人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》检测题(包含答案解析)(1)

一、填空题
1．直线l ：240x y +-=与椭圆C ：22416+=x y 交于A ，B 两点，则弦长
AB =___________.
2．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某
一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．
3．已知双曲线M ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，
使得经过点T 所作的圆()2
2x c y a -+=的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是________．
4．设双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.
5．设12,F F 分别是椭圆22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为
()6,4，则1PM PF +的最大值为________．
6．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于
P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.
7．设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 作C 的一条渐近线的垂线垂足为
A ，且||2||OA AF =，O 为坐标原点，则C 的离心率为_________．
8．若点(,)x y 在双曲线2
214
x
y -=上，则232x y -的最小值是____________．
9．在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上第一象限内的一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若1FR =，则直线PF 的斜率为______.
10．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点为()3,0F ，且离心率为35，ABC 的
三个顶点都在椭圆C 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0．O 为坐标原点，若直
线OD OE OM 、、的斜率之和为1.则123
111
k k k +
+=________.
11．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P
使12PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______.
12．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆
C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF 、||AB 、2AF 成等差数列，则C 的离心率为___________．
13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点
A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.
二、解答题
14．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的焦距为23，点()0,2P 关于直线y x =-的对
称点在椭圆E 上.
（1）求椭圆E 的方程.
（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.
15．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的一个焦点为1(1,0)F -，上顶点到这个焦点的
距离为2.
（1）求椭圆C 的标准方程
（2）若点T 在圆22
2x y +=上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆
C 于B （异于点A ），使得14
()7
OT OA OB =
+成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
16．已知A ，B 分别为椭圆22
22:+=1(>>0)x y E a b a b
的左右项点，G 为E 的上顶点，直线
AG ，BG 的斜率之积为34-
，且点3
(1,)2
P 在椭圆上． （1）求椭圆E 的方程；
（2）过点(1,0)F 的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，交直线=4x 点Q ．设直线,,PC PD PQ
的斜率分别为123,,.k k k 问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在，说明理由．
17．已知()2,0A -，()2,0B ，直线AM ，BM 相交于点M .且它们的斜率之积是3. （1）求点M 的轨迹C 的方程.
（2）过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点,P Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由.
18．已知抛物线1C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线1C 交于A ，
B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=且弦AB 的中点到准线的距离为4．
（1）求曲线1C 的方程；
（2）设离心率为3
且长轴为4的椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b +=>>．又椭圆2
C 与过点()1,0Q -且斜率存在的直线l '相交于M ，N 两点，已知4
5
MON
S =
，O 为坐标原点，求直线l '的方程．
19．过双曲线22
142
x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.
（1）求双曲线的离心率和渐近线；
（2）求AB 的长.
20．对于椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，
PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是
00221x x y y
a b
+=，可利用此结论解答下列问题．
已知椭圆C ：22
143
x y +=和点(4,)()P t t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，
B ，记点A ，B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2d ．
（1）当3t =时，求线段AB 的长；
（2
）求
12
||
AB d d +的最大值． 21
．如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆相交
于A 、B 两点.
（1）若0
1260AF F ∠=，且 120
AF AF ⋅=求椭圆的离心率. （2）若2,1a b =
=，求22F A F B ⋅的最大值和最小值.
22．已知P 为抛物线y =14
x 2
上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，求|PA |+|PM |的最小值
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的焦点为()0,3-、()
0,3，实轴长为
22.
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程及弦MN 的长.
24．如图，已知圆221:(22)48O x y ++=，点2(22,0)O ，P 是圆1O 上的一动点，N 是1PO 上一点，M 是平面内一点，满足2PM MO =，20NM PO ⋅=．
（1）求点N 轨迹Γ的方程；
（2）若,,(3,)(0)A B Q t t >均为轨迹Γ上的点，且以AB 为直径的圆过Q ，求证：直线
AB 过定点．
25．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
，短轴长为
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2
2
8
9
x y +=
上，直线AM 与椭圆交于另一点B ，且AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程.
26．已知圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，过(,0)(02)A n n <<的直线l 与
椭圆C 相交于P ，Q 两点，当1n =，l x ⊥轴时，||PQ =
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若l 不垂直于坐标轴，且在x 轴上存在一点(,0)B m ，使得PBA QBA ∠=∠成立，求m 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、填空题
1．【分析】将直线与椭圆方程联立根据韦达定理确定根与系数关系再利用弦长公式求得弦长【详解】由直线：与椭圆：交于两点设得弦长故答案为：【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时要注意：(1)注意观察应用题设中的每
解析：【分析】
将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理确定根与系数关系，再利用弦长公式
AB =求得弦长.
