《算数之钥》中球形穹顶的测量法

《算数之钥》中球形穹顶的测量法
依里哈木·玉素甫;麦尔哈巴·西尔亚孜旦
【摘要】中世纪中亚数学家阿尔·卡西在《算术之钥》中不但给出了5种伊斯兰建筑风格拱形门和球形穹顶的设计方案，而且用初等方法计算了其中拱形部分的表面积和体积，遗憾的是，他没有给出球形穹顶部分的表面积和体积的具体计算过程，只用文字叙述了用初等数学方法来计算其中第四类球形穹顶表面积和体积的基本思路，并直接给出了球形穹顶表面积和体积分别与其直径平方和直径立方之比的近似值。

讨论了阿尔·卡西的初等算法，并用微积分方法来验证其算法的正确性，同时指出阿尔·卡西得到的数据与实际数据之间的误差。

%In his book The Key to Arithmetic ,the central Asian mathematician al-Kashi,who belongs to middle ages,not only designed five types of Islamic arches and spherical domes,but also computed the areas and volumes of their arched parts by using elementary method.Unfortunately,he did not provide concrete algorithm about the computation of area and volume of the spherical dome parts,and only literally stated the basic idea of the computation of area and volume of the fourth type spherical dome part.He also provided the approximate values of the ratio of its surface to the square of diameter and the ratio of its volume to the third power of the
diameter,respectively.In this paper,we discussed the elementary algo-rithm of al-Kashi and checked its exact value by using calculus,and at the same time,get the error between the two values.
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》
【年(卷),期】2014(000)005
【总页数】8页(P622-629)
【关键词】阿尔·卡西;拱形门;球形穹顶;算术之钥
【作者】依里哈木·玉素甫;麦尔哈巴·西尔亚孜旦
【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046;新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046
【正文语种】中文
【中图分类】O123.6
阿尔·卡西在《算术之钥》一书中给出第四类球形穹顶表面积和体积分别与其直径平方和直径立方之比的近似值为1,46,32(或1.775)和0,18,23(或0.306),因为他没有给出具体的计算过程,只用文字叙述算法的大概思路,因此引起不少数学家的关注,如德国数学家Dold-Samplonius Y分别算出上述比值的准确值[1]、第二类弓形门的表面积和体积[2]以及钟孔石的表面积等[3].遗憾的是,Dold-Samplonius没有按照阿尔·卡西所述的思路来进行计算,而用现代微积分方法来计算.本文同时使用阿尔·卡西所述的思路和现代微积分两种方法进行计算.
阿尔·卡西是14世纪末和15世纪初活动在中亚地区的著名数学家,天文学家和医生[4],他的全名为Ghiyāth al-Dīn Jamshīd ibn Mas'ūd ibn Mahmud al-kāshī,或al-Kāshānī①Ghiyāth是他的名字,Mas'ūd是他父亲的名字,Mahmud是他爷爷的名字,Kāshān是他的家乡,al-Kāshī或al-Kāshānī两种称呼都有卡尚人之意,另一方面,Kāshān来源于波斯语中表示许多数码之意的Kāsh一词[4].,约公元1380年出生于卡尚市②卡尚市:位于在伊朗中部干旱沙漠地区的绿洲城市,距伊朗首都德黑兰
约240 km.另外,阿尔·卡西的出生年代没有确切的记载,但大多数学者都认同约1380年出生的说法[7].,公元1416～1417年左右由乌鲁伯格③乌鲁伯格(Ulugh-Beg,1394～1449年),是当时中亚地区的统治者,帖木儿(Timur,1336～1405年)的孙子.的邀请离开自己的家乡到撒马尔罕④撒马尔罕(Samarkand)位于今乌兹别克斯坦境内.去定居并参加那里的学术团队[5],1429年(另一说法为1436年)卒于撒马尔罕.
