2021年江苏省盐城市射阳县中考数学三模试卷(附答案详解)

2021年江苏省盐城市射阳县中考数学三模试卷
1.(2021·江苏省盐城市·模拟题)图中为某几何体的分别从上面、前面、左边看到的三
个图形，该几何体是()
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 三棱柱
D. 三棱锥
2.(2020·河北省邢台市·期中考试)我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在
古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算3+(−4)的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算()
A. (−5)+(−2)
B. (−5)+2
C. 5+(−2)
D. 5+2
3.(2021·广西壮族自治区玉林市·历年真题)下列计算正确的是()
A. 2a2+a3=3a5
B. (−b2)5=−b10
C. (2ab)2÷(ab)=2ab
D. (−1−ab)2=1−2ab+a2b2
4.(2020·广东省深圳市·期中考试)AF是∠BAC的平分线，
DF//AC，若∠BAC=70°，则∠1的度数为()
A. 175°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
5.(2021·河北省邢台市·月考试卷)已知线段a，b，c求作：△ABC，使BC=a，AC=b，
AB=c.下面的作图顺序正确的是()
①以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C
点；
②作线段AB等于c；
③连接AC，BC，则△ABC就是所求作图形．
A. ①②③
B. ③②①
C. ②①③
D. ②③①
6.(2021·山东省济南市·期末考试)永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生
每日测量体温，九(5)班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是()
日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天
体温(℃)36.236.236.536.336.236.436.3
A. 36.3和36.2
B. 36.2和36.3
C. 36.2和36.2
D. 36.2和36.1
7.(2020·北京市市辖区·模拟题)如图，点A，B是⊙O上的定点，
点P为优弧AB上的动点(不与点A，B重合)，在点P运动的
过程中，以下结论正确的是()
A. ∠APB的大小改变
B. 点P到弦AB所在直线的距离存在最大值
C. 线段PA与PB的长度之和不变
D. 图中阴影部分的面积不变
8.(2021·江苏省·其他类型)使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与
旋钮的旋转角度x(单位：度)(0°<x≤90°)近似满足函数关系y=ax2+bx+
c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()
A. 18°
B. 36°
C. 41°
D. 58°
9.(2021·江苏省盐城市·模拟题)第七次全国人口普查结果公布，全国人口共14.1178亿
.请把14.1178亿记成科学记数法______ ．
10.(2021·广东省·其他类型)分解因式：m2n−4n=______．
11. (2021·江苏省盐城市·模拟题)方程x 2−7x +10=0的两个根是等腰三角形的两边
长，则该等腰三角形的周长是______ ．
12. (2021·江苏省盐城市·模拟题)在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)，B(4,2)，以原点
O 为位似中心，把△OAB 按相似比1：2缩小，则点B 的对应点B′的坐标是______ ．
13. (2021·江苏省盐城市·模拟题)某同学以一个边长为1的正六边形的三个顶点为圆心，
边长为半径，向外画了三段圆弧，设计了如图所示的图案.则图案外围轮廓的周长为______ ．
14. (2021·江苏省盐城市·模拟题)目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过
手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步.设小刚每消耗1千卡能量需要行走x 步，则根据题意可列方程为______ ．
15. (2021·北京市·模拟题)△ABC 中，
AB =AC =12厘米，∠B =∠C ，BC =9厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以v
厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上
由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD
与△CQP 全等时，v 的值为______．
16. (2021·江苏省·其他类型)如图，直线y =12x −1与x 轴交于点B ，
与双曲线y =k x (x >0)交于点A ，过点B 作x 轴的垂线，与双
曲线y =k x 交于点C.且AB =AC ，则k 的值为______ ．
17. (2021·江苏省盐城市·模拟题)(1)计算：√83−(π−3)0+(12)−1+|√2−1|；
(2)化简：x−2x 2+2x ÷x 2−4x+4x 2−4−1
2x ．
18.(2021·江苏省盐城市·模拟题)为纪念并缅怀当今神农袁隆平为解决人类温饱问题所