【详解】
由直线l ：240x y +-=与椭圆C ：2
2
416+=x y 交于A ，B 两点 设11(,)A x y ，22(,)B x y
22
240
416
x y x y +-=⎧⎨+=⎩得240x x -= 12124,0x x x x +=⋅=
弦长AB =
==.
故答案为：
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
2．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几 解析：13
【分析】
设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】
取PQ 的中点为B ，因为0
60PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设
OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，
所以23231313PQ m b
k c a e a
=
==⇒=⇒=. 故答案为：13.
【点睛】
方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和c
e a
=
转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
3．【分析】要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有而焦点到双曲线渐近线的距离为故利用双曲线的离心率的计算公式解答【详解】解：∵所以离心率圆是以为圆心半径的圆要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直必有 解析：(
3
要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，必有2TF a =，而焦点(),0F c 到双曲
线渐近线的距离为b ，故2TF a b =≥，利用双曲线的离心率的计算公式解答．
【详解】
解：∵0b >，0a >，所以离心率1c e a ==>， 圆()2
2x c y a -+=是以(),0F c 为圆心，半径r a =的圆，
要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直，
必有TF =，而焦点(),0F c 到双曲线渐近线的距离为b ，
所以TF b =
≥，
即b a c e a ==，所以双曲线M 的离心率的取值范围是(
．
故答案为：(
． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．
4．【分析】利用双曲线的定义可求得再由结合可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】由双曲线的定义可得又则所以因此双曲线的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接 解析：(]1,3
【分析】
利用双曲线的定义可求得22PF a =，再由2PF c a ≥-结合1e >可求得双曲线C 的离心率e 的取值范围. 【详解】
由双曲线的定义可得1222222PF PF PF PF PF a -=-==， 又22PF a c a =≥-，则3c a ≤，
1e >，所以，13e <≤.
因此，双曲线C 的离心率e 的取值范围是(]1,3. 故答案为：(]1,3. 【点睛】
求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a 、b 、c 的齐次关系式，将b 用a 、c 表示，转化为e 的关系式，进而求解．
5．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思
解析：15 【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】
由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，
()221222||||210||10103415
PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=++=，
则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答 解析：
7
4
【分析】
取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32
a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率 的值. 【详解】
取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，
由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，
180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，
||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=
，所以32
a PF =， 在PFF '中，
22
22
2
2
2914||||58144cos 32332222
a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，
解得：e =
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=
，所以32
a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
7．【分析】由已知求出渐近线的斜率得结合转化后可求得离心率【详解】由题意可得渐近线方程为∴故故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的离心率解题关键是列出关于的一个等式本题中利用直角三角形中正切函数定义可得
【分析】
由已知求出渐近线的斜率，得b
a
，结合222c a b -=转化后可求得离心率． 【详解】
由题意可得||||1
tan ||2||2
AF AF AOF OA AF ∠===， 渐近线方程为b
y x a
=
， ∴12b a =，2
2
2
222222544
a a c a
b e a a a ++====
，故e =
． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得．
8．【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到再由二次函数的性质得到结果【详解】点在双曲线上故进而得到：二次函数对称轴为结合二次函数图像及性质可知最小值为时对应的值为故答案为【点睛】这个题目考查了双曲线的 解析：
143
12
【分析】
根据点在曲线上可以二元化一元得到(
)2
2
2
32314212212x y y y y
y -=+⨯-=-+再由
二次函数的性质得到结果. 【详解】
点(),x y 在双曲线22
14x y -=上，故2214
x y =+，
进而得到：(
)2
2
2
32314212212x y y
y y
y -=+⨯-=-+，二次函数对称轴为1
12
y =
，结合二次函数图像及性质可知最小值为1
12y =
时对应的值为
14312
. 故答案为
143
12
. 【点睛】
这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，根据点在曲线上可以二元化一元，最终转化为二次函数求最值的问题，结合图像性质即可得到结果.