阿尔·卡西在自己的整个一生中从事研究天文学和数学并撰写了许多优秀的著作,主要有《可汗历法表》(Az-Zij al-Hakani,约1413～1414年),《圆周论》(Ar-Risāla al-muhitiyya,The Treatise on the Circumference,约1424年),《算术之钥》(Miftāh al-hisāb,The key of Arithmetic,1427年),《论弦与正弦》(Risāla al-bater wa'l-jtaib,The Treatise on the Chord and Sine,写作年代不详),《花园散步》(Nuzhat al-Hadaik,写作年代不详)等[4].这些作品的不同抄本现分别收藏在德国、英国、土耳其、伊朗、苏联、印度等国家的图书馆[6].此外,他还发明了一种叫“带状盘”(Tabak-al Manatik)的天文测量仪器[4].
目前传世的《算术之钥》有5种阿拉伯文抄本:(1)荷兰莱顿大学图书馆收藏的版本(收藏号为Cod.or.185),叫莱顿版本;(2)以萨利提科夫瓦-锡德里娜
(М.Е.Салтыкова-Шедрина)为名的圣彼得堡公共图书馆收藏的版本(收藏号为
№131),叫圣彼得堡版本;(3)柏林综合图书馆收藏的版本(Б.Прусском
гасударстненноибиблиотеки,收藏号为Spr.№1824),叫柏林版本;(4)柏林大学医学与自然科学史学院图书馆收藏的版本(收藏号为№1,2);(5)巴黎国家图书馆收藏的版本(收藏号为№5020),叫巴黎版本.这5种版本中最完整最古老的版本是莱顿版本.该版本于回历965年8月2日在伊朗的加兹温市抄写完毕,这相当于公元1558年5月20日星期五,但《算术之钥》俄文译本的前言部分误写成公元1554年7月3日,也许他们把回历转换成公历时出现了失误.圣彼得堡版本于公元1789年12月
24日抄写完毕,柏林版本于约公元1886年抄写完毕,其他两种版本上都未注明抄写时间.这五种版本的内容完全一致,但都有不同程度的遗漏现象,主要是一些图片和表,原苏联学者在译成俄文时,首先对上述5种版本进行比较,由重新复印的方法填补了这些遗漏的图片和表,再装订成一个完整的版本,然后进行翻译[4].
《算术之钥》共5卷37章,书中除了包含“算数”、“平面几何”、“立体几何”、“三角函数”、“代数方程”等学科的主要内容之外,还包含“数论”、“天文学”、“物理学”、“测量学”、“建筑学”和“法律学”(遗产问题)等内容,被称为当时的“百科全书”.其中第4卷专门叙述了“测量学”,共9章组成,第9章含有有关“建筑测量学”的3个部分:第一部分“论拱形门的测量”;第二部分“论球形穹顶的测量”;第三部分“论钟孔石表面积的测量”.拱形门和球形穹顶是阿拉伯式
建筑的最为突出的特征,之前的工程师和工匠们只研究拱形门和球形穹顶的设计,没
有研究过它们的表面积和体积的计算方法,他们根据自己以往的经验来大概估计所
建建筑的拱形门和球形穹顶部分所需的材料,根本没有用科学方法来计算.阿尔·卡西在《算术之钥》中专门叙述有关“建筑测量学”的内容,很可能是为了解决上述问题,因为他在第九章的开头就写道:“掌握这门学科的建筑师们,除了提到弓形门和球形穹顶的设计之外,没有提到别的情况(没有提到它的测量),他们认为这是没有必要,
但本人认为这很有必要,因为测量建筑的必要性已大大超过了别的测量学.”[4]
《算术之钥》中第四类拱形门图纸的画法如图1所示.把线段AD三等分(见图
1(b)),即把两个门柱内侧之间的距离三等分,其分点为B和G,以点B为心,以BD为
半直径画圆弧DF,同时以点G为心,以AG为半直径画圆弧AF,用直线连接点B、F
和点G、F,并把这两条连接线延长到点H、I,使HF、IF等于门柱的厚度,把线段AD 同时向两个方向延长到K、L,使AK与DL等于门柱的厚度,以点B为心,以BL为半
直径画圆弧LH,同时以点G为心,以GK为半直径画圆弧KI,在点I引垂直于直线FI
的线段IN,在点H引垂直于直线FH的线段H N,这时,由两个曲边四边形AKIF、
DLHF和一个巴旦木形①巴旦木又称巴旦木杏,是中亚地区种植的一种土产,现我国新疆主要产在天山以南喀什绿洲的疏附、英吉沙、莎车、叶城等县.在一个四边形中,一对对角为直角,其余一对对角不相等,阿尔·卡西称这样的四边形为巴旦木形[4],图1(b)中的四边形FIN H就是巴旦木形.FIN H构成以下的拱形门弓形部分的正面图(图1(a),(b))[4].
