本溪市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文

辽宁省本溪市2017—2018学年高二数学上学期期末考试试题 文
考试时间：120分钟 满分:150分
说明：1.考试前，考生务必按要求在答题卡和答题纸上正确填涂考生信息；
2.第I 卷为选择题，请用2B 铅笔将答案涂在答题卡上，写在试卷上的答案无效；
3.第II 卷为主观题，请用黑色字迹钢笔或签字笔书写在答题纸指定区域，写在试卷上的答案无效;
4。

考试结束后,请交回答题卡和答题纸.
第I 卷（选择题60分）
一、选择题（共12小题,每小题5分，共 60 分。

）
1。

已知复数z 满足2zi i ⋅=-，则z =（ ）
A 。

12i --
B. 12i - C 。

12i -+ D. 12i +
2.命题“∃ EMBED Equation.DSMT4 x Z ∈，使2
20x x m ++≤”的否定是
( )
A ．∃ EMBED Equation.DSMT4 x Z ∈，使2
20x x m ++>
B ．Z x ∉∃，使2
20x x m ++> C ．Z x ∈∀，都有2
20x x m ++≤ D ．Z x ∈∀，都有
220x x m ++>
3.已知平面向量a ，b 满足()5aab ⋅+=
，且2a =,1b =，则向量a 与b 夹角的正切值为（ ）
A. B.
C.
D.
-
4．已知s i n 2c o s αα=,则
sin(2)2π
α+=（ ）
A ．
35
-
B ． 45
-
C ．
D ．
5．已知{}n
a 为等差数列，9,1056
425
31=++=++a a a a a a .以n
S 表
示{}n a 的前n 项和，则使得n
S 达到最大值的n 是（ )
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
6.若抛物线x y 42
=上一点P 到x 轴的距离为32，则点P
到抛物线的焦点F 的距离为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7.已知向量),(y x a = ,若实数x ,y 满足50
3x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则a
的最
大值是（ ） A.43
B.3
2
C.522
D.
73
8．设P
在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上，F 1，F 2 是该双
曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90°,且F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9.己知60π
-
=x 是函数()s i n (2)f x x ϕ=+的一个极小值点，则()f x 的一个单调递减区间是（ )
A ．⎪
⎭⎫ ⎝⎛3465ππ，
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛653ππ，
C ．⎪
⎭⎫ ⎝⎛ππ，2
D ．⎪⎭⎫
⎝⎛ππ，
32
10.设0,0a b >>,若
3是33a b 与的等比中项，则11
a b
+
的最小
值为（ ）
A. B 。

1 C. 4 D. 8 11。

知是双曲线22:1
24x y C -=的一条渐近线,P
是上的
一点，1
2
,F F 是C 的两个焦点，若1
2
0P FP F ⋅=，则P 到x
轴的距离为（ ）
A 。

B 。

C 。

2
D 。

12。

设定义在R 上的偶函数()y f x =满足：对任意x R ∈,都有
()(2)
fx f x =-，
(]
0,1x ∈时
()x
x
f x e =
，若
20152016,35a f b f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20177c f ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，则a
b c 、、三者的大小关系是 （ ）
A 。

c b a >>
B 。

c a b >>
C 。

a b c >>
D 。

b c a >>
第II 卷 （非选择题90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分。

）
13.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为2
2
(13s i n)4ρθ+=,则曲
线C 的普通方程为_________。

14。

设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，则4
S ，8
4
S S -，12
8
S S
-，16
12
S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比
数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T ,______,________T
T
成等比
数列．
15.1F 是椭圆22
195x y +=的左焦点，P
是椭圆上的动点,(1,1)
A 为定点，则1
P A P F
+的最小值是 。

16.在ABC ∆中，D 是BC 的中点，已知90B A D C ∠+∠=，则
ABC ∆的形状是 ．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

) 17.（本小题满分10分）
在A B C ∆中，角,,A BC
的对边分别为,,a b c ，满足(2)c o s c o s b c A a C -=． (1）求角A 的大小；
（2）若2,4a b c =+=，求A B C ∆的面积．
18. (本小题满分12分)
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A,B 两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各20名随机抽取学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”。

(1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90％的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．
2
2
()
()()()()na d b c K a b c d a c b d -=
++++
P(（K 2≥k ）
0.25 0。

15 0。

05 0。

025
k 1。

323 2。

072 2.706 3.841 5.024
19.(本小题满分12分）
已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若函数x x y 22-=在n
a x =处的切线斜率为n
S ，数列{}n
b ，
满足点()()*
∈N n b n n
,在直线x y =上。

（1）
分别求{}n
a ,{}n
b 的通项公式； （2）求数列{}n
n b a 的前n 项和n
T 。

20.
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥EA B C D -中，A ED E ⊥，C D ⊥平面A
D E , A B ⊥平面A D E ， 6C D D A ==，2A B =，3D E =。

（1）求证:平面A C E EMBED Equation.DSMT4 ⊥平面C D E ；
（2)在线段DE 上是否存在一点F ,使//A
F 平面B C E ？若存在，
求出E F
E D 的值;若不存在，说明理由.
21.
（本小题满分12分)
已知椭圆()01:2
222>>=+b a b y
a x C 的短轴长为
2,离心率为
36
(1）求椭圆C 的方程； (2)设过定点)2,0(T
的直线l 与（1)中的椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AO ∠
为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．
22。

（本小题满分12分）
已知函数()()2
21l n f x x m x m x =+--。

（1）当1m =时,求曲线()y f x =的极值;
（2）求函数()f x 的单调区间;
（3)若对任意()2,3m ∈及[]1,3x ∈时,恒有()1m t f x -<成立,求实
数的取值范围；
试题答案
一、
选择题：
二、
13。

