2020届山东省青岛二中高三上学期10月月考数学试题

2019-2020学年山东省青岛二中高三(上)10月月考数学试卷
一､选择题
1. 已知集合{}10A x x =+＞，{}2log 1B x x =＜
，则=A B （ ） A. {}12x x -＜＜ B. {}1x x -＞ C. {}11x x -＜＜ D. {}02x x ＜＜
D
先化简两个集合，再取交集.
因为{}1A x x =-＞，{}02B x x =＜＜， 所以{}02A B x x ⋂=＜＜.故选：D.
2. 已知函数()2
2f x x x m =-+.若:p ()f x 有零点，:01q m ≤＜，则（ ）
A. p 是q 的充分不必要条件
B. p 是q 的必要不充分条件
C. p 是q 的充要条件
D. p 是q 的不充分不必要条件
B
先化简:p 因为()2
2f x x x m =-+有零点，则440m ∆=-≥，即1m .，再由集合法判断.. 因为函数()2
2f x x x m =-+有零点
所以440m ∆=-≥， 即1m .
因为p 不能推出q ，但q 能够推出p . 所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B. 3. 若a 、b 不全为0，必须且只需( ) A. 0ab ≠
B. a 、b 中至多有一个不为0
C. a 、b 中只有一个为0
D. a 、b 中至少有一个不为0
D
本题首先可以通过题意中的“a 、b 不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果．
“a 、b 不全为0”包含三种情况，分别是“b 为0，a 不为0”、“b 不为0，a 为0”、“a 、
b 都不为0”，故a 、b 中至少有一个不为0，故选D ．
4. 设实数a ､b 满足log 2log 20b a ＜＜，则a a ，b a ，a b 的大小关系是（ ） A. a b a b a a ＞＞
B. a a b b a a ＞＞
C. a a b a b a ＞＞
D. a b a a a b ＞＞
B
先由log 2log 20b a ＜＜，确定01a b ＜＜＜
，得到x y a =在R 上是单调递减函数，可知a b a a ＞，再由a y x =在()0,+∞上单调递增，得到a a b a ＞，从而得到三个数的大小.. ∵实数a ､b 满足log 2log 20b a ＜＜，
∴01a b ＜＜＜
， ∴x y a =在R 上是单调递减函数， 故a b a a ＞，
∵a y x =在()0,+∞上单调递增， ∴a a b a ＞，
则a a ，b a ，a b 的大小关系为a a b b a a ＞＞，故选:：B. 5. 已知数列}{n a
满足11a ==，则10a =（ ） A. 10 B. 20
C. 100
D. 200
C
由题可得数列是以1为首相，1
为公差的等差数列，求出数列的通项公式，进而求
出10100a =
因为11a ==
，所以数列
是以1为首项，1为公差的等差数列
()111n n =+-⨯=
10=，则10100a =
6. 已知函数()ln f x x =满足()()2f a f a -＞，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2
C. ()2,3
D. ()1,3
A
根据题意可得 ()ln ,1
ln ,01x x f x x x ≥⎧=⎨-⎩＜＜，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
根据定义域可知，0
0220a a a ⎧⇒⎨
-⎩＞＜＜＞；所以再分①01a ＜＜，②当1a =③12a ＜＜进行讨论求解.
根据题意可得， ()ln ,1
ln ,01x x f x x x ≥⎧=⎨-⎩
＜＜，
∴()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
根据题意可知，0
0220a a a ⎧⇒⎨
-⎩
＞＜＜＞； ①当01a ＜＜时，21a -＞， ∵()()2f a f a -＞
∴()()ln ln 221a a a a --⇒-＞＜， 解得1a ≠；
01＜＜∴a ；
②当1a =时，()()2f a f a -=不符合题意（舎）；
③当12a ＜＜时，021a -＜＜ ∵()()2f a f a -＞ ∴()ln ln 2＞--a a ，
()21＞∴-a a 解得a ∈∅
综上，a 的取值范围为()0,1 .故选：:A. 7. 函数ln sin x
y x
=
的部分图象大致为（ ） A. B. C. D.
A 由函数
ln sin x y x
=
是奇函数，排除选项B ､D ，01x ＜＜时，
2sin cos ln sin cos ln 0
sin sin x
x x
x x x x x y x x x --'==＞，所以01x ＜＜
时，函数是增函数，排除选项C.得到结论.. 因为函数ln sin x
y x
=
是奇函数，排除选项B ､D ， 当01x ＜＜时， 2sin cos ln sin cos ln 0
sin sin x
x x
x x x x x y x x x
--'==＞， 所以01x ＜＜时，函数是增函数，排除选项C .故选：:A.