建立的丰功伟绩，扎实推进“光盘行动”，某校八年级举办“缅怀伟人，拒绝浪费，从我做起”的学生演讲比赛，八(1)班准备从小怡、小宏、小童、小灿4名同学之中选择两名参加比赛，选择方案如下：制作4张完全相同的卡片，正面分别写上这4名同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，张老师从4张卡片中随机抽取1张卡片不放回，再抽取一张，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛.(注：可以用A、
B、C、D分别表示小怡、小宏、小童、小灿的名字)
(1)用树状图或列表法列出所有等可能结果；
(2)求小怡和小宏同时被选中的概率．
19.(2021·江苏省盐城市·模拟题)小李家准备购买一台台式电脑，小李将收集到的该地
区A，B，C三种品牌电脑销售情况的有关数据统计如下：
根据上述三个统计图，请解答：
(1)直接写出6至11月三种品牌电脑销售总量最多的电脑品牌，以及11月份A品
牌电脑的销售量；
(2)11月份，其他品牌的电脑销售总量是多少台？
(3)你建议小李购买哪种品牌的电脑？请写出你的理由(写出一条理由即可)．
20.(2021·江苏省盐城市·模拟题)已知a=1
2014x+2013，b=1
2014
x+2014，c=
1
2014
x+2015，求代数式2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)的值．
21.(2020·北京市·模拟题)港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式
通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A 距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离(CD的长)约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离(AB的长).(已知√3≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1)
22.(2021·江苏省盐城市·模拟题)如图，一次函数y=kx+
b的图象与反比例函数y=m
的图象相交于A(1,a)，
x
B(−3,c)，直线y=kx+b交x轴、y轴于C、D．
>0的解集；
(1)直接写出不等式kx+b−m
x
(2)求m
的值；
a+c
(3)求C点的坐标．
23.(2021·江苏省盐城市·模拟题)如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、
F分别在OB、OC上，OE=OF.写出AE与BF的关系，并说明理由．
24.(2021·江苏省盐城市·模拟题)如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧
BD的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若cosC=2
，CA=6，求AF的长．
3
25.(2021·广东省·其他类型)某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗
绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
(2)经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500
棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的1
，求甲种树苗数量的取值范围．
4
(3)在(2)的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？
26.(2021·江苏省盐城市·模拟题)【阅读理解】设点P在矩形ABCD内部，当点P到矩
形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”.例如：如图1，矩形ABCD中，若PA=PD，则称P为边AD的“和谐点”．
【解题运用】已知，点P在矩形ABCD内部，且AB=10，BC=8．
(1)设P是边AD的“和谐点”，则P______ 边BC的“和谐点”(填“是”或“不
是”)；连接PC，S四边APCB=4S△APD，求PA的值．
(2)若P是边BC的“和谐点”，连接PA，PB，当∠APB=90°时，求PA的值；
(3)如图2，若P是边AD的“和谐点”，连接PA；PB，PD，求1
的最
tan∠PABtan∠PBA 大值．
27.(2021·江苏省盐城市·模拟题)如图，抛物线y=ax2+
bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛
物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，
PB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，
使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的
坐标；若不存在，请说明理由；
CE的最小值．
(4)点E是y轴上的动点，连接ME，求ME+1
4
答案和解析
1.【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是正三棱柱．
故选：C．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
2.【答案】C
【知识点】有理数的加法
【解析】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算5+(−2)，
故选：C．
由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式．
