】
确定几何体外接球的球心O，再利用勾股定理求出外接球的半径R，代入球的表面积公式，即可得答案；【详解】如图所示，取对称轴的中点O，下面底的中心1O，连结1
,
OA O A，
∴222222
11
34343
()()
24
OA O A O O R
=+⇒=+=，
∴2
43
4443
4
S R
πππ
==⨯=.
故选：C.
【点睛】本题考查多面体与球的切接问题、球的表面积计算，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时外接球心的确定是解题的关键.
8.将函数()sin232
f x x x
=+的图象向左平移(0)
ϕϕ>个单位，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小
故选：D.【点睛】本题考查倍角公式和同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻
值为（ ） A.
12
π
B.
6
π C.
4
π D.
3
π 【答案】A 【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简函数()f x ，进而得到平移后的函数解析式，利用函数为偶函数，则y 轴为函数的一条对称轴，即可得到(0)f 是函数的最值，得到ϕ的值后，即可得到答案. 【详解】
()sin 23cos22sin(2)3
f x x x x π
=+=+，
图象向左平移(0)ϕϕ>个单位得()2sin(2())2sin(22)33
f x x x π
π
ϕϕ=++
=++， ∴0x =时，sin(2)13
π
ϕ+=±，
∴2,3
2k k Z π
π
ϕπ+
=+
∈，即,212
k k Z ππ
ϕ=
+∈， 当0k =，min 12
πϕ=. 故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换的辅助角公式、平移变换及图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平移变换是针对自变量x 而言的，要注意自变量的系数问题.
9.函数ln ||
()x e x f x x
-=的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数为非奇非偶函数，可排除B,D ，再根据0x →且0x <函数值的正负，即可得答案； 【详解】
ln ||
()x e x f x x
-=
，∴()()f x f x -≠±， ∴函数为非奇非偶函数，可排除B,D ，
当0x →且0x <时，ln ||0x
e x ->，∴ln ||
0x e x x
-<，
即()0f x <，故排除A ， 故选：C.
【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意极限思想的应用.
10.如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF △△分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于点1A ，则线段1A B 的长为（ ）
A.
2
B.
3
3
C. 1
D.
63
【答案】B 【解析】
【分析】
如图所示，连接BD 交EF 于点O ，连接1A B 、1A O ，利用余弦定理求出1cos AOB ∠，再利用余弦定理求得1A B 的值.
【详解】如图所示，连接BD 交EF 于点O ，连接1A B 、1A O ， 在1
AOD △中，122A O =
，22
BO =
，32
2DO =，
∴22
2
1
232(
)()2122cos 3232
222
AOD +-∠==⨯⨯
， ∴1
1
cos 3
AOB ∠=-， ∴22
2111111114
2cos 2()22233
A B AO BO AO BO A BO =+-⋅⋅∠=
+-⋅⋅-=， ∴1233
A B =.
故选：B.
【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
11.若关于x 的不等式3ax e x >在区间2
,e e ⎤⎦
内有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 2e ⎫
+∞⎪⎭
B. 1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C. 26,e ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D. 3
,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
利用参变分离，构造函数3ln ()x f x x
=
，求出函数在区间2
,e e ⎡⎤⎣⎦的最小值，即可得答案；
【详解】由题意得：3ln x a x
>
在区间2
e ⎤⎦内有解， 令3ln ()x
f x x =，则'
2
3(1ln )()x f x x -=，
'()0f x x e >⇒≤<，'2()0f x e x e <⇒<≤，
∴()f x 在)e 单调递增，在2(e,e ]单调递减，
f =
2
2
6
()f e e =
， 2.7e ≈，
∴2()f e f <，min 26()f x e
=， ∴2
6a e >
. 故选：C.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意有解问题与恒成立问题的区别.
12.已知ABC 是边长为EF 为该三角形内切圆的一条弦，且EF =若点P 在ABC
的三边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A.
5
2
B.
112
C.
132
D.
172
【答案】B 【解析】 【分析】
根据
EF =可得23
EOF π
∠=
，再利用向量加法的几何意义，将PE PF ⋅的最大值转化为求2
1
22
PO PO OG +⋅-的最大值.
