2020-2021学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一(上)期中数学试卷

2020-
2021学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（上）期中数学试卷
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）已知集合A={1.3.5.7.9}.B={0.3.6.9.12}.则A∩B=（ ）
A.{3.5}
B.{3.6}
C.{3.7}
D.{3.9}
2.（单选题.5分）已知幂函数f （x ）的图象经过点（9.27）.则f （x ）=（ ）
A. x 32
B. x 23
C. 3x 3
D. 13x 2
3.（单选题.5分）不等式 x+12x−1≤0 的解集为（ ）
A.[-1. 12 ）
B.[-1. 12 ]
C.（-∞.-1]∪（ 12，+∞ ）
D.（-∞.-1]∪[ 12，+∞ ）
4.（单选题.5 2
√a•√a 23 的结果为（ ）
A. a 3
2
B. a 1
6
C. a 5
6
D. a 6
5
5.（单选题.5分）若函数y=a x +b-1（a ＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限.一定有（
）
A.0＜a ＜1且b ＜0
B.a ＞1且b ＞0
C.0＜a ＜1且b ＞0
D.a＞1且b＜0
6.（单选题.5分）“∀x∈[1.2].ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是（）
A.a≤-1
B. a≤−1
4
C.a≤-2
D.a≤0
7.（单选题.5分）设a＞0.b＞0.a+4b=1.则使不等式t≤ a+b
ab
恒成立的实数t的取值范围是（）
A.t≤8
B.t≥8
C.t≤9
D.t≥9
8.（单选题.5分）设奇函数f（x）满足：① f（x）在（0.+∞）上单调递增；② f（1）=0.则不等式（x+1）f（x）＞0的解集为（）
A.（-∞.-1）∪（1.+∞）
B.（0.1）
C.（-∞.-1）
D.（-∞.-1）∪（-1.0）∪（1.+∞）
9.（多选题.5分）下面命题正确的是（）
A.“a＞1”是“ 1
a
＜1”的充分不必要条件
B.命题“任意x∈R.则x2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R.则x2+x+1≥0”
C.设x.y∈R.则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a.b∈R.则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
10.（多选题.5分）设a＞1＞b＞-1.b≠0.则下列不等式中恒成立的是（）
A. 1
a ＜1
b
B. 1
a ＞1
b
C.a＞b2
D.a2＞b2
11.（多选题.5分）下列四个命题：其中不正确命题的是（）
A.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.在（-∞.0]上单调递增.则f（x）在R上是增函数
B.若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点.则b2-8a＜0且a＞0
C.当a＞b＞c时.则有ab＞ac成立
D.y=1+x和y=√(1+x)2表示同一个函数
12.（多选题.5分）设正实数a.b满足a+b=1.则下列结论正确的是（）
A. 1
a +1
b
有最小值4
B. √ab有最小值1
2
C. √a+√b有最大值√2
D.a2+b2有最小值1
2
13.（填空题.5分）幂函数f（x）的图象经过点(3，√3) .则f（8）的值等于___ ．
14.（填空题.5分）若函数f（x）= x2
1+x2
.g（x）= √x .则f（g（√2））=___ ．
15.（填空题.5分）如果方程x2+（m-1）x+m2-2=0的两个实根一个小于‒1.另一个大于1.那么实数m的取值范围是___ ．
16.（填空题.5分）设a＞0.b＞0.且a+2b=6.则√2a+1 +2 √b+3的最大值为___ ．
17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=
√x−1
}.B={y|y=3x-1}．
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）若M={x|mx+4＜0}且（A∩B）⊆M.求实数m的取值范围．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）= x2+1
x
．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）当x＜-1时.判断并证明f（x）的单调性．
19.（问答题.12分）已知集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}.B={x|a＜x＜3a}.且a＞0．
（1）若x∈A是x∈B的充分不必要条件.求实数a的取值范围；
（2）若命题“A∩B≠∅”为假命题.求实数a的取值范围．
20.（问答题.12分）已知f（x）是二次函数.且满足f（0）=2.f（x+1）-f（x）=2x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设h（x）=f（x）-2tx.当x∈[1.3]时.求函数h（x）的最小值．
21.（问答题.12分）中国“一带一路”战略提出后.某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇.决定
开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元.每生产x台需要另投入
x2 +40x（万元）；当年产量不少于80
成本c（x）（万元）.当年产量不足80台时c（x）= 1
2
-2180（万元）．若每台设备的售价为100万元.通过市场分析.该企
台时c（x）=101x+ 8100
x
业生产的电子设备能全部售完．
（Ⅰ）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量为多少台时.该企业在这一电子设备的生产中获利最大？
22.（问答题.12分）已知函数：f（x）=x2+bx+c.（b.c∈R）.且f（x）≤0的解集为[-1.2]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：mf（x）＞2（x-m-1）．（其中m≥0）；
（3）设g（x）=2 f(x)−x2+3 .若对任意的x1.x2∈[-1.2].都有|g（x1）-g（x2）|≤t.求t的取值范围．
2020-
2021学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）已知集合A={1.3.5.7.9}.B={0.3.6.9.12}.则A∩B=（）
A.{3.5}
B.{3.6}
C.{3.7}
D.{3.9}
【正确答案】：D
【解析】：直接按照集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】：解：因为A∩B={1.3.5.7.9}∩{0.3.6.9.12}={3.9}
故选：D．
【点评】：本题考查交集及其运算.找出集合中的元素.不重复而且是两个集合的公共元素.才是二者的交集．基础题．
2.（单选题.5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（9.27）.则f（x）=（）
A. x32
B. x23
C. 3x3
D. 1
3
x2
【正确答案】：A
【解析】：设出幂函数f（x）的解析式.由函数图象过点（9.27）列方程求出α的值即可．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα.