8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f -=，当0x <时，()()0xf x f x '+<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)
C. (,1)(1,0)-∞--
D. (0,1)(1,)⋃+∞
B
构造函数()()F x xf x =，先根据已知条件求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的图像和性质解不等式
()
0F x x
>得解. 构造函数()()F x xf x =，
因为()f x 为奇函数，所以()()F x xf x -=--=xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，
因为当0x <时，()()()'
00xf x f x F x +<'<，即，
()x 0F x 所以＜时，函数单调递减，x ＞0时，函数F(x)单调递增， 因为f(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1)=0.
因为f(x)＞0，所以()
0F x x
>， 所以00
()0()0x x F x F x ><⎧⎧⎨⎨><⎩⎩或，
所以x ＞1或-1＜x ＜0.故选B
9. 已知函数()313ln x
a f x x a
=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范
围是（ ）
A. ()20,11,e
e e
⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭
B. ()0,1
C. 2,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D. 21,e
e e
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D
根据函数()313ln x a f x x a
=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则()20'=-=x
f x x a .
在()0,+∞有两个不相等实根求解.
因为()313ln x
a f x x a
=-
所以()2x
f x x a '=-.
因为函数()313ln x
a f x x a
=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，
所以只需方程20x x a -=在()0,+∞有两个不相等实根. 即2ln ln x a x
=
， 令()2ln x
g x x =
，则()()2
21ln x g x x -'=
.()g x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减.其图象如下:
∴2ln 0,a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
∴21e
a a ＜＜ .故选：:D.
10. 对5,
66x ππ⎛
⎫
∀∈ ⎪⎝⎭
，
()(),sin x
m n m n x
∈<，则n m -的最小值为（ ） A. 2
2
π- B.
53
3
π- C.
43
π D.
6
π C
分析：求导，讨论函数的单调性，可得n m -的最小值.
详解：设()5,,,sin 66
x f x x x ππ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭
则()()2sin cos 5,,,66sin x x x f x x x ππ-⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
' 设 ()()()sin cos ,cos cos sin sin ,g x x x x g x x x x x x x =-=--=' 则()0g x '>在5,66x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上恒成
立，函数()sin cos g x x x x =-在5,
66
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，()sin cos 0.050,6666g x g ππππ⎛⎫>=-≈> ⎪⎝⎭ ()0f x '∴>在5,66x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上恒成立，即函数()sin x f x x =
在5,66x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，()()55,,663
3f f x f f x πππ
π⎛⎫⎛⎫<<∴<< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭则n m -的最小值为
43
π
.故选C. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和值域，属中档题 二､多选题
11. 已知函数()cos 2cos sin 2sin 02f x x x πϕϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫
⎪⎝⎭，则
下列说法正确的是（ ） A. 直线5
12
x π=
是函数()f x 的图象的一条对称轴 B. 函数()f x 在0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
C. 函数()f x 的图象向右平移6
π个单位可得到cos 2y x =的图象
D. 函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为1-
ABD
先将函数转化()()cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+，由其图象的一个对称中心为
,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，确定函数()cos 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，下面逐项验证.由55cos 2cos 112126f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，得到直线512x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，故A 正确；当0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
2,662x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，得到函数()f x 在0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故B 正确；函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到cos 2cos 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故C 错误；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，得到函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为cos 1π=-故D 正确. ∵()
()cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=-=+的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴cos 206πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
，则32k ππϕπ+=+，
∴6
k π
ϕπ=
+，k Z ∈.
∵02
π
ϕ＜＜，
∴6
π=
ϕ. 则()cos 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
∵55cos 2cos 112126f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯
+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴直线5
12
x π=
是函数()f x 的图象的一条对称轴，故A 正确； 当0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， ∴函数()f x 在0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故B 正确；
函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到cos 2cos 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故C 错误；
当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最小值为cos 1π=-，故D 正确.故选:：ABD.