【详解】如图所示，在ABC 中，内切圆的半径1
123
r OE ===，
在OEF 中，1OE F EF O ===，
∴1131
cos 22EOF +-∠=
=-，∴23
EOF π∠=， 取EF 的中点G ，连结OG ，
∴2()()()PE PF PO OE PO OF PO PO OE OF OE OF =++=⋅+⋅+⋅+⋅
2122
PO PO OG =+⋅-
当2
PO ，PO OG ⋅分别取最大值时，PE PF ⋅取得最大值，
∴当点P 运动到三角形的顶点，且顶点与O 的连线垂直于EF 时，2PO ，PO OG ⋅分别取最大值时， ∴max 111()4222
PE PF =+-
=⋅. 故选：B.
【点睛】本题考查向量加法几何意义、向量数量积的运算、向量夹角运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量(2,1),(,4)a b x ==，若a b ⊥，则x 的值为______．
【答案】2- 【解析】 【分析】
根据向量垂直，数量积为0直接计算，即可得答案； 【详解】
a b ⊥，∴02402a b x x ⋅=⇒+=⇒=-，
故答案为：2-
【点睛】本题考查向量垂直数量积为0的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14.若曲线2
3
y ax x
=+在点(1, 3)a +处的切线与直线30x y ++=平行，则a 的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】
对函数求导得2'
32y ax x
=-，进而得到'
(1)1y =-，解方程即可得到答案. 【详解】
2'32y ax x
=-
，∴'
(1)1y =-2311a a ⇒-=-⇒=， 故答案为：1.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 15.已知倾斜角为
4
π
的直线l 经过椭圆E 的左焦点，以E 的长轴为直径的圆与l 交于A ，B 两点，若弦长AB 等于E 的焦距，椭圆E 的离心率为_____．
【答案】3
【解析】 【分析】
根据圆的弦长公式等于2c 得到关于,a c 的方程，即可得答案；
【详解】设直线l 的方程为y x c =+，圆的半径为R ，圆心到直线的距离为
2d =
=，
∴223||22
c AB c a ===⇒=，
∴2233
e e =⇒=，
故答案为：
3
. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
16.如图，某景区有景点A ，B ，C ，D ．经测量得，6,
120BC km ABC =∠=，
sin ,14
BAC ∠=
60,ACD CD AC ︒
∠==，则AD =______km .现计划从景点B 处起始建造一条栈道BM ，并在M 处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A 、D 的视角120AMD ︒∠=.为了节约修建成本，栈道BM 长度的最小值为___________km ．
【答案】 (1). 67 (2). 103221 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理求得AC 的值，即可得答案； （2）设AMD
的
外心为O ，连接OC 交AD 于点1O ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆外一点到
圆上距离的最小值为点到圆心距离减去半径，利用余弦定理求得BO 的值，即可得答案；
【详解】（1）
sin120sin 321
67
AC BC AC BAC =⇒=⇒=∠， 60,ACD CD AC ︒∠==，∴ACD 为正三角形， ∴7AD =（2）设AMD 的外心为O ，连接OC 交AD 于点1O ， 则
2221sin120
AD
R R =⇒=
∴221
(37)21O O R =-=,11321674212O C O O OC =+==
∴BM 的最小值为221BO R BO -=-
21sin ,14BAC ∠=
∴
57cos 14
BAC ∠=
， ∴7sin sin(120)7
2115321
()142142ACB BAC ∠=∠+=-+⋅=
， ∴27cos ACB ∠=，
∴4
721c 3os cos()7212122617BCO ACB π∠⋅+-==∠=⋅，
222(421)620244
230111
6BO +-⋅⋅==⋅， ∴BM 的最小值为103221-，
故答案为：67；103221-.