由函数图象过点（9.27）.所以9α=27.解得α= 3
2
；
所以f（x）= x 3 2．
故选：A ．
【点评】：本题考查了利用待定系数法求函数解析式应用问题.是基础题．
3.（单选题.5分）不等式 x+12x−1≤0 的解集为（ ）
A.[-1. 12 ）
B.[-1. 12 ]
C.（-∞.-1]∪（ 12，+∞ ）
D.（-∞.-1]∪[ 12，+∞ ）
【正确答案】：A
【解析】：根据题意.分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0.解可得x 的取值范围.即可得答案．
【解答】：解：根据题意.原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0.
解可得：-1≤x ＜ 12 .
及原不等式的解集为[-1. 12 ）；
故选：A ．
【点评】：本题考查分式不等式的解法.关键是将分式不等式变形为整式不等式．
4.（单选题.5
2√a•√a 23 的结果为（ ） A. a 32
B. a 16
C. a 56
D. a 65
【正确答案】：C
【解析】：化根式为分数指数幂.再由有理指数幂的运算性质化简求值．
【解答】：解：
2√a•√a 23 = a 2•a −12•a −23=a 2−12−23=a 56 ．
故选：C ．
【点评】：本题考查有理指数幂的化简求值.是基础的计算题．
5.（单选题.5分）若函数y=a x+b-1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限.一定有（）
A.0＜a＜1且b＜0
B.a＞1且b＞0
C.0＜a＜1且b＞0
D.a＞1且b＜0
【正确答案】：A
【解析】：观察到函数是一个指数型的函数.不妨作出其图象.从图象上看出其是一个减函数.并
且是由某个指数函数向下平移而得到的.故可得出结论．
【解答】：解：如图所示.图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零）.即a0+b-1＜0.且0＜a＜1.
∴0＜a＜1.且b＜0．
故选：A．
【点评】：考查指数型函数的图象与性质.本题由函数的图象可以看出其变化趋势.由图象特征
推测出参数的范围．
6.（单选题.5分）“∀x∈[1.2].ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是（）
A.a≤-1
B. a≤−1
4
C.a≤-2
D.a≤0
【正确答案】：A
【解析】：由a=- 1
x2 .设g（x）=- 1
x2
.从而g（x）=- 1
x2
在[1.2]上单调递增.进而g（x）min=g（1）
=-1.a≤-1.由此得到a≤-1.由此能求出“∀x∈[1.2].ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件．
【解答】：解：∵∀x∈[1.2].ax2+1≤0.∴ax2≤-1. ∴a=- 1
x2
.
设g（x）=- 1
x2 .则g（x）=- 1
x2
在[1.2]上单调递增.
∴g（x）min=g（1）=-1.
∴a≤-1.
∴“∀x∈[1.2].ax2+1≤0”⇒“a≤-1”.
