高等数学辅导资料一

高等数学辅导资料一

主 题：准备知识

学习时间:2014年9月29日—10月5日

内 容：

同学们在学习《高等数学》之前，要对初等数学的知识有一定的了解，因为它里面包含了很多公式、定理的运用。如基本初等函数及其计算公式会在高等数学中再次重述；常用几何公式、不等式会对求函数极限及微积分的学习有所帮助等等。这周我们将学习准备知识。其内容归纳总结如下：

一、初等数学

2、实数的基本性质

（1）实数与数轴上的点是一一对应的；

（2）a 、b 为任意的两个实数，则a>b 、a

（3）a 为任意的一个实数，则02≥a 。 （二）、基本初等函数 1、幂函数

αx y =，它的定义域随α而异，但不论为何值时，x 在),0(+∞内总有定义，

而且图形都经过(1,1)。

移项性质：)0,0(,1

>>=⇔=y x y x y x αα

2、指数函数

)1,0(≠>=a a a y x ，1>a 时，x a 在),0(+∞；0<。

移项性质：)0,(log >∈=⇔=y R x y x y a a x 抵消性质：)0,(,log ,log >∈==y R x x a y a x a y a 常用公式：设0;,;,;0,≠∈∈>c N n m R y x b a （1）x

x c c 1=

- （2）10=c （3）a a a a

m n m

n ==2,

（4）x x x

x

x

x

b a b a b a ab =⎪⎭⎫

⎝⎛=,)(

（5）y x y x

y

x y

x

a a

a a

a a -+==, （6）xy y x a a =)( 范例解析：4)2()

2()2(25

10510

=-=-=-

3、对数函数

a x y a (log =为常数，)1,0≠>a a ，1>a 时，x a log 在),(+∞-∞，10<

当a 取10时，函数记为x y lg =；特别当a 取e 时，函数记为x y ln =，称为

自然对数函数。

常用公式：设0,>b a 且1≠；;0,>N M R x ∈

（1）N M N

M

N M MN a a a a a a log log )(log ,log log )(log -=+= （2）;log log b M

N

b

a N

a M =

尤其1=M 时,b N b a N a log log =;尤其N M =时，b b a N a N log log =

（3）a

M

M b b a log log log =

（换底公式），一般b 取10或e 。 范例解析：

910

35323lg 32lg 52lg 33lg 23lg 2lg 2lg 3lg 27lg 32lg 8lg 9lg 32log 9log 3

532278=⋅=⋅=⋅=⋅=⨯ 4、三角函数

（1）角的定义：角含始边、终边及旋转过程，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。

（2）角的单位：1个周角=360°=π2（弧度） （3）三角函数的定义：

正弦函数：),(sin +∞-∞∈=x x y 余弦函数：),(cos +∞-∞∈=x x y

正切函数：ΛΛ,2,1,02

tan ±±=+

≠=n n x x y π

π

余切函数：ΛΛ,2,1,0cot ±±=≠=n n x x

y π

正弦函数和余弦函数均为周期为π2的周期函数，正切函数和余切函数均为

周期为π的周期函数。外还有两个：正割x x y cos 1sec ==和余割x

x y sin 1

csc ==。

（4）平方和公式：αααααα222222csc cot 1,sec 1tan ,1cos sin =+=+=+ （5）两角和差的三角函数：

β

αβαβαβ

αβαβαsin cos cos sin )sin(sin sin cos cos )cos(±=±=±μ

（6）和差化积公式：

2

cos

2cos 2cos cos 2

sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=+-+=--+=+ 2

sin

2

sin 2cos cos β

αβ

αβα-+-=-

（7）倍角公式：

2

2

2

2

)(sin 211)(cos 2)(sin )(cos )2cos(cos sin 2)2sin(αααααα

αα-=-=-==

5、反三角函数

反正弦函数：]1,1[sin -∈=x x Arc y 反余弦函数：]1,1[cos -∈=x x Arc y 反正切函数：),(tan +∞-∞∈=x x Arc y 反余切函数：),(cot +∞-∞∈=x x Arc y

（三）、不等式

1、两个正数的均值不等式：

ab b

a ≥+2

三个正数的均值不等式：

3

3

abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：

n

n n a a a n

a a a ΛΛ2121≥+++

2、两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的

关系式：22112

2

2b a b a ab b

a +≤

+≤≤+ 3、绝对值不等式 （1）b a b b a <<-⇔<|| （2）b a b a >⇔>||或b a -< （3）||||||||||||b a b a b a +≤+≤- 注：绝对值具有非负性，即0||≥a 。