双曲线与直线：几何不变性及常见图形(教师版)--初中数学四维三难【人教版】

双曲线与直线：几何不变性及常见图形一、课堂目标
理解并掌握双曲线几何不变性常见图形及结论，并能解决相关问题．
二、知识讲解
面积不变性
反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线所围成的矩形的面积都是 的，为 ．
矩形
梯形
平行关系与比例关系
结论：，
线段等量关系
结论：
例题1
【解析】【标注】如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点、，它们的横坐标分别是、，则
的面积是 ．
【答案】
过、分别作轴于，
轴于，，
，依据反比例函数的
几何意义可知，
．
【知识点】反比例函数中三角形面积与梯形面积的转化
梯形
练习1
1.如图，、是函数图像上的任意两点，过点作轴的垂线
，垂足为，过点作轴的垂线
，垂足为，连接交于点，设的面积为，则 ，梯形
面积为
，
的面积
，则
与
的大小关系是
．
【解析】【标注】【答案】 ;
，
又∵，
∴，∴
．．
∴．
又∵
，
，
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
A. B. C. D.
2.【解析】
如图，点和是反比例函数图象上任意两点，过、分别作轴的垂线，垂足为和，连接
、
、
，
的面积为，则梯形
的面积为（ ）．
【答案】C 如图，记与的交点为．∵，
∴．
∴
．
四边形
【标注】∴．
∴
．
故选．
【知识点】反比例函数中三角形面积与梯形面积的转化
四边形
梯形
例题2
【解析】
【标注】如图，点为矩形的
边的中点，反比例函数
的图象经过点，交
边于
点．若
的面积为，则
．
x
y
O
【答案】设，∵点为矩形的
边的中点，
∴，∴，∵的面积为，
∴
，解得
．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）
练习2
1.如图，在以为原点的直角坐标系中，点、分别在轴轴的正半轴上，点在第一象限内，四边形是矩形，反比例函数
与
相交于点，与
相于点，若
，
四边形
的面积是，则
．
【解析】【标注】y
O
x
【答案】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，∴
，
．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）
四边形
四边形
2.【解析】如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴正半轴上，以、为边作矩形
，双曲线
交
于点，
．则矩形
的面积是 ．
【答案】∵ ，∴ ．
又∵ ，
∴
，
【标注】∵点在上，
∴，∴矩形
面积为
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
例题3
【解析】【标注】如图所示，双曲线
经过斜边上的点，且满足
，与
交于点，
，求
．
【答案】过点作轴与，
依题可知
，
，
，
设，
，
解得
，
．
【知识点】反比例函数与三角形的相似
练习31.如图，双曲线
经过
斜边上的点，与直角边
相交于点，已知
，
的面积为，则的值是 ．
【答案】
方法一：方法二：【解析】【标注】∵，
∴
，
，
，
故答案为：
．
过点作轴于点，如图，
则，
∴，
∴，
而，即，设
点坐标为
，则
，，∴
，，
∴点坐标为，
∴点的横坐标为，设
点的纵坐标为，∵点与点都在图象上，
∴，
∴，即点坐标为
，
∵，的面积为，
∴的面积为，
∴的面积
，
∴，即，
∴，∴
．
故答案为：
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
2.如图，反比例函数（，）的图象过点和点．
（1）（2）
（
1）
（2）
【解析】
【标注】
若，，求的面积．
设、两点的横坐标分别是、，若，求的值．【答案】（1）
（2
）
．
．
过点作轴于点．
过点作轴于
点．
将代入，则．
∴．
∴．
设，．
．
∴．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）例题4
如图，点和点都在反比例函数的图象上．
（1）（2）（3）（1）（2）（3）【解析】求该反比例函数的解析式．当，求直线的解析式．当
时，过点
作
轴，垂足为，过点作轴，垂足为，直线
交轴
于点，试说明四边形
是平行四边形．
【答案】（1）
（2）
（3）．
．
证明见解析
∵点
在反比例函数
的图象上，
∴，
∴
．
∵点
都在反比例函数
的图象上，
∴，当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
把点
和
代入得：
，
解得：，
∴直线
的解析式为：
．如图，把
代入
得
，
∴，
把
，点坐标代入得，
【标注】，
，
∴直线解析式为
，
∴，又因为轴，
∴，∴，
因为轴，∴，，
∴，∴四边形
是平行四边形．
【知识点】反比例函数与四边形综合
练习4
1.如图，在平面直角坐标系中，点，在双曲线(是常数，且
)上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知点的坐标为
，四边形
的面积为，则点
的坐标为 ．
【解析】【标注】【答案】连接
、
，
∵点在双曲线(是常数，且)上，点的坐标为，
∴，又∵轴于点，∴，
∴
的面积
的面积
，
又∵四边形的面积为
，
∴的面积，
设
，
∵轴于点，的坐标为，
∴，
∵，
解得，∴
，∴点的坐标为．
故答案为：
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
2.如图，点、在函数（，）的图像上，直线分别与轴，轴交于点，，
过点作
轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的是 ．（将正确的
序号填在横线上）①若的面积为，且，则
的面积是
；
②若
且
，则
；
【解析】【标注】③；④；⑤若
，则线段
的中点在直线
上．
【答案】①③④略．
【知识点】反比例函数与三角形综合
三、出门测
1.【解析】如图，平行四边形
中，顶点在轴负半轴上，、在第二象限，对角线交于点，若、两点在反比例函数
的图象上，且平行四边形
的面积为
，则的值是 ．
【答案】作
轴，
轴，
【标注】∵平行四边形的面积等于，
∴
的面积为，
∵点是线段的中点，，
∴是
的中位线，∴，
，又∵，
∴，
∴，
即，
又∵（反比例函数在第二象限），∴
．
【知识点】根据条件求反比例函数解析式（或k的值）
2.【解析】如图，矩形的顶点、的坐标分别是
、，反比例函数的图象过对角线的交点并且与、
分别交于、两点，连接
、
、
，则
的面积
为 ．
【答案】∵
，
，由矩形的性质可得
，
把点坐标代入反比例函数解析式可得，
∴反比例函数解析式为
，点的横坐标为，
【标注】∴纵坐标为，点的纵坐标为，∴，
，则
，
∴
．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义
四边形
3.【解析】【标注】如图，在平面直角坐标系中，函数
的图象经过矩形的边、的中点、
，则四边形
的面积为 ．
【答案】连接
，如图，
∵点、为矩形的边、的中点，
∴，
，
∴四边形的面积
．
故答案为：．
【知识点】反比例函数的系数k的几何意义。