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.在数列{}n a 中，25a =，且11,,n n a a +成等差数列． （1）求证：数列{}1n a -是等比数列；
（2）设{}n a 前n 项和为n S 求使得2log 10n S <成立的n 的最大值． 【答案】（1）见解析（2）8 【解析】 【分析】
（1）根据等差中项得121n n a a +=+，进而转化成
11
21
n n a a +-=-，即可得答案； （2）利用等比数列前n 项和公式进行求和，再解不等式，即可得答案； 【详解】（1）因为11,,n n a a +成等差数列，所以121n n a a +=+， 当1n =时，有12216a a =+=，得13a =，
所以()1121n n a a +-=-，又112a -=，所以
11
21
n n a a +-=-，
所以{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知{}1n a -是首项为2，公比为2的等比数列，
所以11222n n
n a --=⨯=，所以21n n a =+．
所以(
)(
)(
)()1
2
3
21212121n n S =++++++
++
()()123121222222212
n n n n n n +-=+++++=
+=+--，
所以2log 10n S <即110222n n ++-<， 因为(
)1
2
22(1)2210n n n n n +⎡⎤+--+--=+>⎣⎦
，所以数列{}1
22n n ++-为递增数列． 当9n =时，10102922+->，不满足，当8n =时，9102822+-<满足． 所以满足不等式2log 10n S <的最大的正整数n 的值为8．
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算，考查运算求解能力，化归与转化思想等.
18.在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆E 过点(0,1)F ，且与直线:1m y =-相切．动圆圆心E 的
轨迹记为C .
（1）求轨迹C 的方程；
（2）过点F 作斜率为(0)k k >的直线l 交C 于A ，B 两点，使得||8AB =，点Q 在m 上，且满足1QA QB ⋅=，求
QAB 的面积.
【答案】（1）2
4x y =（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的定义，即可得到轨迹C 的方程；
（2）依题意可设直线l 的方程为：()()()112201,,,,,,1y kx A x y B x y Q x =+-，根据1QA QB ⋅=可求得点
(1,1)Q -或(3,1)Q -，再分别计算三角形的面积即可.
【详解】（1）依题意：平面内动点E 到定点(0,1)F 和到定直线1y =-的距离相等，
根据抛物线的定义，曲线C 是以点F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 其方程为24x y =．
（2）依题意可设直线l 的方程为：()()()112201,,,,,,1y kx A x y B x y Q x =+-.
联立21
4y kx x y =+⎧⎪⎨=
⎪⎩
，得2
440x kx --=，得12124,4x x k x x +==-
由12||28AB y y =++=，得()2
12122426y y k x x k +=++=+=，
所以21k =，即1k =±，又由0k >，得1k =，
故：121212124,4,6,1x x x x y y y y +=⋅=-+=⋅=.
()()101202,1,,1,QA x x y QB x x y =-+=-+()2
12120012121QA QB x x x x x x y y y y ⋅=-++++++， 化简得：2
00430x x -+=，解得01x =或3，即(1,1)Q -或(3,1)Q -.
当Q 为(1,1)-时，点Q 到直线l 32
22
=， ∴13286222
QAB S ∆=⨯⨯=
当Q 为(3,1)-时，点Q 到直线l 52
22
=， ∴152810222
QAB S ∆=⨯⨯=.
【点睛】本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAD △为等边三角形，点E ，F 分
别为,PA CD 的中点．
（1）求证：//EF 平面PBC ；
（2）已知平面PAD ⊥平面ABCD ，过E ，F ，C 三点的平面将四棱锥P-ABCD 分成两部分，求这两部分体积的比．
【答案】（1）见解析（2）3
5
. 【解析】 【分析】
（1）如图，取PB 的中点G ，连接GC ，EG ，证明四边形EGCF 是平行四边形，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；
（2）如图，取PB 的中点G ，由（1）可知，//EG CD ，所以过, , E F C 的平面即为平面EGCD . 分别计算13P ECCD EGCD V PE S -=
⨯和1
3
P ABCD ABCD V PN S -=⨯⨯的值，再求比值即可得到答案. 【详解】（1）如图，取PB 的中点G ，连接GC ，EG .
E 是P A 的中点，//EG AB ∴，且1
2
EG AB =， 又正方形,
//,ABCD AB CD AB CD =，
//EG CD ∴，且1
2
EG CD =.