9．【分析】根据题意画出示意图由几何关系证得是等边三角形后即可求解【详解】解:根据题意作示意图如下图所示：记与轴的交点为则且由几何关系可证过点作的垂线可知其垂足就为点且可得是等边三角形由几何关系可得：所
【分析】
根据题意画出示意图，由几何关系证得PQF ∆是等边三角形后，即可求解. 【详解】
解:根据题意，作示意图如下图所示：
22y x =，1,02F ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，记l 与x 轴的交点为H ，则1FH =，
1FR =，且由几何关系可证PMN FNR ∆≅∆1PM FR ⇒==，
∴过点F 作PQ 的垂线，可知其垂足就为点M ，且可得||||FQ PF PQ ==，
PQF ∴∆是等边三角形，由几何关系可得：3
PFR QPF π
∠=∠=
，
所以直线PF 的斜率为33
tan PFR tan π
∠==
3【点睛】
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
10．【分析】求出椭圆标准方程设用点差法求出同理有利用直线的斜率之和为1可得结论【详解】由得∴椭圆标准方程为设在椭圆上椭圆方程为则两式相减得∴即同理已知∴故答案为：【点睛】本题考查求椭圆标准方程考查圆锥曲 解析：2516
-
【分析】
求出椭圆标准方程，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)D s t E s t M s t ， 用点差法求出116125OD
k k =-⋅，同理有23,k k ，利用直线OD OE OM 、、的斜率之和为1可得结论． 【详解】
3c =，由35
c a =得5a =，∴4b =，椭圆标准方程为22
12516x y +=，
设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，112233(,),(,),(,)D s t E s t M s t ，
,A B 在椭圆上，椭圆方程为221625400x y +=．
则2
21
1
1625400x y +=，222
2
1625400x y +=，两式相减得，1212
1212
1625y y x x x x y y -+=-⋅-+， ∴12121112121
16162525y y x x s
k x x y y t -+==-⋅=-⋅-+，即111125251616OD t k k s =-⋅=-，
同理
212516OE k k =-，3125
16
OM k k =-， 已知1OD OE OM k k k ++=，∴12311125
16
k k k ++=-． 故答案为：25
16
-． 【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查圆锥曲线中的点差法，利用点差法可圆锥曲线弦所在直线斜率与弦中点坐标建立关系．
11．【分析】由椭圆的定义可得解得由椭圆的性质可得解不等式求得离心率的取值范围【详解】设点的横坐标为则由椭圆的定义可得由题意可得则该椭圆的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及简单性质
解析：)
1,1
【分析】
由椭圆的定义可得22
()()a a e x e e x c c +=⨯-，解得(1)c a x e e -=+，由椭圆的性质可得
(1)
c a
a
a e e --+，解不等式求得离心率e 的取值范围．
【详解】
设点P 的横坐标为x ，
12PF e PF =，
则由椭圆的定义可得22
()()a a e x e e x c c +=⨯-，
(1)c a x e e -∴=+，由题意可得
(1)c a a a e e --+， 1
1
1(1)
e e e -∴-+，
∴22
11e e e e e e
⎧--⎨
-+⎩，∴11e
<， 则该椭圆的离心率e 的取值范围是1，1)，
故答案为：1，1)． 【点睛】
本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得
22
()()a a e x e e x c c
+=⨯-，是解题的关键．
12．【分析】由已知设据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a 由勾股定理可得选项【详解】由已知设所以根据勾股定理有解得；由椭圆定义知所以的周长为4a 所以有；在直角中由勾股定理∴离心率故答案为：【点睛】本题考
解析：
2
【分析】
由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，据勾股定理有3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，由勾股定理，2224a c =，可得选项. 【详解】
由已知，设2BF x =，||AB x d =+，22AF x d =+，所以根据勾股定理有
()
()2
2
2+2++x d x x d =，解得3x d =；
由椭圆定义知1212++2AF AF BF BF a ==，所以2ABF 的周长为4a ，所以有3a d =，
21BF a BF ==；
在直角2BF F △中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2
e =．
故答案为：2
. 【点睛】
本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.
13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线
解析：
15
- 【分析】
过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线
l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出
答案. 【详解】
如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，
过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，
过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则12465
5
FH --=
=
, 当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为165
FH =， 此时，m n +取得最小值
65
15
-. 故答案为：
65
1-.
【点睛】
本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
二、解答题
14．（1）2
214
x y +=；（2）1.
【分析】
（1
）根据椭圆的焦距为
c =
()0,2P 关于直线y x =-的对称点
在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.