12. 已知函数()f x 的定义域[]1,5-，部分对应值如表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所
示，下列关于函数()f x 的结论正确的是（ ）
x
1- 0 4 5 ()f x 1
2
2
1
A. 函数()f x 的极大值点有2个
B. 函数()f x 在[]0,2上是减函数
C. 若[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4
D. 当12a ＜＜时，函数()y f x a =-有4个零点 AB
观察()f x '的图象，有两个左负右正的不等零点故A 正确，函数()0f x '>在[]0,2成立，故B 正确，根据条件作出()f x 的图象判断C 错误，由()0y f x a =-=得()f x a =，利用数形结合法得到D 错误. 由()f x '的图象，
当10x -≤＜或24x ＜＜，()0f x '＞， 函数()f x 为增函数，
当02x ＜＜或44x ≤＜，()0f x '＜， 函数()f x 为减函数，
即当0x =时，函数()f x 取得极大值，当4x =时，函数()f x 取得极大值， 即函数()f x 有两个极大值点，故A 正确， 函数()f x 在[]0,2上是减函数，故B 正确， 作出()f x 的图象如图:
若[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，
则t 满足05t ≤≤，即t 的最大值是5，故C 错误， 由()0y f x a =-=得()f x a =，
若()21f ≤，当12a ＜＜时，()f x a =有四个根，
若()12f a ＜＜，当12a ＜＜时，()f x a =不一定有四个根，有可能是2个， 故函数()y f x a =-有4个零点不一定正确，故D 错误，
13. 已知函数()2
2cos 22f x x =-，下列命题中的
真命题有（ ）
A. R β∃∈，()f x β+为奇函数
B. 30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，()()2f x f x α=+对x ∈R 恒成立
C. 1x ∀，2x R ∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为
4
π D. 1x ∀，2x R ∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈ BC
先化简函数()2
2cos 22cos41f x x x =-=-；作出函数()cos 41f x x =-的图象，再逐项判断，；由
函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；
由()()2f x f x α=+，得()cos41cos 481x x α-=+-，
82k απ=，4k πα=，k Z ∈；又30,4πα⎛⎫
∃∈ ⎪⎝⎭
，
取4πα=或2
π
时成立B 正确； 由()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，得 12x x -的最小值为
22244T ππ==⨯，所以C 正确；当()()120f x f x ==时， ()12242
k x x kT k k Z ππ
-==⋅=∈，所以D 错误.
由题意()2
2cos 22cos41f x x x =-=-；
∵()cos 41f x x =-的
图象如图所示；
函数()f x β+的图象是()f x 的图象向左或向右平移β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误； 若 ()()
2f x f x α=+，
∴()cos41cos 481x x α-=+-， ∴82k απ=， ∴4
k π
α=
，k Z ∈； 又30,
4
π
α⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
， ∴取4πα=
或2
π
时， ∴()()2f x f x α=+对x ∈R 恒成立，故B 正确；
()()1212cos 4cos 42f x f x x x -=-=时，
12
x x -的
最小值为
22244
T ππ==⨯，故C 正确； 当()()120f x f x ==时， ()12242
k x x kT k k Z ππ-==⋅=∈ 故D 错误；故选:BC. 三､填空题
14. 已知1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
__________. 7
8
- 因为22cos 2cos 212sin 336πππααα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，再代入求解..
∵已知1
sin 64
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
所以2217cos 2cos 212sin 12336168πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=---=-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：7
8
-.
15. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 4a 7＝25，则log 5a 1+log 5a 2…+log 5a 10＝_____． 10
根据等比数列的等积性求解即可.
()()()5
51525951051210547547log log ...log log log ...log 5log 10a a a a a a a a a a a ++++====故答案为：10
16. 若0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，5
cos α
，则sin α=______，tan2α=_______.
(1).
2
3
(2). 通过平方和与商的关系即可得到答案.
由于0,
2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以2sin 3α==，sin tan cos ααα==，因此2
2tan tan 21tan ααα==-17. 已知5
sin cos 4
αα-=-，则cos2=α___________.
； 把已知式平方可求得sin cos αα，从而得sin 2α，再由平方关系可求得cos2α．
∵5
sin cos 4αα-=-，
∴225(sin cos )16αα-=
，即25
12sin cos 16
αα-=，
∴9
2sin cos 16
αα=-
，即9sin 216α=-,
∴cos 216
α===±
.