∵F 是CD 的中点，1
,//2
FC CD FC EG ∴=∴且FC EG =，
∴四边形EGCF 是平行四边形，//EF GC ∴
又GC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，//EF ∴平面PBC .
（2）如图，取PB 的中点G ，由（1）可知，//EG CD ，所以过, , E F C 的平面即为平面EGCD .
PAD ∆是等边三角形，E 是AP 中点，EP ED ∴⊥.
在正方形ABCD 中，AB AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，AB
平面ABCD ，
AB ∴⊥平面PAD ，∵由（1）可知//EG AB ，EG ∴⊥平面PAD ，
,,EP ED DE EG E PE ⊥⋂=∴⊥平面EGCD .
1
3
P EGCD EGCD V PE S -∴=⨯.
在四棱锥P EGCD -中，
⊥EG 平面PAD ，EG DE ∴⊥，
∴底面EGCD 为直角梯形，又∵底面边长为2，PAD △是等边三角形，
133
3,(12)322EGCD DE S ∴=∴=⨯+=
，又1PE =， 11333
13322
P ECCD EGCD V PE S -∴=⨯=⨯⨯=
. 取AD 的中点N ，连接PN .
PAD ∆是等边三角形，N 是AD 中点，NP AD ∴⊥.
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面,ABCD AD NP =⊂平面PAD
NP ∴⊥平面ABCD ，
1143
3433P ABCD ABCD V PN S -∴=⨯⨯==
所以
3
32843P EGCD
P ABCD
V V --==，所以被平面EFC 分成的两部分的体积比为3
5. 【点睛】本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．
20.某批库存零件在外包装上标有从1到N 的
连续自然数序号，总数N 未知，工作人员随机抽取了n 个零件，它们的序号从小到大依次为：12,
,,n x x x ⋯．现有两种方法对零件总数N 进行估计.
方法一：用样本的数字特征估计总体的数字特征，可以认为样本零件序号的中位数与总体序号的中位数近似相等，进而可以得到N 的估计值．
方法二：因为零件包装上的序号是连续的，所以抽出零件的序号12,,,n x x x ⋯相当于从区间[0,1]N +中随机抽取n 个整数，这n 个整数将区间[0,1]N +分为(1)n +个小区间：()()()1120,,,,,,1n x x x x N +．由于这
n 个数是随机抽取的，所以前n 个区间的平均长度n x n 与所有(1)n +个区间的平均长度11
N n ++近似相等，进而可以得到N 的估计值．
现工作人员随机抽取了31个零件，序号从小到大依次为：83、135、274、380、668、895、955、964、1113、1174、1210、1344、1387、1414、1502、1546、1689、1756、1865、1874、1880、1936、2005、2006、2065、2157、2220、2224、2396、2543、2791.
（1）请用上述两种方法分别估计这批零件的总数.（结果四舍五入保留整数）
（2）将第（1）问方法二估计的总数N 作为这批零件的总数，从中随机抽取100个零件测量其内径y （单位:mm ），绘制出频率分布直方图（如下图）.已知标准零件的内径为200mm ，将这100个零件的内径落入各组的频率视为这批零件内径分布的概率.其中内径长度最接近标准的720个零件为优等品，请求出优等品的内径范围（结果四舍五入保留整数）.
【答案】（1）3091，2880；（2）197203y ≤≤. 【解析】 【分析】
（1）方法一，31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为1
2
N +；方法二，抽取的31个零件将[0,1]N +划分为32个区间，平均长度为1
32
N +，列方程即可求得N 的值； （2）抽取的720件优等品占总数的720128804=，依题意得1
(200200)4
P m y m -≤≤+=，再根据频率分布直方图的面积为
1
4
，可计算m 的近似值，从而得到答案； 【详解】（1）方法一：31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为1
2
N +， 依题意得1
15462
N +=
，解得3091N =. 方法二：抽取的31个零件将[0,1]N +划分为32个区间，平均长度为
1
32
N +，前31个区间的平均长度为2791
31
， 依题意得12791
3231
N +=，解得2880N ≈. （2）抽取的720件优等品占总数的
720128804=，依题意得1
(200200)4
P m y m -≤≤+= 由频率分布直方图可知：
(190210)(0.0290.041)100.70.25P y ≤≤=+⨯=>，故010m <<，
则(200200)(0.0290.041)100.25P m y m m m -≤≤+=⨯+⨯⨯=， 解得3m ≈.故优等品的范围为197203y ≤≤.