此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算．
3.【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】解：由于a2与a3不是同类项，不能加减，故选项A计算错误；
(−b2)5=−b10，故选项B计算正确；
(2ab)2÷(ab)=4ab≠2ab，故选项C计算错误；
(−1−ab)2=1+2ab+a2b2≠1−2ab+a2b2，故选项D计算错误．
故选：B．
利用整式的运算法则，逐个计算得结论．
本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、幂的乘方法则、整式的除法法则和完全平方公式是解决本题的关键．
4.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】解：∵∠BAC=70°，AF平分∠BAC，
∠BAC=35°，
∴∠FAC=1
2
∵DF//AC，
∴∠1=∠FAC=35°，
故选：B．
根据角平分线的性质得出∠FAC度数，再利用平行线的性质可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和平行线的性质．
5.【答案】C
【知识点】尺规作图与一般作图
【解析】解：②先作线段AB等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接AC，BC，则△ABC就是所求作图形．
故选：C．
先画AB=c，确定A、B点委屈，然后通过画弧确定C点位置，从而得到△ABC．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6.【答案】B
【知识点】中位数、众数
【解析】解：将这组数据重新排列为36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5，
所以这组数据的众数为36.2，中位数为36.3，
故选：B．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7.【答案】B
【知识点】扇形面积的计算、圆周角定理
【解析】解：A.无论P运动到什么位置，∠APB所对的弧为AB⏜始终不变，则∠APB的大小不改变，故A错误；
B.当P运动到优弧的中点时，P点到AB的距离最大，则B选项正确；
C.P点位置改变PA+PB值会发生变化，则C错误；
D.P点在运动过程中，P到AB的距离会改变，则△PAB的面积会改变，而弓形AB面积不改变，于是阴影部分的面积会改变，则D错误；
故选：B．
根据圆周解的性质，点到直线的距离，三角形的面积进行解答便可．
本题主要考查了圆的性质，点到直线距离，三角形的面积计算，扇形的面积计算，关键是掌握这些知识．
8.【答案】C
【知识点】二次函数的应用
【解析】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
根据已知三点和近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键．
9.【答案】1.41178×109
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：14.1178亿=1411780000=1.41178×109．
故答案为：1.41178×109．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，，且n比原来的整数位数少1．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
10.【答案】n(m+2)(m−2)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】解：原式=n(m2−4)=n(m+2)(m−2)，
故答案为：n(m+2)(m−2)
原式提取n，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.【答案】12
【知识点】三角形三边关系、解一元二次方程-因式分解法、等腰三角形的性质
【解析】解：x2−7x+10=0，
(x−2)(x−5)=0，
x−2=0或x−5=0，
所以x1=2，x2=5，
所以等腰三角形的腰为5，底边为2，则三角形周长为2+5+5=12．
故答案为12．
先利用因式分解法解方程x2−7x+10=0得到x1=2，x2=5，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式
分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．12.【答案】(2,1)或(−2,−1)
【知识点】坐标与图形性质、位似图形及相关概念
【解析】解：∵以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，B(4,2)，
∴点B的对应点B′的坐标是(4×1
2,2×1
2
)或(4×(−1
2
),2×(−1
2
))，即(2,1)或(−2,−1)，
故答案为：(2,1)或(−2,−1)．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
13.【答案】4π
【知识点】弧长的计算、正多边形与圆的关系
【解析】解：由题意可知：
∵正六边形ABCDEF六个边相等都等于1，六个内角相等都等于120°，
∴图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和，
即图案外围轮廓的周长为：3×240⋅π⋅1
180
=4π．
故答案为：4π．
根据正六边形的边长相等，每个内角为120度，可知图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和．