“a≤-1”⇒“∀x∈[1.2].ax2+1≤0”．
∴“∀x∈[1.2].ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是a≤-1．
故选：A．
【点评】：本题考查充分条件条件的求法.考查不等式的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．
7.（单选题.5分）设a＞0.b＞0.a+4b=1.则使不等式t≤ a+b
ab
恒成立的实数t的取值范围是（）
A.t≤8
B.t≥8
C.t≤9
D.t≥9
【正确答案】：C
【解析】：使不等式t≤ a+b
ab 恒成立.转化为求a+b
ab
的最小值.将已知等式与a+b
ab
相乘展开.利用基
本不等式求最小值.从而求出t的范围．
【解答】：解：因为a＞0.b＞0.所以t≤ a+b
ab 等价于t≤ 1
a
+ 1
b
.只需t≤（1
a
+1
b
）min.
而1
a + 1
b
=（1
a
+1
b
）（a+4b）= a
b
+ 4b
a
+5≥2 √a
b
×4b
a
+5=9.
当且仅当a
b = 4b
a
.即a=2b= 1
3
时取“=”．
∴t≤9；
故选：C．
【点评】：本题考查了基本不等式的运用；关键是巧用已知等式将所求转化为求分式的最小值．属于中档题．
8.（单选题.5分）设奇函数f （x ）满足： ① f （x ）在（0.+∞）上单调递增； ② f （1）=0.则不等式（x+1）f （x ）＞0的解集为（ ）
A.（-∞.-1）∪（1.+∞）
B.（0.1）
C.（-∞.-1）
D.（-∞.-1）∪（-1.0）∪（1.+∞）
【正确答案】：D
【解析】：根据题意.由函数的奇偶性与单调性分析可得f （x ）＜0和f （x ）＞0的解集.又由f （x+1）f （x ）＞0⇒ {
x +1＞0f (x )＞0 或 {x +1＜0f (x )＜0
.解可得x 的取值范围.即可得答案．
【解答】：解：根据题意.函数f （x ）在（0.+∞）上单调递增且f （1）=0.
则在区间（0.1）上.f （x ）＜0.在区间（1.+∞）上.f （x ）＞0；
又由f （x ）为奇函数.在区间（-∞.-1）上.f （x ）＜0.在区间（-1.0）上.f （x ）＞0.
则f （x+1）f （x ）＞0⇒ {x +1＞0f (x )＞0 或 {x +1＜0f (x )＜0
. 解可得：x ＜-1或-1＜x ＜0或x ＞1.
即x 的取值范围为（-∞.-1）∪（-1.0）∪（1.+∞）；
故选：D ．
【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.涉及不等式的解法.属于基础题．
9.（多选题.5分）下面命题正确的是（ ）
A.“a ＞1”是“ 1a ＜1 ”的充分不必要条件
B.命题“任意x∈R .则x 2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R .则x 2+x+1≥0”
C.设x.y∈R .则“x≥2且y≥2”是“x 2+y 2≥4”的必要而不充分条件
D.设a.b∈R .则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
【正确答案】：ABD
【解析】：直接利用命题的否定和四个条件的应用求出结果．
【解答】：解：对于选项A ：当“a ＞1”时.“ 1a ＜1 ”成立.但是当“ 1a ＜1 ”时.a ＞1或a ＜0.故“a ＞1”是“ 1a ＜1 ”的充分不必要条件.故错误．
对于选项B ：命题“任意x∈R .则x 2+x+1＜0”的否定是“存在x∈R .则x 2+x+1≥0”．故正确．
对于选项C：设x.y∈R.则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件.故错误．
对于选项D：设a.b∈R.则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件.正确．
故选：ABD．
【点评】：本题考查的知识要点：命题的否定和四个条件的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．
10.（多选题.5分）设a＞1＞b＞-1.b≠0.则下列不等式中恒成立的是（）
A. 1
a ＜1
b
B. 1
a ＞1
b
C.a＞b2
D.a2＞b2
【正确答案】：CD
【解析】：直接利用不等式的性质和赋值法的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】：解：对于A：当b＜0时. 1
a ＜1
b
不成立.故A错误；
对于B：当a=2.b= 1
2
时.选项B不成立.故B错误；
对于C：由于a＞1.-1＜b＜1.所以a＞b2.故C正确；
对于D：a＞1.-1＜b＜1.故a2＞b2.故D正确．
故选：CD．
【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质.赋值法.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．
11.（多选题.5分）下列四个命题：其中不正确命题的是（）
A.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增.在（-∞.0]上单调递增.则f（x）在R上是增函数
B.若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点.则b2-8a＜0且a＞0
C.当a＞b＞c时.则有ab＞ac成立
D.y=1+x和y=√(1+x)2表示同一个函数
【正确答案】：ABCD
【解析】：利用反例判断A、B、C.同一函数的判断方法.判断D的正误．
【解答】：解：函数f（x）= {x，x＞0
2x+1，x≤0
.在（0.+∞）上单调递增.在（-∞.0]上单调递增.