因为205[197,203]∉，所以内径为205的零件不能作为优等品.
【点睛】本题考查频率分布直方图，样本数字特征估计总体数字特征等知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力，考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识． 21.已知函数2()cos f x ax x =-． （1）当1
2
a =
时，求函数()f x 的极值点；
（2）若()f x 在区间33,22ππ-⎛⎫
⎪⎝⎭内有且仅有4个零点的充要条件为(,)a N M ∈，求证：M N -<． 【答案】（1）极小值点0x =，无极大值点.（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）将12
a =
代入解析式得21()cos 2f x x x =-，再进行求导得()sin f x x x '
=+，利用导数研究导数等于0
的方程的根，即可得答案；
（2）当0x =时，()0f x ≠，故2cos 33()0,,22x f x a x x ππ⎡⎤
=⇔=
∈-⎢⎥⎣⎦
且0x ≠ ， 令2
cos ()x h x x =，则243sin 2cos 1()(sin 2cos )x x x x h x x x x x x '
---⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
，对区间分三种情况讨论，即0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，3,
2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
分别研究在各个区间内零点的个数，从而得到()030,2
M h N h x π
⎛⎫
===
⎪⎝⎭
，再利用导数研究()0N h x =的取值范围，即可证得结论； 【详解】（1）
211
()cos ,()sin 22
a f x x x f x x x '=
∴=-∴=+，(0)0f '=， 当(0,1]x ∈时，0,
sin 0,()0x x f x '>>∴>，当(1,)x ∈+∞时，()sin 1sin 0f x x x x '=+>+≥.
∴当0x >时，()0f x '>，又
()sin ()f x x x f x ''-=--=-，
()f x '∴是奇函数，∴当0x <时，()0f x '<.
∴综上，当0x <时，()0,()f x y f x '
<=单调递减；当0x >时，()0,()f x y f x '
>=单调递增； 因此0x =为函数()y f x =的极小值点，无极大值点. （2）当0x =时，()0f x ≠，故2cos 33()0,,22x f x a x x ππ⎡⎤
=⇔=
∈-⎢⎥⎣⎦
且0x ≠
令2cos ()x h x x =，则243sin 2cos 1()(sin 2cos )x x x x h x x x x x x '
---⎛⎫=
=+ ⎪⎝⎭
， 1°当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0,
()h x y h x '
<=单调递减，当0,(),02x h x h π⎛⎫
→→+∞= ⎪⎝⎭
；
2°当,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，令()sin 2cos x x x x ϕ=+，则()cos sin 0,()x x x x y x ϕϕ'=-<=单调递减，又
0,()2022ππϕϕπ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，故存在0,2
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭使得()00x ϕ=，即当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
()0,()0x h x ϕ'><，()y h x =单调递减；当()0,x x π∈时，()0,()0,()x h x y h x ϕ'<>=单调递增；
3°当3,
2x π
π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，()0,()h x y h x '
>=单调递增；
综上可知：()y h x =在()00,x 上单调递减，在03,
2
x π⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增. 由于()y h x =为偶函数，只需函数()y h x =与y a =在30,
2
π⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个交点. ()()0033(0),0,0,0,0,222h h h x h M h N h x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
→+∞=<=∴=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
以下估计()0N h x =的范围：
()0
000000
2cos 0,sin 2cos 0,sin x x x x x x x ϕ=∴+=∴=-
，
()22000002
0000cos sin 1cos 11
cos 4cos 4cos 4cos x x x h x x x x x x ⎛⎫-∴====- ⎪⎝⎭
0033320,,
,cos 1,4
44x x π
ππϕπ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=->∴∈∴∈-
⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ∴令0cos 1,2t x ⎛=∈-- ⎝⎭，则()0
0011
11cos 4cos 4N h x x t x t ⎛⎫⎛⎫==
-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 11
4y t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在1,2t ⎛∈-- ⎝⎭
单调递减，14282y t ⎛∴>=-=- ⎝⎭⎝⎭， ()088
N h x M N ∴=>-
∴-<
，结论得证.
