高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》基础测试题及答案解析

新数学《集合与常用逻辑用语》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知集合{}
2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧
==>==⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】 ∵集合{}2log ,1A y y x x ==
∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|
B x y ⎧
==⎨⎩ ∴集合1(,)2B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂=
故选A.
2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）
①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；
③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C
【解析】
【分析】
对三个命题逐一判断即可.
【详解】 ①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .
【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
3．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.
【详解】
22x y +≥Q 且224x y +≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ，
等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ，
等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤， 反过来，当12,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.
故选:C
【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
4．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A B A B
>，因为0,0A B ππ<<<<， 所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >，
所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B π
π<+<，
因此02C <<π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立，
所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
5．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.
【详解】
由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-，
当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，
即d ==12c +=，解得1c =或3c =，
所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．已知集合{}|3
x M y y ==，{|N x y ==，则M N =I （ ） A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x > 【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解．
【详解】
由题意，集合{}|3{|0}x M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ===≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤.
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
7．已知集合(){}2||lg 4A x y x
==-，{}2|43B x y x x ==-+-，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<
C ．{}|13x x 剟
D ．{}|23x x -<… 【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．
【详解】
由题意，集合(){}22|lg 4(2,2),{|43}[1,3]A x y x
B x y x x ==-=-==-+-=，
所以{|12}A B x x =≤<I .
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
8．设
，则"是""的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到充分性，验证
得出不必要，得到答案. 【详解】
，当
时，，充分性； 当
，取，验证成立，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
9．已知集合{}2log 1A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =U （）
A ．(]1,2
B ．()1,+∞
C ．()1,2
D ．[)1,+∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果.
【详解】 由{}{}2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，则[
)1,A B ∞=+U ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.
10．给出下列说法：
①“tan 1x =”是“4x π
=”的充分不必要条件；
②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30；
③命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【解析】
【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果.
【详解】
对于①，当4x π
=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4x k k π
π=+∈Z ，
所以“tan 1x =”是“4x π
=”的必要不充分条件，所以①不正确；
对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以5b =，
所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；
对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+
≥R ”的否定形式是“1,2x x x
∀∈+<R ”，所以③不正确； 故错误说法的个数为2.
故选：C.
【点睛】
本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..
11．已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b
>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B
【解析】 因为22
2131331()44244
x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.
12．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
13．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可
【详解】
若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a b a a b >⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立
但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件
【点睛】
本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论
14．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）
A ．当8n =时，该命题不成立
B ．当8n =时，该命题成立
C ．当6n =时，该命题不成立
D ．当6n =时，该命题成立 【答案】C
【解析】
【分析】
写出命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，
结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】 由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N
=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N
*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成
立”，
由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.
【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
15．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】 由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔
>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.
16．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
当0a <时，方程210ax +=，即21x a =-，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而21x a
=-，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
17．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3
(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2
【答案】D
【解析】 试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
18．设集合{}20,201x M x
N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}02x x ≤<
D ．{}
02x x << 【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，
所以{}01M N x x ⋂=<<.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
19．对于非零向量，，“
”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
不一定有，若，则一定有//a b .
考点：判断必要性和充分性.
20．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
当
，得a <1时方程有根．a <0时，，方程有负根，又a =1时，方程根为，所以选B ．。