但是f（x）在R上不是增函数．所以A不正确；
当a=b=0时.函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点.所以若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点.则b2-8a＜0且a＞0.所以B不正确；
当a=0＞b＞c时.推不出ab＞ac.所以C不正确；
y=1+x和y=√(1+x)2 .两个函数的定义域相同.对应法则不相同.所以不是相同的函数.所以D 不正确；
故选：ABCD．
【点评】：本题考查命题的真假的判断.考查函数的单调性函数的零点.不等式的基本性质.是基本知识的考查.基础题．
12.（多选题.5分）设正实数a.b满足a+b=1.则下列结论正确的是（）
A. 1
a +1
b
有最小值4
B. √ab有最小值1
2
C. √a+√b有最大值√2
D.a2+b2有最小值1
2【正确答案】：ACD
【解析】：由a+b=1.根据2ab
a+b ≤ √ab≤ a+b
2
≤ √a2+b2
2
.逐一判断各选项即可．
【解答】：解：正实数a.b满足a+b=1. 对于A.即有a+b≥2 √ab .可得0＜ab≤ 1
4
.
即有1
a + 1
b
= 1
ab
≥4.即有a=b时. 1
a
+ 1
b
取得最小值4.故A正确；
对于B.由0＜√ab≤ 1
2 .可得√ab有最大值1
2
.故B错误；
对于C.由√a + √b = √a+b+2√ab = √1+2√ab≤ √1+2×1
2
= √2 . 可得a=b时. √a + √b取得最大值√2 .故C正确；
对于D.由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2=1.
则a2+b2≥ 1
2 .当a=b= 1
2
时.a2+b2取得最小值1
2
.故D正确．
综上可得A.C.D均正确．
故选：ACD．
【点评】：本题考查了基本不等式及其应用.考查了转化思想.属于基础题．
13.（填空题.5分）幂函数f（x）的图象经过点(3，√3) .则f（8）的值等于___ ．
【正确答案】：[1] 2√2
【解析】：设幂函数y=f（x）=x a.由幂函数y=f（x）的图象经过点(3，√3) .知3a= √3 .由此能求出这个幂函数的解析式.从而得出答案．
【解答】：解：设幂函数y=f（x）=x a.
∵幂函数y=f（x）的图象经过点(3，√3) .
∴3a= √3 .
∴a= 1
2
.
∴这个幂函数的解析式为y= √x．
则f（8）= 2√2
故答案为：2√2．
【点评】：本题考查幂函数的概念和应用.考查待定系数法．是基础题．
14.（填空题.5分）若函数f（x）= x2
1+x2
.g（x）= √x .则f（g（√2））=___ ．
【正确答案】：[1]2- √2
【解析】：直接代解析式即可．
【解答】：解：∵函数f（x）= x 2
1+x2
.g（x）= √x . ∴g（√2）=2 14 .
∴f（g（√2））=f（2 14）= (2
1 4)
2
1+(21
4)
2
= √2
1+√2
= √2（√2−1）=2- √2．
故答案为：2- √2．
【点评】：本题考查了函数值的求解．属基础题．
15.（填空题.5分）如果方程x2+（m-1）x+m2-2=0的两个实根一个小于‒1.另一个大于1.那么实数m的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1]（0.1）
【解析】：方程对应的二次函数开口向上.方程x 2+（m-1）x+m 2-2=0的两个实根一个小于‒1.另一个大于1.只需f （1）＜0.且f （-1）＜0可求得m 的范围．
【解答】：解：方程x 2+（m-1）x+m 2-2=0对应的二次函数.f （x ）=x 2+（m-1）x+m 2-2开口向上.
方程x 2+（m-1）x+m 2-2=0的两个实根一个小于‒1.另一个大于1.只需
f （1）＜0.且f （-1）＜0. {1+(m −1)+m 2−2＜ 01−(m −1)+m 2−2＜ 0
解得m∈（0.1） 故答案为：（0.1）
【点评】：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系.是基础题．
16.（填空题.5分）设a ＞0.b ＞0.且a+2b=6.则 √2a +1 +2 √b +3 的最大值为___ ．
【正确答案】：[1]5 √2
【解析】：根据 √
a 2+
b 22≥a+b 2
.即可求解最大值．
【解答】：解：由a ＞0.b ＞0.且a+2b=6.