《算数之钥》中关于第四类球形穹顶的画法及其表面积和体积分别与其直径平方与直径立方之比计算的原文(图2)如下:
球形穹顶的形状类似于空心半球体、空心球缺、多边圆锥体①阿尔·卡西把“多边棱锥”称之为“多边圆锥”.或者是这样一种物体,使我们在前面介绍过的拱形门之一的拱形部分按照它的高度旋转一周,即按照它拱形部分的顶点到底边中点的连线旋转一周而形成的,在它们当中有关前两种类型[空心半球体、空心球缺]的测量问题,我们已在有关球体和球缺的测量部分中讨论过,对第三种类型的情形,我们也在有关圆锥的测量部分中讨论过,在测量最第四类球形穹顶的体积和表面积时,首先以球形穹顶的顶点为心,在穹顶的表面上画出一族同心圆周,使每两个相邻圆周之间的距离互相相等,这些同心圆周的连线[距离]就是弓形弧位于在这些圆周之间的部分弧所对的弦,本人认为画出七个或八个同心圆周就可以了,然后求出从球形穹顶的顶点到最近圆周的距离,该距离与半周长相乘②于球形穹顶顶部圆锥的侧面积,即
S=l(2πr1)/2=πr1l(图3(a)).,然后依次求出每个圆的周长,把每两个相邻圆周长之和的一半与这两个圆周之间的距离相乘③其他圆台的侧面积,即Si=l(2πri-
1+2πri)/2=πl(ri-1+ri)(i=2,3,…,n)(图3(a)).,得到的所有乘积相加,就得到球形穹顶的外表面积④整个球形穹顶的外侧表面积为?.在求该物体的体积时,首先球形穹顶的顶点与最近圆面之间部分的体积近似地等于圆锥的体积⑤位于球形穹顶顶部圆锥的体积,即)/3(见图3(a)及公式(8)),而其他的每两个相邻的圆面之间部分体积近似地等于圆台的体积,然后按照我们在上面所述的方法分别求出这些圆锥和圆台的体积,再
把求出的这些体积相加,然后用同样的方法来求出球形穹顶内凹形部分的体积,再从第一个体积中减去凹形部分的体积就得到球形穹顶的体积⑥其他圆台的体积,即(见图5及公式(9)).,这就是球形穹顶有关的算法.在一般的情况下,画球形穹顶内凹形部分的图纸类似于第四类拱形门的图纸.为了简化计算过程,我们提前算出了穹顶内凹形部分的表面积对底面直径平方之比,因此把提前算出的数与直径平方相乘,即把1 46 32(秒)或1775与直径平方相乘,其中第二个数的右边第一位是十进制分秒⑦这里1 46 32是60进制数,而1 775是10进制数,从原文中的“其中第二个数的右边第一位是十进制分秒”可看出,该数相当于现代的1.775,详见表1.,就得到穹顶内侧的凹形部分的表面积.又因为内外侧面互相平行,所以我们把穹顶外侧底面直径的平方与该数相乘,就得到球形穹顶外侧的表面积.如果我们把穹顶内侧底面直径的立方和外侧底面直径的立方分别与0 18 23或306相乘,其中第二个数的右边第一位是十进制分秒,再取得到乘积的差,就得到整个球形穹顶的体积.[4]
4.1 按照阿尔·卡西叙述的方法来计算球形穹顶的表面积对直径平方之比
由上可知,阿尔·卡西在计算球形穹顶的表面积和体积时,首先在穹顶的表面上画出以穹顶顶点为心的一族同心圆周,使每两个相邻圆周之间的距离相等,然后把最上面的部分近似地看成圆锥,而其他的部分近似地看成圆台,再分别计算这些圆锥和圆台的侧面积和体积,最后把得到的结果相加,就得到整个球形穹顶的表面积和体积的近似值,当然得到表面积和体积的准确程度依赖于同心圆周数量,数量越多近似程度越好.显然在没有微积分概念的当时,这是一种相当了不起的想法.