故答案为16
±
． 四､解答题
18. （1）计算：292225sin
cos tan 634
πππ
⎛⎫
++- ⎪⎝⎭
（2
）化简()
sin 501︒︒
+
（1）-1（2）1
（1）利用诱导公式求出每项的值，再进行加法运算可得出答案； （2）先将切化为弦，即sin10
tan10cos10
=
，通分后利用辅助角公式化简，结合诱导公式再化异角为同角，再利用二倍角公式计算化简计算可得出答案． （1）292225sin
cos tan 634
πππ
⎛⎫
++- ⎪⎝⎭
sin
cos
tan
634π
π
π
=--
11
1122
=--=-；
（2
）(
)
sin 501sin 50︒
︒
︒
= ()2sin 1030sin 50cos10
︒︒︒
︒
+=
2sin 40cos 40cos10︒︒
︒
= sin 801cos10
︒︒==． 19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24a =，2(1)n n S n a =+(*N n ∈). (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设2
(1)n n n
a b S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
(Ⅰ) 2n a n =； (Ⅱ) 2451
n n n
T n +=+
（Ⅰ）首先利用数列的递推关系式求出相邻项之间的关系，进一步利用累乘法求出数列的通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
（Ⅰ）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24a =，2(1)n n S n a =+(*N n ∈). 当2n =时，2223S a =，1222()3a a a ∴+=，1224a a ∴==，12a ∴=.
所以2(1)n n S n a =+，故()11211n n S n a --=+-，两式相减得12(1)n n n a n a na -=+-，
1(1)n n n a na -∴-=，11n n a n
a n -∴=-， 所以1
2112
112
2212
1
n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----∴=
⨯⨯⨯
⨯=⨯⨯⨯⨯=--，2n a n ∴=． （Ⅱ）由于2n a n =，所以()2
1n n
n
a b S +=
＝2441111
44(1)(1)1
n n n n n n n n ++=+=+-+++．
212111111454(1)41223
111n n n n
T b b b n n n n n n +∴=++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=
+++. 20. 已知函数()()4242x x f x sin sin x πππ⎛⎫⎛⎫
=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）将函数f （x ）的图象向右平移
2
π
个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，得到新的函数y ＝g （x ），当5012x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，求g （x ）的值域． （1）[66
522k k ππ
ππ-
++，]（k ∈Z ）．（2）[1-，2]． （1）化简()f x 可得：()32f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，利用复合函数的单调性及三角函数性质计算即可．
（2）由函数f （x ）的图象平移、伸缩可得新的函数：g （x ）622sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由5012x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，可
得：6
26
32x π
π
π-
≤-
≤
，利用三角函数性质可得：12126sin x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭，问题得解．
解：（1）函数()()4242x x f x sin sin x πππ⎛⎫⎛⎫
=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
2x sinx π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
sinx =+．
32sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
令：3
222
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤+
（k ∈Z ），
解得：52266
k x k ππ
ππ-
+≤≤+（k ∈Z ）， 所以函数的单调递增区间为：[66
522k k ππ
ππ-
++，]（k ∈Z ）． （2）将函数f （x ）的图象向右平移
2
π
个单位， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变， 得到：g （x ）622sin x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，
由于：5012x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，
所以：6
26
3
2x π
π
π-≤-
≤
， 所以：12126sin x π⎛
⎫-
≤-≤ ⎪⎝
⎭， 故：()12g x -≤≤．
故函数g （x ）的值域为：[1-，2]．
21. 已知函数()()121
2x x f x a R a
+-=∈+为奇函数.
（1）求实数a 的值并证明函数()f x 的单调性；
（2）解关于m 不等式:()()22
22f m f m m m +-≤--.
（1）2，证明见解析（2）21m -≤≤
（1）由函数()()121
2x x f x a R a
+-=∈+为奇函数，得()()0f x f x +-=，化简得
()()22220x x a --+-=，所以2a =，.再转化函数为()11221
x f x =
-+，由定义法证明单调性. （2）将()()2212f m f m m m +-≤--可化为()()22
22f m m f m m +≤-+-，构造函数
()()g x f x x =+，再由()()g x f x x =+在R 上是单调递增函数求解.
（1）根据题意，因为函数()()121
2x x f x a R a
+-=∈+为奇函数，
所以()()0f x f x +-=，
即1
12121
022x x x x a a
-+-+--+=++， 即
()()()()
()()
111
1
2
1221202
2
x
x x x x x a a a a -+-++-+-++-+=++，
即()()()()1
1212
2120x x x x a a -+-+-++-+=， 化简得()()22220x x
a --+-=，
所以2a =. 所以()11221
x f x =
-+， 证明：任取()12,,x x ∈-∞+∞且12x x ＜，
则()()()()1212212
1121
111112222122121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
因为12x x ＜，
所以1222x x ＜，12220x x -＜，1210x +＞，2210x +＞， 所以()()210f f x x -＜ ∴()()12f x f x ＜，
所以()f x 在R 上单调递增；
（2）()()2212f m f m m m +-≤--可化为()()22
22f m m f m m +≤-+-，
设函数()()g x f x x =+，
由(1)可知，()()g x f x x =+在R 上也是单调递增， 所以22m m ≤-， 即220m m +-≤， 解得21m -≤≤.