142
2=+y x
14. 8
12
48,T T T T 15.
26-
16。

等腰或直角三角形 三、解答题：
17。

（本小题满分10分)
解：(1）由(2)c o s c o s b c A a C -=及正弦定理，得
(2s i n s i n )c o s s i n c o s B C A A C -=
2s i n c o s s i n c o s s i n c o s B A C A A C ∴=+ 2s i n c o s s i n ()s i n B A C A B ∴=+=
(0,)B π∈ s i n 0B ∴≠ 1
co s 2A ∴=
(0,)A π∈
3A π∴=
…………………………………………5分
（2)解:由(I ）得
3
A π=
，由余弦定理得
2222
42c o s 3b c b c b c b c
π
=+-=+-
2
()34,4b c b c b c ∴+-=+=
4b c ∴=
所以
A B C
∆的面积为
11
s i n 22A B C
S b c A ∆==⨯分
18。

（本小题满分12分）
解:（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A ． 从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86,93)，（86，96)，（86,97)，(86，99）（86，99），
(93，96），（93,97），（93,99）,（93，99）,（96,97），(96，99），（96，99）,（97，99）,（97，99），(99，99），共15个，…………………（4分） 而事件A 包含基本事件：（93，96)，(93,97），（93，99)，(93,99），（96,97)，（96，99），(96,99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个 所以所求概率为P （A)== …………………6分
根据2×2列联表中数据,K 2=≈3。

137＞2.706
所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方
式有关． ………………12分
19.
(本小题满分12分）
解：（1）x x y 22
-= ，22-='∴x y
n
n
S
a =-∴22
()2
22
1
1≥=---n S a n n ()2
21
≥=∴-n a a n n
当211==a n 时，，{}为公为首是以221
=∴a a n 。

甲班
（A
方
式）
乙班（B 方
式）
总计
成绩优秀 1 5 6 成绩不
优秀 19 15 34
总计 20 20 40
()*
∈=∴N n a n n
2
，由条件知
{}n b b n
n
=是等差数列， …………………6分
（2） n
n
n n
n b a c 2==令 (利用错位相减法求和）
()2211
+-=∴+n n
n T (12)
20．（本小题满分12分）
（1）证明：因为 C D ⊥平面A D E ，A E ⊂平面A
D E ，所以C D A E ⊥.
又因为A ED E ⊥，C D D ED =，所以A E ⊥平面C D E 。

又因为A E ⊂平面A C E ,所以平面A C E EMBED Equation.DSMT4 ⊥平
面C D E . …………………6分
（2）结论：在线段DE 上存在一点F ，且13
E F
E D =
,使//A
F 平面B C E 。

解：设F 为线段DE 上一点， 且13
E F
E D
=
，
过点F 作//F M C D 交C E 于M ,则1
=
3F M C D
.
因为C D ⊥平面A D E ,A B ⊥平面A D E ,所以//C DA B 。

又因为3C D A B =，所以M FA B =，//F M A B ,
所以四边形A B M F 是平行四边形，则//A F B M .
又因为A F ⊄平面B C E ，B M ⊂平面B C E , 所以//A F 平面B C E 。

………………12分
21.(本小题满分12分)
解:（Ⅰ）由已知得 2b=2，36=
a c ,解得a=3,b=1
∴椭圆
C 的方程为132
2
=+y x 。

.。

..。

..。

3分
（Ⅱ）直线l 方程为2+=kx y ，将其代入1
32
2
=+y x ，
化简得0912)31(2
2=+++kx x k ，
A
B
C
E
D F F M
设),(1
1
y x A 、),(2
2
y x B
0)31(36)12(22>+⨯-=∆∴k k ，12>⇒k ，
且22
1221319,3112k x x k kx x x +=+-=+， (6)
分
AO ∠ 为锐
角,0>⋅∴OB OA ， (7)
分
即02
12
1>+y y x x ，⇒ EMBED Equation.3 0)2)(2(2
1
2
1>+++kx kx x x , 04)(2)1(2
12
12
>++++∴x x k x x k ．
将2
21221319
,3112k x x k kx x x +=+-=+代入上式,
化简得0313132
2
>+-k k
，
313
2<
⇒k ． (11)
分
由
1
2>k 且
3
13
2<
k ,得
)
339
,1()1,339( --∈k ． (12)
分
22。

（本小题满分12分） (1）极小值为13
l n224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2)
分
（2）
()()()2
221'221x mxm m
f x x m x x +--=+--=,令()'0f x
=可得121
,2x x m =
=-。

①当0m ≥时,由()'0f x
<可得()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减,由
()'0
f x >可得
()f x 在1,2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增。

学必求其心得，业必贵于专精
11
②当
1
02
m -<<时,由()'0f x
<可得()f x 在
1,2m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭上单调递
减，由()'0
f x >可得
()f x 得在()0,m -和
1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.
③当
12
m =-
时,由
()2
122'0x f x x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
=≥可得()f x 在()0
,+∞上单调递增. ④当
1
2
m <-
时，由()'0f x
<可得()f x 在1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递
减，由()'0f x
>可得()f x 得在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
和(),m -
+∞上单调递增。

…………………… 7分
（3）由题意可知，对()[]2,3,1,3m x ∀∈∈时，恒有()1m
t f x -<成立,等价于()m i n
1m t f x -<,
由（2）知，当()2,3m ∈时,()f x 在[]1,3上单调递增，()()m i n
12f x f m ∴==，所以原题等价于()2,3m ∀
∈时,恒有12m t m -<成立,即
1
2t m
<+。

在()2,3m ∈时，由
715232m <+<，故
当7
3
t ≤时，12m t m -<恒成立，
7
3
t ∴≤。

……………………
12分。