可得2a+4b=12.
则 √2a +1 +2 √b +3 = √2a +1+√4b +12 ≤2√
2a+1+4b+122 = 2√252 = 5√2 .当且仅当2a=4b+11时取等号.
∴ √2a +1 +2 √b +3 的最大值为 5√2 .
故答案为 5√2 ．
【点评】：本题主要考查函数最值的求解.根据基本不等式的性质解决本题的关键.属于基础题．
17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=
√x−1 }.B={y|y=3x-1}． （Ⅰ）求A∩B ；
（Ⅱ）若M={x|mx+4＜0}且（A∩B ）⊆M .求实数m 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）首先确定A、B.然后根据交集定义求出即可；
（Ⅱ）根据（A∩B）⊆M即可求解结论．
【解答】：解：∵集合A={x|y=
√x−1
}={x|x＞1}=（1.+∞）.B={y|y=3x-1}={y|y＞0}=
（0.+∞）．
（Ⅰ）A∩B=（1.+∞）.
（Ⅱ）∵M={x|mx+4＜0}且（A∩B）⊆M.
∴m＜0且M={x|x＞- 4
m
}.
故需：m＜0且- 4
m
≤1.
可得：m≤-4.
∴实数m的取值范围：（-∞.-4]．
【点评】：本题考查的知识点是集合的包含关系应用.集合关系中的参数问题.属基础题．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）= x2+1
x
．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）当x＜-1时.判断并证明f（x）的单调性．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用函数的奇偶性的定义真假证明即可．
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
【解答】：（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}.关于原点对称．
∵ f(−x)=(−x)2+1
−x =−x2+1
x
=−f(x) .
所以.f（x）为奇函数．
（2）证明：假设任意x1＜x2＜-1．
f(x1)−f(x2)=x12+1
x1−x22+1
x2
=x12x2+x2−x1x22−x1
x1x2
= (x1−x2)(x1x2−1)
x1x2
.
∵x1＜x2＜-1.x1-x2＜0.x1x2＞1.
∴f （x 1）-f （x 2）＜0.所以f （x ）为单调递增函数．
【点评】：本题考查函数的奇偶性以及核对的单调性的定义的应用.是基本知识的考查．
19.（问答题.12分）已知集合A={x|（x-2）（x-3）＜0}.B={x|a ＜x ＜3a}.且a ＞0．
（1）若x∈A 是x∈B 的充分不必要条件.求实数a 的取值范围；
（2）若命题“A∩B≠∅”为假命题.求实数a 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）表示出集合A.利用充分不必要条件条件可得A ⫋B.列出关于a 的不等式组.解不等式组即可；
（2）根据条件可得“A∩B=∅”.进而根据集合之间的关系可得a 的取值范围．
【解答】：解：（1）A={x|2＜x ＜3}.
又因为a ＞0.3a ＞a.
由题知A ⫋B.所以 {a ≤23a ≥3
.且等号不同时成立； 解得1≤a≤2．
所以实数a 的取值范围为[1.2]．
（2）因为命题“A∩B≠∅”为假命题.即满足“A∩B=∅”.
所以a≥3或3a≤2.又因为a ＞0.
解得0＜a≤ 23 或a≥3．
所以实数a 的取值范围为（0. 23 ]∪[3.+∞）．
【点评】：本题考查命题的真假及集合之间的子集关系问题.考查转化思想.属于中档题．
20.（问答题.12分）已知f （x ）是二次函数.且满足f （0）=2.f （x+1）-f （x ）=2x+3．
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）设h （x ）=f （x ）-2tx.当x∈[1.3]时.求函数h （x ）的最小值．
【解析】：（1）可设f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0）.然后由f （0）=c=2.f （x+1）-f （x ）=2x+3.列方程组.即可求解；
（2）由（1）得h （x ）=x 2+2（1-t ）x+2.对称轴为直线x=t-1.然后根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论.即可求解．
【解答】：解：（1）设f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0）.∵f （0）=2.f （x+1）-f （x ）=2x+3． ∴ {c =2a (x +1)2+b (x +1)+c −(ax 2+bx +c )=2x +3 .即 {c =22ax +a +b =2x +3
； 所以 {c =2
a =1
b =2
.∴f （x ）=x 2+2x+2．
（2）由题意得h （x ）=x 2+2（1-t ）x+2.对称轴为直线x=t-1.
① 当t-1≤1即t≤2时.函数在[1.3]上单调递增.h （x ）min =h （1）=5-2t.