22. 10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
（Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为W 型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（III ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量（部）满足关系34ηξ=+.若表中W
型号手机销量的方差2
0(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2
S 的值.（用m 表示，结论不要求证明）
（I ）35
；（II ）见解析；(Ⅲ)29S m =
（Ⅰ）将从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T 型号手机”为1M ，记事件“乙手机为T 型号手机”为2M ，分别求出
()()12,P M P M 的值，根据相互独立事件的公式求出()12P M M ，最后利用对立事件概率公式求出抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；
（Ⅱ）由表可知：W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店共有2个，故X 的所有可能取值为：0，1，2，分别求出(0),(1),(2)P X P X P X ===的值，写出随机变量X 的分布列，并
根据数学期望计算公式求出()E X ；
（III ）根据方差的性质和变量的关系即可求出方差2S 的值.
（Ⅰ）将从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙， 记事件“甲手机为T 型号手机”为1M ，记事件“乙手机为T 型号手机”为2M ， 依题意，有()11226123
P M =
=+，()293
695P M =
=+，且事件1M 、2M 相互独立. 设“抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机”为事件M ，
则()12233
()11355
P M P M M =-=-⨯=
即抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为3
5
（Ⅱ）由表可知：W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店共有2个， 故X 的所有可能取值为：0，1，2
且0323351
(0)10C C P X C ===，1233253(1)5C C P X C ===，512233
3(2)10
C C P X C === 所以随机变量X 的分布列为：
故1336()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯= （III ）29S m =.
23. 已知函数g （x ）=x xe ，f （x ）=g'（x ）-2x e ax -（a 是常数）．若对∀a ∈R ，函数h （x ）=kx （k 是常数）图象与曲线y=f （x ）总相切于一个定点． （1）求k 的值；
（2）若对∀12x x ，∈（0，+∞），[f （1x ）-h （1x ）][f （2x ）-h （2x ）]＞0，求实数a 的取值范围．
(1) k=1 (2) （-∞，1]
（1）由函数()h x kx =的图像与曲线()y f x = 总相切于定点()()00,x f x 可知()'
0f x 的值是与a
无关的常数，即可求出0x ，再计算出切点坐标得出切线方程，从而得到k 的值；
（2）设()()()u x f x h x =-，由题可得()0(0)u x x >>恒成立或()0(0)u x x <>恒成立，化简可得
()1(0)x p x e ax x =--≥恒正或恒负，讨论a 的值，计算()p a 的最值进行判断
解：（1）由已知得()2x f x xe ax =-，()()'12x
f x x e ax =+-．
可设函数()h x kx =的图像与曲线()y f x = 总相切于定点()()00,x f x ,
可得()()0000'12x f x x e ax =+-，且()'0f x 的值是与a 无关的常数，因而0=0x ，()'
0=1f x ，进
而可求得切线方程为y x =，得()h x x =，所以1k =，
（2）因为()h x x =，所以可设()()()()(1)(0)x u x f x h x f x x x e ax x =-=-=-->,
可得题设即∀12(0,)x x ∈+∞，，12()()0u x u x >，则1()u x 与2()u x 同号，即()0(0)u x x >>恒成立或
()0(0)u x x <>恒成立．
设()1(0)x p x e ax x =--≥，可得()(0)x p x e a x '=-≥．
可得题设即：()(0)(0)p x p x <>恒成立或()(0)(0)p x p x >>恒成立；
①当1a ≤时，可得()(0)x p x e a x '=-≥，所以()p x 是增函数，此时满足题意， ②当1a >时，可得()p x 在(0,ln ),(ln ,)a a +∞上分别是减函数、增函数， 进而可得题设()(0)(0)p x p x <>恒成立．
取2()1(1)a p a e a a =-->，下面判断()p a 的正负：
设函数2()1(1)a q a e a a =-->，可得()2(1)a q a e a a '=->，()10(1)a q a e a ''=->>，()q a '是增函数，因而()(1)20(1)q a q e a ''>=->>，()q a 是增函数； 故()(1)20(1)q a q e a >=->>，∴()0(1)p a a >>， 说明1a >时不满足题意．
综上所述，可得所求实数a 的取值范围是(],1-∞．。