本题考查了作图−应用与设计作图、正多边形和圆、弧长的计算，解决本题的关键是图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和．
14.【答案】13500
x+15=9000
x
【知识点】由实际问题抽象出分式方程
【解析】解：设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步．
根据题意，得13500
x+15=9000
x
．
故答案为：13500
x+15=9000
x
．
设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步，则小琼每消耗1千卡能量需要行走(x+15)步，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数结合小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，即可得出关于x的分式方程．
本题考查了分式方程的应用，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数列出关于x的分式方程是解题的关键．
15.【答案】2.25或3
【知识点】全等三角形的判定、线段垂直平分线的概念及其性质、等腰三角形的性质【解析】解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=1
2BC=1
2
×9=4.5(厘米)，
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2(s)，
∴v=4.5÷2=2.25(厘米/秒)；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
∴{9−vt=6
vt=3t，
解得：v=3；
∴v的值为：2.25或3，
故答案为：2.25或3
分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，
BP=CP=1
2BC=1
2
×9=4.5(厘米)，根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△
BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出{9−vt=6
vt=3t，解得：v=3．
此题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16.【答案】4
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】解：∵直线y=1
2
x−1与x轴交于点B，
∴当y=0时，x=2，
∴点B的坐标为(2,0)，
又∵过点B作x轴的垂线，与双曲线y=k
x
交于点C，
∴点C的坐标为(2,k
2
)，
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A的纵坐标为k
4
，
∵点A在双曲线y=k
x
上，
∴k
4=k
x
，得x=4，
又∵点A(4,k
4)在直线y=1
2
x−1上，
∴k
4=1
2
×4−1
解得k=4．
故答案为：4．
根据题目中的信息，可以用含k的式子表示点C的坐标，由AB=AC，可知点A在线段BC的垂直平分线上，从而可以得到点A的纵坐标，从而可以表示出点A的坐标，又由
点A在直线y=1
2
x−1上，可以得到k的值，本题得以解决．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，灵活变化，认真推导．
17.【答案】解：(1)原式=2−1+2+√2−1
=2+√2．
(2)原式=x−2
x(x+2)⋅(x+2)(x−2)
(x−2)2
−1
2x
=
1
x
−
1
2x
=
2
2x
−
1
2x
=1
2x
．
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的运算、分式的混合运算
【解析】(1)根据零指数幂的意义，负整数幂的意义、绝对值的意义以及立方根的定义即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查实数的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及分式的乘除运算，熟练运用零指数幂的意义，负整数幂的意义、绝对值的意义以及立方根的定义，本题属于基础题型．
18.【答案】解：(1)画树状图如图：
所有等可能结果共有12种；
(2)由(1)可知，共有12种等可能的结果，小怡和小宏同时被选中的结果有2种，
∴小怡和小宏同时被选中的概率为2
12=1
6
．
【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】(1)画树状图，即可得出结果；
(2)由(1)可知，共有12种等可能的结果，小怡和小宏同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)由条形统计图可得，6至11月三种品牌电脑销售总量最多的电脑品牌是B品牌，是1602台；
由折线统计图可得，11月份A品牌电脑的销售量是270台；
(2)由折线统计图可得，
11月份品牌电脑的月销售量是234÷23.4%=1000(台)，
其他品牌的电脑销售总量是1000×(1−23.4%−27%−27.5%)=221(台)．
故其他品牌的电脑销售总量是221台；
(3)(答案不唯一)建议购买C品牌，因为C品牌11月的市场占有率最高，且6个月的月销售量最稳定；
或建议购买B品牌，因为B品牌的销售总量最多，受到广大顾客的青睐．
【知识点】扇形统计图、折线统计图、条形统计图
【解析】(1)从条形统计图可得6至11月三种品牌电脑销售总量最多的电脑品牌，从折线统计图可得11月份A品牌电脑的销售量；
(2)从折线统计图可得11月份其他品牌的电脑销售总量；