下面按照阿尔·卡西的叙述来分别求出球形穹顶的表面积和体积的近似值.首先球形穹顶的顶点与顶点最近圆截面之间的部分可近似看成是一个圆锥,设该圆锥的母线为FF1=l,则l是定点到最近圆周的距离,如果该圆锥的底面圆半径为r1,则由圆锥的侧面积的公式,有S1=πr1l.其余每两个相邻圆周之间的部分都可看成是近似圆台,这些近似圆锥和近似圆台的母线为
其中:F0=F,Fn=A.如果这些圆台的上下底面半径分别为ri(i=1,2,3,…,n),则它们的侧表面积分别为这样球形穹顶的内表面积当然,分解的越细,准确度越好.
因为阿尔·卡西用第四类弓形门的弓形部分按照它的高度旋转一周才得到了上面的球形穹顶(图3(a)),所以由第四类弓形门的设计图(图3(b)),有在直角三角形FOG中,有把圆心角α分成相等的n个小角,就得到图3(c),每一个圆弧所对应的弦都相等,它们分别等于位于顶部的圆锥和其他圆台的母线3,…,n),在三角形中(图3(c)),由余弦定理若令则有代入(2)式后再取平方根,得
由图3(c)可知在三角形中,有同理可得
因此球形穹顶的内表面积近似等于
这样球形穹顶的內表面积与直径平方之比为
当n分别等于7,8…时,由公式(5)得
当n=7时,=1.773 017 553 109 172=1 46 22 51 47 29 17 51 39 29;
当n=8时,=1.775 504 264 704 761=1 46 31 48 55 16 14 3 55 1;
当n=9时,=1.777 209 669 339 158=1 46 37 57 17 18 52 41 16 15;
…
当n=200时,=1.783 620 820 660 163=1 47 1 2 5 50 8 43 25 17.
由此可见,阿尔·卡西计算到n=8的情况,并把60进制值1 46 31 48取整为1 46 32,对应的10进制值1.775 5取整为1.775.
4.2 用定积分的方法来计算球形穹顶的表面积
在图3(b)中,以DA为x轴,OF为y轴,以点O为原点建立直角坐标系,由于图3(a)是由图3(b)中的曲边三角形OAF绕y轴旋转一周所形成,所以可用微积分中旋转体的侧面积公式来计算该球形穹顶的表面积.
由图4可知,圆弧FA是以点G(-p,0)为心,以GA=4p为半径的圆周的一部分,所以该圆弧的方程为(x+p)2+y2=(4p)2,从中解得.因为圆弧FA始终位于在y轴的右边,
所以只取方程中根号的正值,这样得到以y为自变量的方程
另外,平面图形绕y轴旋转所形成旋转体的侧面积公式为
其中c=0,d=OF.在三角形GOF中,由勾股定理有OF=又式(5)中函数的导数为所以球形穹顶的內表面积为
把带入上式,得.于是球形穹顶内侧表面积与直径(球形穹顶内
侧底面直径)平方之比的准确值为所以=1.783 633 835 697 27(10进制)=1 47 1 4 54 30 38 17 30 35(60进制),而阿尔·卡西得到的10进制结果为1.775,60进制结果为1 46 32.