（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点
O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】
（1）因为椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>
的焦距为
2c ∴=
c =
()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，
()2,0∴-在椭圆E 上，
2a ∴=， 2221b a c ∴=-=，
2
214
x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，
联立方程组可得22
214
y mx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 消y 可得(
)2
2
1416120m
x
mx +++=，
2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，
21614C D m x x m ∴+=-
+，2
12
14C D
x x m =+，
2
14CD m
∴==+， ∴点O 到直线
CD 的距离d =
2
14214COD
S CD d m
∴=⋅=⨯+△， 设214m t +=，则4t >
，
COD
S ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1. 【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应
点的直线的距离，得到含参数的△OMN的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值．
15．（1
）
22
1 43
x
y
+=；（2）存在满足条件的直线l，方程为
3
(2)
2
y x
=±- .
【分析】
（1）求出,,
a b c后可得椭圆方程.
（2）设直线l的方程为(2)
y k x
=-，联立直线方程和椭圆方程后可用k表示B，从而可用k表示T，利用T在圆上可求k的值，从而得到所求的直线方程.
【详解】
解：（1）
由椭圆的一个焦点为1(1,0)
F-知：1
c=，
因为上顶点到这个焦点的距离为2，故2
a=，所以3
b=，
∴所求椭圆C的标准方程为221
43
x y
+=；
（Ⅱ）
假设存在过点A的直线l符合题意，则结合图形易判断直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为(2)
y k x
=-，
由
22
1
43
(2)
x y
y k x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，得()2222
341616120
k x k x k
+-+-= .（*）
∵点A是直线l与椭圆C的一个交点，则2
A
x=，
∴221612
34A B k x x k -⋅=+，∴228634B k x k -=+，∴21234B
k y k =-+， 即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭，(2,0)OA =， ∴2221612,3434k k OA OB k k ⎛⎫
+=- ⎪++⎝⎭， 即222
141612,3434k k OT k k ⎫=-⎪++⎝⎭
∵点T 在圆222x y +=上.
∴2
2
22221612273434k k k k ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
+-=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
， 化简得
42488210k k --=，解得2
34k =
，∴
，2
k =±， 经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意， 故存在满足条件的直线l ，其方程为2)y x =-. 【点睛】
方法点睛：（1）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定；
（2）直线与椭圆的位置关系中，如果动直线与椭圆交于交于一个定点，那么可以用动直线的斜率表示另一个交点，从而可简化运算.
16．（1）22
143
x y +=；（2）存在实数2λ=.
【分析】
（1）由椭圆方程确定A ，B ，G 的坐标，再由已知条件有2219134
4AG BG a b k k +⎧
⋅=-⎪⎪⎨=⎪⎪⎩即可求得
2a ，2b ，写出椭圆E 的方程；
（2）由题意有直线l 的方程为(1)y k x =-，联立椭圆方程、设11(,)C x y ，22(,)D x y ，
()4,3Q k ，结合根与系数关系有12x x +，12x x ⋅，由斜率的两点公式可证1232k k k +=，
即可确定λ的值； 【详解】
解：（1）由题意，(),0A a -，(),0B a ，()0,G b ，
22
34
1914AG BG a b b b k k a a ⎧
⋅=⋅=-⎪⎪-⎨
+=⎪⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆E 的方程为：22143
x y +=．
（2）存在实数2λ=满足题意；由（1）知椭圆E 的方程：22
34120x y +-=，
直线l 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程并整理，得2223484120()k x k x k +-+-=，
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，()4,3Q k 则有2122834k
x x k +=+，2
12241234k x x k
-⋅=+， ()()12121212123333
1122221111
y y k x k x k k x x x x -
-----+=
+=+----2
2122
2121222
82233342241282()12131234k x x k k k k k x x x x k k
-+-+=-⋅=-⋅-⋅-++-+-+22
2
22
386822412834k k k k k k
--=-⋅--++21k =-， 33
32222141
k k k -
=⋅
=--，即1232k k k +=， 故存在实数2λ=满足题意． 【点睛】
关键点点睛：由直线斜率关系，椭圆过定点，应用待定系数法求2a ，2b ，写出椭圆E 的方程；根据直线与椭圆关系，联立方程由根与系数关系有12x x +，12x x ⋅，再由斜率的两点公式确定123,,k k k 的数量关系.
17．（1）22
1(2)412
x y x -=≠±；（2）不能，理由见解析.
