高中数学选修2-1课后限时练习28 空间向量与立体几何检测卷

高中数学选修2－1课后限时练习28 空间向量与立体几何检测卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设点M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，若OM →＝AB →
，则点B 应为( ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1)
C ．(1，－3,3)
D ．(－9，－1，－1)
解析：∵OM →＝AB →＝OB →－OA →，∴OB →＝OM →＋OA →
＝(5，－1，2)＋(4,2，－1)＝(9,1,1)． 答案：B
2．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．2
D ．±1
解析：由已知，得a ＝(2，－1,1)，b ＝(1,1，－3)， ∴a ·b ＝2×1－1×1＋1×(－3)＝－2. 答案：A
3．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个命题： ①a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3
b 3
；
②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量； ③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：①中当b 1，b 2，b 3有等于0的值时，不成立．②中|a |＝3≠1，是假命题．③是真命题． 答案：B
4．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AB →＋12BC →＋12
BD →
等于( )
A ．AD →
B ．F A →
C ．AF →
D ．EF →
解析：AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋12
×2BF →＝AF →
.
答案：C
5．若a ＝(2,2,0)，b ＝(1,3，z )，〈a ，b 〉＝π
3，则z ＝( )
A ．22
B ．－22
C ．±22
D ．±42
解析：∵a ·b ＝2×1＋2×3＋0×z ＝8，|a |＝22，|b |＝10＋z 2，又〈a ，b 〉＝π3，∴cos π3＝
8
22×10＋z 2＝1
2
，即42＝10＋z 2，解得z ＝±22. 答案：C
6．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，AB →·AC →＝3－8＋5＝0，∴AB →⊥AC →
，即AB ⊥AC ， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：C
7．已知向量n ＝(2,0,1)为平面α的一个法向量，点A (－1，2,1)在α内，则P (1,2，－2)到α的距离为( )
A ．
5
10
B ．
55
C ． 5
D ．25
解析：AP →＝(2,0，－3)，AP →
·n ＝1，|n |＝5，则点P 到α的距离为d ＝|AP →
·n ||n |＝15＝55.
答案：B
8．已知点A (－3,4,3)，O 为坐标原点，则OA 与坐标平面yOz 所成角的正切值为( ) A ．3
4
B ．35
C ．53
D ．1
解析：A (－3,4,3)在平面yOz 上的射影为B (0,4,3)，且|OB |＝02＋42＋32＝5，|AB |＝3，设OA 与平面yOz 所成的角为θ，则tan θ＝|AB ||OB |＝3
5
.
答案：B
9．两平行平面α，β分别经过原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )
A ．32
B ．
22
C ． 3
D ．32
解析：两平面的一个单位法向量n 0＝⎝
⎛⎭⎫－
22，0，
22，故两平面间的距离为d ＝|OA →
·n 0|＝⎪
⎪⎪⎪－2＋22＝
2
2
. 答案：B
10．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，
则异面直线AB 1与A 1M 所成的角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：建立空间直角坐标系C －xyz 如图，
则A (3，0,0)，B 1(0,1，6)，A 1(3，0，6)，M ⎝
⎛⎭
⎫0，0，
62. 于是AB 1→＝(－3，1, 6)，A 1M →
＝⎝⎛⎭⎫－3，0，－62.
∵A 1M →·AB 1→
＝3＋0－3＝0，
∴A 1M →⊥AB 1→
.∴异面直线AB 1与A 1M 垂直． 答案：D
11．已知E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成角的正弦值为( )
A ．
26
B ．36
C ．13
D ．
66
解析：
建立空间直角坐标系O 1－xyz 如图所示．
设正方体的棱长为2，则D 1(0,0,0)，E (2,2,1)，F (1,0,2)．
则EF →＝(－1，－2,1)，易知平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝C 1A 1→
＝(1，－1,0)，设直线EF 与平面BDD 1B 1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈EF →
，n 〉|＝|EF →·n ||EF →||n |＝16×2＝36.
答案：B
12．空间中有四点A ，B ，C ，D ，其中AB →＝(2m ，m,2)，CD →＝(m ，m ＋1，－5)，且AB →＋CD →
＝⎝⎛⎭⎫5，133，－3，则直线AB 与CD ( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．垂直
解析：∵AB →＋CD →
＝(3m,2m ＋1，－3)＝⎝⎛⎭⎫5，133，－3， ∴3m ＝5，且2m ＋1＝133，∴m ＝5
3.
从而AB →
＝⎝⎛⎭⎫103，53，2，CD →＝⎝⎛⎭⎫53，83，－5. ∵AB →·CD →＝103×53＋53×8
3－2×5＝0，
∴AB →⊥CD →. 答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若向量a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,3)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＋c ＝(2,2,6)，又a ＝(2，－3,1)， ∴a ·(b ＋c )＝2×2＋2×(－3)＋6×1＝4. 答案：4
14．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．
解析：设C 的坐标为(a,0，b )，∵A ，B ，C 三点共线，又AB →＝(1,3，－4)，AC →
＝(a －1,2，b －3)． ∴
a －11＝23＝
b －3－4，∴a ＝53，b ＝1
3
.
