几类特殊N阶行列式的计算

例7 计算行列式
(1)
分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少n-2次幂行,所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了.
解：比较范德蒙行列式，缺少 次幂行，所以应补之．于是考察 阶范德蒙行列式
(2)
视 文字，一方面，由（1）知 是行列式 中元素 的余子式 ，即：
于是将 按其第 列展开可得 中 的系数为 ．
(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即
.
（2） 次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即
.
(3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即
.
4．2两条线型行列式的计算
在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如 ， ， 的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式.
4.6 行（列）和相等的行列式的计算
在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或1的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.
本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.
2 文献综述
2.1 国内研究现状
现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中[1]、[3]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，[2]、[4]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[4]、[8]直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，[7]、[9]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，[11]、[12]、[13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，[14]在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，[15]-[18]系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.
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几类特殊N阶行列式的计算
1 引言
行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.
例3 计算n阶“三对角”行列式
D =
分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值.
解: 把行列式展开,得到
D D —
D － D
即有递推关系式
D = D － D (n 3)
故 ＝
递推得到
＝ ＝
＝ ＝
而
， ＝ ＝ ，
代入得
由递推公式得
5.2 启示和意义
在行列式的计算中,特别是对于特殊N阶行列式的计算,有一定的技巧性.从特殊到一般,能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果.特别是学生在平时的学习中,应熟悉行列式的一些计算方法,达到举一反三.
掌握了这几类特殊行列式的计算方法,并将其融会贯通后,那么行列式的计算问题将能够迎刃而解，尤其在计算N阶行列式时，能做到思路清晰，计算上快速，准确.
例1 计算n阶行列式
.
分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式.
解: 按第1列展开得
总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.
4.8 范德蒙型行列式的计算
范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中,如果有这样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来,利用行列式的计算方法去计算了.
首先,先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质.可参见文献[17].
范德蒙行列式
即等于 这N个数的所有可能的差 的乘积.
拉普拉斯定理 任意取定n阶行列式D的某k行（列）（1≤k<n）,由这k行（列）元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.
4 几类特殊N阶行列式的计算
除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶.
分析: 根据题设写出N阶行列式
这是相邻两行(列)元素差1的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为1或-1的行列式,进一步化为三角行列式,即可算出该行列式.
解:前行（列）减去后行（列）,得
总结:以数字1,2,…，n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的N阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第N行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.对于相邻两行（列）元素相差倍数K的行列式,采用前行（列）减去后行（列）的-K倍,或后行（列）减去前行（列）得-K倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素.
[9] 贾兰香、张建华.线性代数[M].天津:南开大学生出版社,2004:1-42.
[10] 居余马.线性代数[M]. 北京:清华大学出版社,2002:1-32..
[11] 詹耀华.线性代数[M]. 北京:中国金融出版社,2007:1-17.
在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧.
4.1 三角形行列式的计算
在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即
例5 计算行列式
.
分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式.
解: 把每一列都加到第一列提出公因式得
总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第1列（或行）或第N列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值.
参考文献
[1] 陈治中.线性代数[M].北京:科学出出版社,2009:6-23.
[2] 邵建峰、刘彬. 线性代数[M].北京：化学工业出版社，2007：1-18.
[3] 张翠莲. 线性代数[M].北京:中国水利水电出版社，2007：4-16.
[4] 李小刚.线性代数能及其应用[M].北京:科学出出版社,2006:37-61.
解：把每一列的（ ）加到第一列，得
总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.
4.4 三对角行列式的计算
对于形如 的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.
＝
＝α D ＋ ＝
＝ ＋ ＋ ＋ ＝
总结:对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系 ,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式.
4.5Hessenberg型行列式的计算
对于形如 ， 的行列式,我们叫做Hessenberg型行列式，这类行列式类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶.
行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算
计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差1的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差1,我们可以利用它的这一特点,每一行(列)递减,得到大量元素是1的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了.
例6 计算元素满足 的N阶行列式 .
4.3 箭形行列式的计算
在平时所遇见的行列式中,有许多形如 ， 的箭形行列式, 这类行列式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了.
例2 计算n+1阶行列式
分析:题中所给的n+1阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的 倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出.
，
而 称为元素 的代数余子式.
(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
(3)n阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零.
3.3.2 拉普拉斯定理
拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一,下面将该定理陈述如下:
[5] 郭立焕、汤琴芳. 线性代数M]. 北京：科学技术文献出版社，1988：1-32.
[6] 俞正光、王飞燕. 线性代数[M]. 北京：清华大学出版社，2005；1-26.
[7] 郑素文.线性代数与应用名师导学[M]. 北京: 中国水利水电出版社,2004:1-45.
[8] 刘剑平、施劲松.线性代数[M].上海:华东理工大学出版社,2011:35-53.
另一方面，从 的表达式（2）及根与系数的关系知， 中 的系数为：
所以
所以
总结: 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行（或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值.
5 结论
5.1 主要发现
行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度,特别是对于特殊N阶行列式的计算,这类行列式的计算技巧性非常大,在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度.
5.3 局限性
本文只介绍了几类特殊N阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善,特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究.
5.4 努力方向
行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多,并不是短时间内学习就可以掌握的,需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊N阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧.
例4 计算N阶行列式
分析:对于该行列式,将每一列都加到第N列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.
解:将第1,2,…，n-1列加到第n列，得
总结:对于Hessenberg型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算.