(3)从市场占有率、平均销售量等方面提出建议．
本题考查的是条形统计图、扇形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形图可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系；折线图表示的是事物的变化情况．
20.【答案】解：∵a=1
2014x+2013，b=1
2014
x+2014，c=1
2014
x+2015，
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
则原式=(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)=(a−b)2+(a−c)2+ (b−c)2=1+4+1=6．
【知识点】代数式求值、完全平方公式
【解析】由题意求出a−b，a−c，b−c的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：在Rt△ADC中，
∵tan30°=AD
CD
，CD=100，
∴AD=tan30°⋅CD=√3
3
×100≈57.7，
在Rt△BDC中，
∵tan20°=BD
CD
，CD=100，
∴BD=tan20°⋅CD≈0.36×100=36
∴AB=57.7+36=93.7米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD
的长，两者相加即可求得AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m
x
的图象相交于A(1,a)，B(−3,c)，
由图象可知，不等式kx +b −m x >0的解集为x >1或−3<x <0；
(2)∵点A 、B 都在反比例函数y =m x 的图象上，
∴a =−3c =m ，
∴m a+c =−3c −3c+c =3
2；
(3)将A(1,−3c)、B(−3,c)，分别代入y =kx +b 得{k +b =−3c −3k +b =c
， 解得{k =−c b =−2c
， ∴y =−cx −2c ，
令y =0，即y =−cx −2c =0，
解得x =−2，
∴C(−2,0)．
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】(1)根据图象即可求得；
(2)点A 、B 都在反比例函数y =m x 的图象上，则a =−3c =m ，故m a+c =−3c −3c+c =32；
(3)根据待定系数法求得直线为y =−cx −2c ，令y =0，即可求得x =−2，从而求得C 的坐标为(−2,0)．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与不等式的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 23.【答案】解：AE =BF ，且AE ⊥BF ，理由如下：
延长AE 交BF 于G ，如图：
∵四边形ABCD 为正方形，
∴OA =OB ，AC ⊥BD ，
在△AOE 和△BOF 中，
{OA=OB
∠AOE=∠BOF OE=OF
，
∴△AOE≌△BOF(SAS)，
∴AE=BF，∠OAE=∠OBF，
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠BEG，
∴∠OBF+∠BEG=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质
【解析】根据正方形的性质得到OA=OB，AC⊥BD，证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质可得AE=BF，且AE⊥BF．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线垂直、平分且相等是解题的关键．
24.【答案】解：(1)证明：连接AD，如图所示：
∵E是BD⏜的中点，
∴DE⏜=BE⏜，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，
即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
(2)在Rt△ACD中，cosC=CD
AC =2
3
，
∴CD =23×6=4，
∵∠EAC +∠EAB =90°，∠DAE +∠AFD =90°，∠EAD =∠EAB ，
∴∠EAC =∠AFD ，
∴CF =AC =6，
∴DF =2，
∵AD 2=AC 2−CD 2=62−42=20，
∴AF =√AD 2+DF 2=√20+4=2√6．
【知识点】解直角三角形、垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质
【解析】(1)连接AD ，通过E 是弧BD 的中点，∠C =2∠EAB 求证∠BAC =90°即可求证AC 是⊙O 的切线；
(2)利用cosC =23，CA =6求出CD 的长，再通过求证∠EAC =∠AFD 即可推出CF =AC =6，再利用勾股定理即可计算出AF 的长．
本题考查与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，本题正确作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键． 25.【答案】解：(1)设购买的甲种树苗的单价为x 元，乙种树苗的单价为y 元．依题意得：
{50x +20y =500030x +10y =2800
， 解这个方程组得：{x =60y =100
， 答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；
(2)设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(500−a)棵，由题意得，