∴C 的坐标为⎝⎛⎭⎫53，0，13. 答案：⎝⎛⎭⎫53
，0，13 15．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →
取得最小值时，点Q 的坐标为________．
解析：因为点Q 在直线OP 上，所以OQ →∥OP →，设OQ →＝λOP →
＝λ(1,1,2)＝(λ，λ，2λ)， 即Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以QA →·QB →
＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23
. 故当λ＝43时，QA →·QB →
取得最小值，此时点Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：⎝⎛⎭⎫43，43，83
16．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →
＝(－1,2，－1)，对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →
是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是________．
解析：∵AB →＝(2，－1，－4)，AD →
＝(4,2,0)， AP →
＝(－1,2，－1)，
∴AP →·AB →
＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， ∴AP ⊥AB ，故①正确；
∵AP →·AD →
＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0， ∴AP ⊥AD ，故②正确；
由①②知，AP →
是平面ABCD 的法向量，故③正确； ∵BD ⊂平面ABCD ，∴AP ⊥BD ，故④不正确． 答案：①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →
⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝2(1，－3,2)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， ∴|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.
(2)设存在t ，使OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →
＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，
若OE →⊥b ，则OE →
·b ＝0，
∴－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 即5t ＝9，∴t ＝9
5
.
∴存在点E ，使得OE →
⊥b ，此时点E 的坐标为－65，－145，25
.
18．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，P A 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值． 解： (1)建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示．
∵∠ADC ＝∠DAB ＝90°， AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)， B (2,4,0)．
由PD ⊥平面ABCD ，得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角，∴∠P AD ＝60°.在Rt △P AD 中，PD ＝AD tan 60°＝2 3.
∴P (0,0,23)．
(2)∵P A →＝(2,0，－23)，BC →
＝(－2，－3,0)． ∴P A →·BC →＝－4＋0＋0＝－4，|P A →|＝4，|BC →
|＝13， ∴cos 〈P A →，BC →
〉＝－44×13＝－1313.
∴异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值为
13
13
. 19．(12分) 如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
(1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值． 解：(1)证明：如图，连接B 1C ，ME .
因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME ＝1
2
B 1
C .
又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝1
2A 1D .
由题设知A 1B 1═∥ DC ， 可得B 1C ═∥A 1D ， 故ME ═∥ND ，
因此四边形MNDE 为平行四边形， 所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .
(2)由已知，可得DE ⊥DA .以D 为坐标原点，DA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，
则A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，M (1，3，2)，N (1,0,2)，A 1A →＝(0,0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →
＝(－1,0，－2)，MN →
＝(0，－3，0)．
设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·A 1M →＝0，
m ·A 1A →＝0，
所以⎩
⎨⎧
－x ＋3y －2z ＝0，
－4z ＝0，可取m ＝(3，1,0)．
设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，
所以⎩⎨⎧
－3q ＝0，－p －2r ＝0，
可取n ＝(2,0，－1)．
于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155，
所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为
10
5
. 20．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，BD ＝23，且AC ，BD 交于点O ，E 是PB 上任意一点．
(1)求证：AC ⊥DE ；
(2)若E 为PB 的中点，且二面角A －PB －D 的余弦值为21
7
，求EC 与平面P AB 所成角θ的正弦值． 解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AC ， 因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ， 又BD ∩PD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD ， 因为DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE . (2)连接OE ，在△PBD 中，EO ∥PD ，
所以EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，
设PD ＝t ，(t >0)，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，t
2，P (0，－3，t )． 设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·AB →＝－x ＋3y ＝0，m ·AP →＝－x －3y ＋tz ＝0，
令y ＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎫3，1，23t ，
平面PBD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 因为二面角A －PB －D 的余弦值为217
， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝
34＋12t
2
＝
217
， 所以t ＝2或t ＝－2(舍)，
则P (0，－3，2)，E (0,0,1)，m ＝(3，1，3)，EC →
＝(－1,0，－1)， 所以sin θ＝|cos 〈EC →
，m 〉|＝|－3－3|7×2＝427，
所以EC 与平面P AB 所成角θ的正弦值为
427
. 21．(12分)如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .
(1)求证：AD ⊥BM ；
(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E －AM －D 的余弦值为25
5.
解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，∴AM ＝BM ＝2， 则AM ⊥BM .
∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面ADM .
∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM .
(2)取AM 中点O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABCM ，
以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，则平面ADM 的一个法向量为m ＝(0,1,0)．
设DE →＝λDB →(0<λ<1)，ME →＝MD →＋λDB →＝(1－λ，2λ，1－λ)，AM →
＝(－2,0,0)．
设平面AME 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AM →＝－2x ＝0，n ·ME →＝(1－λ)x ＋2λy ＋(1－λ)z ＝0，
取y ＝1，得n ＝⎝⎛⎭
⎫0，1，2λλ－1.
由cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝255，解得λ＝1
5.
∴点E 在BD 上靠近D 点的1
5
处．
22．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵
上异于C ，D 的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 解：(1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD . ∵BC ⊥CD ，CD ⊂平面CMD ， ∴BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .
∵M 为CD ︵
上异于C ，D 的点，且DC 为直径， ∴DM ⊥CM .
∵BC ∩CM ＝C ，∴DM ⊥平面BMC ， ∵DM ⊂平面AMD ，∴平面AMD ⊥平面BMC .
(2)以D 为坐标原点，DA →
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .
当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为CD ︵
的中点． 由题设得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (0,1,1)， 则AM →＝(－2,1,1)，AB →＝(0,2,0)，DA →
＝(2,0,0)． 设平面MAB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0. 令x ＝1，得n ＝(1,0,2)．
又DA →是平面MCD 的一个法向量，
∴cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA →|n ||DA →|＝55， ∴sin 〈n ，DA →〉＝255
. ∴平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是255
.。