2019-2020学年高考数学第一轮复习 函数性质(2)学案.doc

2019-2020学年高考数学第一轮复习 函数性质（2）学案
1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( D ).
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<< 答案 D
解析 因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得
)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.
2.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意
的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->. 则当*
n N ∈时,有
( C )
(A)()(1)(1)f n f n f n -<-<+ B.(1)()(1)f n f n f n -<-<+ C. C.(1)()(1)f n f n f n +<-<- D.(1)(1)()f n f n f n +<-<-
答案 C
3.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)25
(f 的值是 ( A )
A. 0
B. 21
C. 1
D. 2
5
答案 A
121221212121,(,0]()()(()())0()()()(,0]()()(0](1)()(1)(1)()(1)
x x x x x x f x f x x x f x f x f x f x f x f n f n f n f n f n f n ∈-∞≠⇒-->⇔>>⇔-∞⇒+∞∴+<<-⇒+<-<-解析：时，在为增函数为偶函数在，为减函数
而n+1>n>n-1>0,
解析 若x ≠0，则有)(1)1(x f x x x f +=
+，取2
1
-=x ，则有： )21()21()21(2
121
1)121()21(f f f f f -=--=---
=
+-=（∵)(x f 是偶函数，则)2
1
()21(f f =- ）
由此得0)2
1
(=f 于是，
0)21(5)21(]2
1211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+
=+==+=
+=f f f f f f f 4.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程
f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则
1234_________.x x x x +++=
答案 -8
解析 因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知
(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,
所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以1234
x x x x +++=-
【命题立意】:对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,
运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
5.函数)(x f y =的定义域是()+∞∞-,，若对于任意的正数a ，函数
)()()(x f a x f x g -+=都是其定义域上的增函数，则函数)(x f y =的图象可能是
( A )
6.给出定义：若2
1
21+≤<-
m x m (其中m 为整数)，
则m 叫做离实数x 最近的整数，记作}{x ，即m x =}{. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，2
1
]； ②函数)(x f y =的图像关于直线)(2
Z k k
x ∈=
对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； ④ 函数)(x f y =在⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-2
1,21上是增函数；
则其中真命题是__ ．答案 ①②③
7.设a 为常数，2
()43f x x x =-+.若函数()f x a +为偶函数，则a =__________；
(())f f a =_______.答案 2,8 8.已知32()f x ax bx cx =++在区间[01]，
上是增函数，在区间(0)(1)-+，，，∞∞上是减函数，又13
22
f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．
8.（Ⅰ）2
()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，
即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032
c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
．
2()33f x ax ax '∴=-，1333
2422
a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．
（Ⅱ）令()f x x ≤，即3
2
230x x x -+-≤，
(21)(1)0x x x ∴--≥，1
02
x ∴≤≤或1x ≥．
又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，102
m ∴<≤
． 9设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；
（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围
：(1)取m=0，n=
12则11(0)()(0)22f f f +=，因为1
()02
f > 所以(0)1f = (2)设0x <则0x -> 由条件可知()f x o ->
又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=->，所以()0f x > ∴R x ∈时，恒有0)(>x f （3）设12x x <则
121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x --
因为12x x <所以210x x ->所以21()1f x x -<即211()0f x x --> 又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x --> 所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数.
(4) 因为()(2)1f x f x ⋅->，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f ⋅-=->
所以220x x -<，所以20x x x ><的范围为或
10.设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数n m ,，总有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

（1）证明：1)0(=f ，且0<x 时1)(>x f （2）证明：函数在R 上单调递减
（3）设{}
)1()()(|),(2
2
f y f x f y x A >={}R a y ax f y x B ∈=+-=,1)2(|),(，若
Φ=⋂B A ，确定a 的取值范围。

（1）解：令0=n ，则)0()()0(f m f m f =+，对于任意实数m 恒成立，1)0(=∴f 设0<x ，则0>-x ，由1)()())((=-=-+x f x f x x f 得)
(1)(x f x f -=
，
当0>x 时，1)(1,
1)(0><<x f x f ∴当0<x 时, 0>-x ,1)
(1
)(>-=x f x f （2）证法一：设21x x <，则012>-x x ，
)()()[()(1121122x f x x f x x x f x f -=+-=1)(001212<-<∴>-x x f x x
∴),()()(1112x f x f x x f <-)()(21x f x f >∴,函数为减函数
证法二：设21x x <，则])[()()()(112121x x x f x f x f x f +--=-
-=)(1x f )()(112x f x x f -=)(1x f )](1[12x x f --
1)(001212<-<∴>-x x f x x ,0)(,0)](1[112>>--∴x f x x f
故=-)()(21x f x f )(1x f 0)](1[12>--x x f )()(21x f x f >∴,函数为减函数
（3）解：∵)1()()(22f y f x f >，1)2(=+-y ax f ∴02,122=+-<+y ax y x 若Φ=⋂B A ，则圆心)0,0(到直线的距离应满足11
22
≥+=
a d ，解之得
32≤a ，33≤≤-∴a
11.已知定义在R 上的函数满足：，当x ＜0时，。

（1）求证：为奇函数；（2）求证：为R 上的增函数； （3）解关于x 的不等式：。

（其中且a 为常数） 解：（1）由，令，得： ，即
再令，即，得：
是奇函数………………4分 （2）设，且，则 由已知得：
即在R 上是增函数………………8分 （3） 即
当，即时，不等式解集为 当，即时，不等式解集为
当，即时，不等式解集为………………13分 12.设函数()1
1
ax f x x -=
+，其中a R ∈ （1）解不等式()1f x ≤-
（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。

解：（1）不等式()1f x ≤-即为
()11
1011
a x ax x x +-≤-⇔≤++ 当1a <-时，不等式解集为()[),10,-∞-+∞
当1a =-时，不等式解集为()(),11,-∞--+∞
当1a >-时，不等式解集为(]1,0- （2）在()0,+∞上任取12x x <，则
()()()()()()
12121212121111111a x x ax ax f x f x x x x x +----=
-=
++++ 12121200,10,10x x x x x x <<∴-<+>+>
所以要使()f x 在()0,+∞递减即()()120f x f x ->，只要10a +<即1a <- 故当1a <-时，()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数。

13.设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上，只有0)3()1(==f f ． （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005
[-上的根的个数，并证明你的结论． 【答案】
解：（Ⅰ）∵)2()2(x f x f +=-， ∴)52()32(+=-f f
即 )5()1(f f =-，
∵在［0，7］上，只有0)3()1(==f f ， ∴0)5(≠f ，∴)1()1(f f ≠-， ∴)(x f 是非奇非偶函数．
（Ⅱ）由)2()2(x f x f +=-，令2-=x x ，得 )4()(x f x f -=，
由)7()7(x f x f +=-，令3+=x x ，得 )10()4(x f x f +=-, ∴)10()(x f x f +=，
∴)(x f 是以10为周期的周期函数，
由)7()7(x f x f +=-得，)(x f 的图象关于7=x 对称， ∴在［0，11］上，只有0)3()1(==f f ， ∴10是)(x f 的最小正周期，
∵在［0，10］上，只有0)3()1(==f f ， ∴在每一个最小正周期内0)(=x f 只有两个根，
∴在闭区间]2005,2005
[-上的根的个数是802．。