② 当1＜t-1＜3即2＜t ＜4时.函数h （x ）的最小值为h （t-1）=-t 2+2t+1
③ 当t-1≥3即t≥4时.h （x ）的最小值为h （3）=-6t+17．
综上所述：h （x ）min =g （t ）= {5−2t ，
t ≤2−t 2+2t +1，2＜t ＜4−6t +17，
t ≥4 ．
【点评】：本题主要考查了待定系数法求函数解析式.及二次函数闭区间上的最值.体现了分类讨论思想.属于中档题．
21.（问答题.12分）中国“一带一路”战略提出后.某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇.决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元.每生产x 台需要另投入成本c （x ）（万元）.当年产量不足80台时c （x ）= 12x 2 +40x （万元）；当年产量不少于80台时c （x ）=101x+ 8100x -2180（万元）．若每台设备的售价为100万元.通过市场分析.该企业生产的电子设备能全部售完．
（Ⅰ）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；
（Ⅱ）年产量为多少台时.该企业在这一电子设备的生产中获利最大？
【解析】：（Ⅰ）通过利润=销售收入-成本.分0＜x ＜80、x≥80两种情况讨论即可；
（Ⅰ）通过（Ⅱ）配方可知当0＜x ＜80时.当x=60时y 取得最大值为1300（万元）.利用基本不等式可知当x≥80时.当x=90时y 取最大值为1500（万元）.比较即得结论．
【解答】：解：（Ⅰ）当0＜x ＜80时.y=100x-（ 12 x 2+40x ）-500=- 12 x 2+60x-500.
当x≥80时.y=100x-（101x+
810x -2180）-500=1680-（x+ 8100x ）. 于是 y ={−12x 2+60x −500，0＜x ＜801680−(x +8100x
)，x ≥80 . （Ⅰ）由（Ⅱ）可知当0＜x ＜80时.y=- 12 （x-60）2+1300.
此时当x=60时y 取得最大值为1300（万元）.
当x≥80时.y=1680-（x+
8100x ）≤1680-2 √x •8100x =1500. 当且仅当x= 8100x 即x=90时y 取最大值为1500（万元）.
综上所述.当年产量为90台时.该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大.最大利润为1500万元．
【点评】：本题考查函数模型的选择与应用.考查基本不等式.注意解题方法的积累.属于中档题．
22.（问答题.12分）已知函数：f （x ）=x 2+bx+c.（b.c∈R ）.且f （x ）≤0的解集为[-1.2]．
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）解关于x 的不等式：mf （x ）＞2（x-m-1）．（其中m≥0）；
（3）设g （x ）=2 f (x )−x
2+3 .若对任意的x 1.x 2∈[-1.2].都有|g （x 1）-g （x 2）|≤t .求t 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意利用二次函数的性质可得x 2+bx+c=0的根为-1与2.再利用韦达定理求得b 、c 的值.可得函数的解析式．
（2）不等式即 m （x- 2m ）（x-1）＞0.分类讨论m 的范围.求出它的解集．
（3）由题意可得 g （x ）=21-x 为R 上的减函数.且 y=|g （x 1）-g （x 2）|的最大值小于等于
t．求出y的最大值.可得t的范围．
【解答】：解：（1）∵函数f（x）=x2+bx+c.（b.c∈R）.且f（x）≤0的解集为[-1.2]. ∴x2+bx+c=0的根为-1与2.即-1+2=-b.-2=c.得b=-1.c=-2.
故 f（x）=x2-x-2．
（2）mf（x）＞2（x-m-1）.即mx2-（2m+2）x+2＞0.即 m（x- 2
m
）（x-1）＞0．1°当m=0时.不等式解集为（-∞.1）；
2°当0＜m＜2时.不等式的解集为（-∞.1）∪（2
m
.+∞）；
3°当m＞2时.不等式的解集为（-∞. 2
m
）∪（1.+∞）；
4°当m=2时.不等式解集为（-∞.1）∪（1.+∞）．
（3）∵g（x）=2 f(x)−x2+3 =21-x 为R上的减函数.且对任意x1.x2∈[-1.2].
都有|g（x1）-g（x2）|≤t.即 y=|g（x1）-g（x2）|的最大值小于等于t．
故有 y的最大值为g（-1）-g（2）=4- 1
2 = 7
2
.∴t≥ 7
2
．
【点评】：本题主要考查二次函数的性质应用.体现了分类讨论的数学思想.函数的单调性应用.求函数的最值.属于中档题．。