【分析】
（1）设出点(),M x y ，利用斜率之积即可求出轨迹方程； （2）设出()()1122,,,P x y Q x y ，利用点差法可求出. 【详解】
（1）设(),M x y ，2x ≠±，
02AM y k x -=
+，0
2
BM y k x -=-， 3AM BM k k ⋅=，即
00
322
y y x x --⋅=+-，
整理得：()2
2
3122x y x -=≠±，
即轨迹C 方程为：22
1(2)412
x y x -=≠±；
（2）显然直线m 的斜率存在，设为k ，
设()()1122,,,P x y Q x y ，
则22
1122
2214121
412
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得()()()()121212120412x x x x y y y y -+-+-=，
整理可得1212
1212
3y y x x x x y y -+=⨯-+，
N 是线段PQ 的中点，∴
12124
326
y y x x -=⨯=-，即2k =， 故直线m 的方程为()322y x -=-，即210x y --=，
将直线代入双曲线可得24130x x -+=，()2
44130∆=--⨯<，此时直线与双曲线不相交.
故不能作出这样的直线. 【点睛】
方法点睛：解决中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 18．（1）24y x =（2）10x y ±+=． 【分析】
（1）由题意联立直线方程与抛物线方程，结合题意和韦达定理求得p 的值即可确定曲线方程；
（2）首先确定曲线2C 的方程，设直线l '的方程为1x my =-，然后连线直线和椭圆方程，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程求得m 的值即可确定直线方程． 【详解】 （1）由已知得(
,0)2p F ，设直线l 的方程为2
p
y x =-， ∴22
230242p y x p x px y px
⎧
=-⎪⇒-+
=⎨⎪=⎩， 123x x p ∴+=，
又因为126x x +=， 所以2p =，
∴曲线1C 的方程为24y x =．
（2）由已知得2a =
，c =
1b ∴=，
∴曲线2C 的方程为2214
x y +=， 设直线l '的方程为1x my =-，
则2
2221
(4)2304
1x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩
， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，3434
2223
,44
m y y y y m m +=
=-⋅++，
∴3411||22OMN
S y y =⨯⨯-==△， 因为4
5
MON
S
=
所以42471101m m m +-=⇒=±，
∴直线l '的方程为10x y ±+=．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查抛物线方程的求解，椭圆方程的确定，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，关键在于联立椭圆方程，由韦达定理及三角形面积公式可得出m ,求出直线方程，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 19．（1
）e =
，渐近线方程为2
y x
=±；（2）207. 【分析】
（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；
（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理得
1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长．
【详解】
解：（1）因为双曲线方程为22
142
x y -=，
所以2a =
，b =
则c == 所以62c
e
a ，渐近线方程为2
y x =±.
（2）双曲线右焦点为
0)，则直线l 的方程为2(y x =
代入双曲线22
142
x y -=
中，化简可得27520x -+=
设()11,A x y ，()22,B x y
所以127
x x +=
，12527x x ⋅=，
所以2120
||||7
AB x x =-==. 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +
，然后由弦长公式
12d x =-求出弦长．
20．（1）247；（2
． 【分析】
（1）由已知结论求出直线AB 的方程，联立方程，得韦达定理，利用弦长公式即可求得
AB 的长；（2）将12
||
AB d d +表示为关于t 的函数，再利用换元法与分离常数法两种方法分
别求出最值. 【详解】 （1）解
当3t =时，直线AB 方程为1x y +=，联立，得27880x x --=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则128
7x x +=
，1287
x x =-
．则
1224
||7
AB x =-==
． （2）解 直线AB ：13t x y +
=，即13t
x y =-+，直线OP ：4
t y x =． 设()11,A x y ，()22,B x y
，则12||AB y y =-，
12d d +=
=
=
记12
||AB m d d =
+，则12
||AB m d d ==+，
接下来介绍求最值的不同方法． 法1：常规换元法
令212s t =+，12s ≥，则
2
22
222
(3)(4)12121114949
112244848
s s s s m s s s s s -++-⎛⎫===-++=--+≤ ⎪⎝⎭
m ≤
，当24s
即t =±12
||AB d d +
的最大值是12． 法2：分离常数法
422
2
424
2
2514412414424144
t t t m t t t t ++==+++++，显然0t =时不取得最大值，
则
22
2
149
111444824m t t
=+
≤+
=++
，m ≤
当t =±12||AB d d +
．
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．（1
1；（2）最大值7
2
；最小值1-. 【分析】
（1）因为在焦点三角形12AF F 中，120
AF AF ⋅=，则12AF AF ⊥，又因为01260AF F ∠=
，所以12,AF c AF ==
，所以
1212212F F c c e a a AF AF =====+，
（2
）若1a b =
=，则1c =，12(1,0),(1,0)F F -，当AB 垂直于x 轴时，可求出,A B
两点的坐标，从而可得22F A F B ⋅的值，当AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立成方程组，消去y 后，整理再利用韦达定
理得2122
412k x x k
+=-+, 21222(1)
12k x x k -⋅=+，从而可得22F A F B ⋅=
2227179
1222(12)
k k k -=-++，进而可求出其取值范围 【详解】 （1）
120AF AF ⋅=，12AF AF ∴⊥
因为1260AF F ∠=。

所以2130AF F ∠=︒，
所以12,AF c AF ==，
所以1212212F F c c e a a AF AF =
====+ （2
）由于1a b =
=，得1c =，则12(1,0),(1,0)F F -.