{60a +100(500−a)≤42000
500−a ≥14a
， 解得，200≤a ≤400．
∴甲种树苗数量a 的取值范围是200≤a ≤400．
(3)设购买的甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗(500−a)棵，总费用为W ，
∴W =60a +100(500−a)=50000−40a ．
∵−40<0，
∴W 值随a 值的增大而减小，
∵200≤a ≤400，
∴当x=400时，W取最小值，最小值为50000−40×400=34000元．
即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．
【知识点】一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用
【解析】(1)设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得；
(2)设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(500−a)棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；
(3)设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(500−a)棵，总费用为W，即可得出W关于a的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据相等关系和不等式关系建立方程和不等式是关键．
26.【答案】是
【知识点】四边形综合
【解析】解：(1)P是边BC的“和谐点”，理由如下：
连接PB、PC，如图1，∵PA=PD，
∴∠PDA=∠PAD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠CDA=∠BAD=90°，
∴∠BAP=∠CDP，
在△BAP和△CDP中，
{PA=PD
∠BAP=∠CDP AB=CD
，
∴△BAP≌△CDP(SAS)，
∴PB=PC，
∴P是边BC的“和谐点”，
故答案为：是；
(2)∵P是边BC的“和谐点”，
由(1)可知：P也是边AD的“和谐点”，
∴PB=PC，PA=PD，
∴点P在AD和BC的垂直平分线上，
过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，如图2，
则AE=1
2
AD，∠PEA=∠PFA=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BC=AD=8，
∴四边形AEPF是矩形，AE=4，
∴AE=PF=4，
∵∠APB=90°，且P在矩形内部，
∴∠APF+∠BPF=90°，
∵PF⊥AB，
∴∠AFP=∠PFB=90°，
∴∠APF+∠PAF=90°，
∴∠PAF=∠BPF，
∴△APF∽△PBF，
∴AF：PF=PF：BF，
∴PF2=AF⋅BF，
∴PF2=AF(AB−AF)，
设AF=x，
则BF=10−x，
∴x(10−x)=42，
解得：x=2或x=8，
当AF=2时，PA=√AF2+PF2=√22+42=2√5；当AF=8时，PA=√AF2+PF2=√82+42=4√5；∴PA的值为2√5或4√5；
(3)过点P作PN⊥AB于N，如图3，
由(2)知：点P在AD和BC的垂直平分线上，
∴PN=1
2
BC=4，
∵tan∠PAB=PN
AN ，tan∠PBA=PN
BN
，
∴tan∠PAB ⋅tan∠PBA =
PN AN ⋅PN BN =PN 2AN⋅BN =16AN⋅BN ， ∴1tan∠PAB⋅tan∠PBA =AN⋅BN 16，
设AN =x ，则BN =10−x ，
∴AN ⋅BN =x(10−x)=−x 2+10x =−(x −5)2+25，
当x =5时，AN ⋅BN 有最大值25，
∴AN⋅BN 16有最大值2516，
∴当x =5时，1tan∠PAB⋅tan∠PBA 的最大值是2516．
(1)连接PB 、PC ，证明△BAP≌△CDP(SAS)，得PB =PC ，即可得出结论；
(2)先由“和谐点”的定义得PB =PC ，PA =PD ，点P 在AD 和BC 的垂直平分线上，
过点P 作PE ⊥AD 于E ，PF ⊥AB 于F ，求出AE =PF =3，再证△APF∽△PBF ，得PF 2=
AF ⋅BF ，设AF =x ，则BF =10−x ，解得：x =2或x =8，再利用勾股定理，即可求解；
(3)过点P 作PN ⊥AB 于N ，再证明1tan∠PAB⋅tan∠PBA =AN⋅BN 16，设AN =x ，则BN =10−x ，
得到AN ⋅BN 关于x 的二次函数，进而即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，新定义“和谐点”的判定和性质，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，二次函数的应用等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握新定义“和谐点”的判定和性质，证明三角形全等和三角形相似是解题关键． 27.【答案】解：(1)将点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y =ax 2+bx +c 中，
得到{a −b +c =0
9a +3b +c =0c =3
，解得{a =−1b =2c =3，
∴y =−x 2+2x +3；
(2)函数对称轴为直线x =1，
设G(1,m)，
由已知可得OA =1，OC =3，
∵NG ⊥x 轴，CO ⊥x 轴，
∴NG//OC ，
∵N(1,0)，
∴ON =1，
当以O 、N 、G 为顶点的三角形与△AOC 相似时，。