5.1 按照阿尔·卡西叙述的方法来计算球形穹顶的体积对直径立方之比
阿尔·卡西把球形穹顶的顶点与第一个圆周之间的部分看成是一个圆锥(图3(a)),其顶点到最近圆周的距离h1就是该圆锥的母线,如果该圆锥的底面圆半径为r1,则由求圆锥的体积公式,有
其余的部分都看成是近似圆台,这些近似圆锥和近似圆台的母线类似(1)式,如果它们的高是hi(i=2,3,…,n),则由圆台的体积公式可得
于是球形穹顶的体积(图5)
当然,分解越细,准确度越好.在求球形穹顶的内表面积时已经求过l,ri(见(3)～(4)式),第i个圆台的高
其中h1表示圆锥的高.所以球形穹顶的体积
所以球形穹顶的体积为与直径立方之比为
由该式可得
当n=4时,=0.302 250 119 597 379=0 18 8 6 1 32 59 56 7 7;
当n=5时,=0.306 054 778 090 213=0 18 21 47 49 55 26 34 37 7;
当n=6时,=0.308 134 164 696 009=0 18 29 16 58 46 28 3 25 11;
…
当n=200时,=0.312 889 010 893 471=0 18 46 24 1 34 52 14 44 49.
由此可见,阿尔·卡西计算到n=5的情况,并把60进制值0 18 21 47取整为0 18 23,对应的10进制值0.306 05取整为0.306.
5.2 用定积分方法计算球形穹顶的体积对直径立方之比
因为球形穹顶是由图4中的曲边三角形AOF绕y轴旋转一周形成的,所以可用旋转体的体积公式
来计算它的体积.在计算球形穹顶侧面积时已经得到公式(5),代入公式(10),有
所以球形穹顶的体积与直径立方之比为所以≈0.312 893 314 956 478(10进制)=0 18 46 24 57 21 42 36 34 1(60进制).
虽然在原文中没有给出具体的计算过程,但从原稿中的叙述和给出的数据不难猜测,阿尔·卡西在计算球形穹顶的表面积和体积时,首先在穹顶的表面上画出以穹顶顶点为心的一族同心圆周,使每两个相邻圆周之间的距离相等,然后把最上面的部分近似地看成圆锥,而其他的部分近似地看成圆台,再分别计算这些圆锥和圆台的侧面积和体积,最后把得到的结果相加,就得到了整个球形穹顶的表面积和体积的近似值.另外我们还从阿尔·卡西给出的数据看出,他在计算球形穹顶的表面积时,把整个穹顶分解成8个部分,而计算体积时,把整个穹顶分解成5个部分.
原稿中算法的叙述还可以看出,阿尔·卡西已经掌握了把给定“大块”分解成“小块”(微分)、以“直”代“曲”、分别计算每一个“小块”的量、再把得到的量相加(积分)、得到“大块”的近似值等微积分思想,但没有极限的概念.
从阿尔·卡西的设计可以看出,整个拱形门和球形穹顶的大小只依赖于大门两个门柱内侧之间的距离,所以通过改变大门两个门柱内侧之间的距离就能得到不同尺寸的阿拉伯风格建筑.
阿尔·卡西在自己的《算术之钥》一书中共给出了5种拱形门的设计方法,虽然通过每一个拱形门的图纸绕着它的高度旋转一周,可得到5种相应的球形穹顶的图纸,但
在实际工程中,为了使建筑更宏伟壮观,设计者可通过改变图1(b)中的点G与B的位置,得到不同形状的球形穹顶.例如,把两个门柱内侧之间的距离AD三等分,其分点为B和G,再通过以点B和G分别做垂直于AD的线段BB′和GG′,使BB′=GG′=OG,以B′为心,以B′D为半径画圆弧DF,同时以点G′为心,以AG′为半径画圆弧AF,得到图6中的拱形弧,再把得到的拱形弧绕着它的高度OF旋转一周,就得到更壮观的球形穹顶的图纸(图7(a),(b)).
阿尔·卡西得到球形穹顶的内表面积对直径平方之比的近似值为1.775,而该比例的实际准确值为1.783 633 835 697 27,它们之间的误差约为0.008 634,也就是说,如果大门内侧宽度为4 m,则阿尔·卡西得到球形穹顶内表面积与实际表面积之间的误差约为0.14 m/m2.同样,阿尔·卡西得到球形穹顶内侧体积与实际体积之间的误差约为0.45 m/m3.
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