①若AB 垂直于x
轴，则((1,A B --， 所以222(2,
),(2,)22
F A F B =-=--， 所以2217
422
F A F B ⋅=-
= ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+
由22
(1)
220
y k x x y =+⎧⎨+-=⎩ 得 2222(12)42(1)0k x k x k +++-= 2880k ∆=+>，∴方程有两个不等的实数根.
设11(,)A x y ，22(,)B x y .2122
412k x x k
+=-+, 21222(1)
12k x x k -⋅=+ 211222(1,),(1,)F A x y F B x y ∴=-=-
22212121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)
F A F B x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++
222
22
22
2(1)4(1)(1)()11212k k k k k k k
-=++--++++ =22271791222(12)k k k -=-++
222
1
0,121,0112k k k
≥+≥<
≤+ 227[1,]2F A F B ∴⋅∈-，所以当直线l 垂于x 轴时，22F A F B ⋅取得最大值7
2
当直线l 与x 轴重合时，22F A F B ⋅取得最小值1- 【点睛】
关键点点睛：此题考查由焦点三角形三边关系求椭圆方程，考查椭圆与向量相结合求最值
问题，解题的关键是将利用韦达定理求出2122
412k x x k +=-+, 21222(1)
12k x x k -⋅=+，然后将
22F A F B ⋅用含k 的式子表示出来，即22F A F B ⋅=
2227179
1222(12)
k k k -=-++，再利用不等式的性质可求出其取值范围，考查计算能力，属于中档题
22．51-
【分析】
根据抛物线标准方程有焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，根据抛物线定义
||||||||1PA PM PA PF +=+-，结合三角形三边的性质即可求||||PA PM +最小值.
【详解】
抛物线标准形式为2
4x y =，则焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，
延长PM 交准线于N ，连PF ，由抛物线定义知：
||||||||1||||1PA PM PA PN PA PF +=+-=+-，而在△PFA 中，||||||PA PF AF +>，
∴仅当F 、P 、A 共线时，||||||5PA PF AF +==为最小值， ∴此时||||51PA PM +=为最小值. 【点睛】
关键点点睛：由抛物线的定义将问题转化为求||||||||1PA PM PA PF +=+-最小值，由三角形三边的性质知：三点共线时||||PA PF +有最小值.
23．（1）2
2:12
y C x -=；（2）210x y --=30
【分析】
（1）根据题意可得,,a b c ，进而可得双曲线方程；
（2）先根据点差法求直线方程，再根据弦长公式即可求出． 【详解】
解：（1）根据题意，焦点在y 轴上，且3c =
2a =1b =，
双曲线的标准方程为2
2:12
y C x -=；
（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且Q 恰好为线段MN 的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，则由双曲线对称性可知线段MN 的中点在x 轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为()11y k x =-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则()22
1112
y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，化简可得()()
2222
222210k x k k x k k ---+--=， 因为有两个交点，所以(
)()2
2
222242210k k k k k ⎡⎤∆=----->⎣⎦
化简可得22210k k -->恒成立，
21222
122222,212k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪-∴⎨--⎪=⎪-⎩
因为()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，则22
2222
k k k -=-，
化简可得2k =，
所以直线方程为()211y x =⨯-+，即210x y --=.
此时1212212x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
∴MN ===． 【点睛】
关于圆锥曲线的中点弦问题：
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法主要是点差法，设而不求，得到结果．
24．（1）22
1124
x y +=（2）见解析
【分析】
（1）根据向量的知识证明2NP NO =
，从而得出21NO NO +=，再由椭圆的定义证明N 点的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，从而得出方程；
（2）求出点Q 的坐标，当直线AB 的斜率存在时，联立椭圆以及直线AB 的方程，由韦达定理结合0AQ BQ ⋅=得出,k b 的关系，借助直线的知识得出定点；当直线AB 的斜率不存在时，由0AQ BQ ⋅=以及椭圆方程得出AB 的直线方程，从而求出定点. 【详解】 （1）
22,0PM MO NM PO =⋅=。