【点睛】本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4−4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x =-，曲线C 的方程为22(1)1x y -+=，动点P 到原点O 的距离与到l 的距离相等．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程和P 点轨迹的极坐标方程； （2）若Q 是曲线C 上一点，且4OP OQ =，求||OP ． 【答案】（1）2cos ρθ=，2
1cos ρθ
=-.（2）4
【解析】 【分析】
（1）利用222
,cos x y x ρρθ=+=，代入圆的方程2220x y x +-=，即可得到圆的极坐标方程；对点P
在y 轴右侧时，P 在y 轴，y 轴左侧时，三种情况进行讨论，均可得到2
1cos ρθ
=
-；
（2）因为4OP OQ =，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=，求出cos θ的值，即可得答案； 【详解】（1）由22(1)1x y -+=得，22
20x y x +-=.
因为222
,cos x y x ρρθ=+=，所以2cos ρθ=，即为C 的极坐标方程.
当P 在y 轴右侧时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，作y 轴的垂线，垂足为N ，设l 与x 轴的交点为R ， 因为点P 到原点距离与到l 距离相等，所以||||||||||OP PN MR OR OM ===+. 在RT OPM 中，||||cos cos OM OP θρθ==，所以2cos ρρθ=+.
因为0θ≠，所以2
1cos ρθ
=
-.
当P 在y 轴或y 轴左侧时，满足2
1cos ρθ=
-.
综上，P 点轨迹的极坐标方程为2
1cos ρθ
=
-. （2）因为4OP OQ =，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=.
又122,2cos 1cos ρρθθ=
=-，所以2
8cos 1cos θθ
=-，
解得1cos 2
θ=，所以
2
||4
112
OP ==-. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．
[选修4−5：不等式选讲]
23.已知函数||||||fx x a x b x c =+++++ （1）若,,0,(0)1a b c f >=，证明：13
ab bc ac ++≤
； （2）若1a b ==，对于任意的(,1],()4x f x ∈-∞-≥恒成立，求c 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）3c ≤-或5c ≥. 【解析】 【分析】
（1）根据(0)1f a b c =++=，两边平方后，再利用基本不等式，即可证明结论；
（2）当1a b ==时，()2|1|||f x x x c =+++，因为对于任意的(,1],()4x f x ∈-∞-≥恒成立，所以取
(1)|1|4f c -=-+≥可求得3c ≤-或5c ≥，再进一步验证3c ≤-或5c ≥使命题成立.
【详解】（1）由已知得，(0)||||||1f a b c a b c =++-=++= 所以2
2
2
2
()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++
()()()2222221
2222a b b c a c ab bc ac
⎡⎤=
++++++++⎣
⎦1
(222)2223()2
ab bc ac ab bc ac ab bc ac ≥+++++=++， 所以1
3ab bc ac ++≤.
（2）当1a b ==时，()2|1|||f x x x c =+++，
因为对于任意的(,1],()4x f x ∈-∞-≥恒成立，
所以(1)|1|4f c -=-+≥，解得3c ≤-或5c ≥.
①当3c ≤-时，()2|1|||-(3 2)f x x x c x c =+++=++在(,1]x ∈-∞-为减函数， 所以min ()(1)14f x f c =-=-≥，即3c ≤-.
②当5c ≥时，2,1
()21(32),x c c x f x x x c x c x c
--+-<≤-⎧=+++=⎨
-++≤-⎩在(,1]x ∈-∞-为减函数， 所以min ()(1)14f x f c =-=-≥，即5c ≥. 综上所述，3c ≤-或5c ≥.
【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法．。