第三类边界条件

第四章导热问题的数值解法34一维非稳态导热离散方程的建立21内节点一维非稳态导热离散方程的建立对于形如式311所示的一维非稳态导热方程如扩散项取中心差分非稳态项取向前差分则有求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度出发根据边界条件依次求得各个时间层上的温度值有此式可见一旦i时层上各节点的温度已知可立即算出i1时层上各点的温度值而不必联立方程因而该式所代表的计算格式称为显示差分格式
a11
a21 a23 1,
a22
a31 a32 1,
a33
2）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方 程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收 敛。
第四章 导热问题的数值解法
30
4.3非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与问题导热的主要区别在于控制方程中多了一个非
重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他 所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用 于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度)前的 系数。
第四章 导热问题的数值解法
20
4-2 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为 已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
25
2.节点方程组的求解 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个未知节点温度，n个代数方程式：
t1 a11t1 a12t2 ...... a1ntn b1 t2 a21t1 a22t2 ...... a2ntn b2 ........................................ tn an1t1 an2t2 ...... anntn bn
y 2
截断误差
未明确写出的级数余项
中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
12
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t x 2
2t y 2
v
0
其节点方程为：
ti1, j
2ti , j ti1, j
x2
ti , j1
2ti, j
y 2
ti , j1
v,i, j
y
dt dx
y
tm1,n tm,n x
右
y tm1,n tm,n
x
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
上
x tm,n1 tm,n
y
下
x tm,n1 tm,n
y
内热源：Φv Φ V Φ xy
第四章 导热问题的数值解法
18
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
y tm1,n tm,n y tm1,n tm,n x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,n
即： i v o
单位：[W]
第四章 导热问题的数值解法
14
i v o i (o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
第四章 导热问题的数值解法
15
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0
第四章 导热问题的数值解法
22
(2) 外部角点
y x
qw
y 2
tm1,n tm,n x
y 2
qw
x 2
qw
x 2
tm,n1 y
tm,n
Φ m,n
x 2
y 2
0
x y
2tm,n
tm1,n
tm,n1
2x
qw
Φm,n
x2
2
第四章 导热问题的数值解法
23
(3) 内部角点
y x
qw
y
tm1,n tm,n x
绝热或对称边界条件？
(2)第三类边界条件：将 qw h(t f tm,n ) ，带入上面各式
即可
？
课堂作业：将 qw h(t f tm,n ) 带入外部角点的 温度离散方程，并化简到最后的形式
(3) 辐射边界条件：qw const
qw
(T
4 f
T4 m,n
)
或其他
第四章 导热问题的数值解法
y 2
tm1,n x
tm,n
y 2
qw
x tm,n1 tm,n
y
x 2

tm,n1 tm,n y
x 2
qw
Φ m,n
3xy 4
0
x y
1 tm,n 6 (2tm1,n 2tm,n1 tm,n1 tm1,n
3x2
2
2x2
qw
)
第四章 导热问题的数值解法
24
qw的情况： (1) 第二类边界条件：将 qw const ，带入上面各式即可
y
h3t f
t0
二维矩形域内
稳态无内热源，
常物性的导热
h2t f
问题
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法
6
控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：
2t 2t 0 x2 y 2
其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种， 三个边界条件为：
tw C1
第四章 导热问题的数值解法
21
1.边界节点离散方程的建立：
qw
(1) 平直边界上的节点
y tm1,n tm,n
x
yqw
x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,n
2 y
2 y
qw
Φ m,n
x 2
y
0
y x
x y
4tm,n
2tm1,n
2x
qw
tm,n1
tm,n1
Φm,n
x2
dt
dt
左 A dx y dx
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们 假定温度呈分段线性分布，如图所示
第四章 导热问题的数值解法
17
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
左
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
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2 例题条件
第四章 导热问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法
2 三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上 被求物理量的值；并称之为数值解；
27
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t1(k1) a11t1(k) a12t2(k) ...... a1ntn(k) b1(k)
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
t2(k1) a21t1(k1) a22t2(k) ...... a2ntn(k) b2(k) t3(k1) a31t1(k1) a32t2(k1) ...... a3ntn(k) b3(k) ....................................................... tn(k1) an1t1(k 1) an2t2(k 1) ...... ann1tn(k11) anntn(k ) bn(k )
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
第四章 导热问题的数值解法
26
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性 问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不 再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应 地不断更新）
第四章 导热问题的数值解法
28
判断迭代是否收敛的准则：
max ti(k1) ti(k )
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
相邻两节点间的距离称步长。 △x, △y
每个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表把节点 代表的小区域称为元体（又叫控制容积）。
第四章 导热问题的数值解法
9
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
当有接近于零的t 时，第三个较好
第四章 导热问题的数值解法
29
迭代公式的选择
1 ）对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应 使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对 值的代数和，此时，结果一定收敛。 这一条件数学上称主对角线占优（对角占优）；
a12 a13 1,
x
x
y
y
Φxy 0
x
y
时：tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
4tm,n
x2 Φ
0
4tm,n
tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
x2 Φ
第四章 导热问题的数值解法
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无内热源时：
4tm,n
tm1,n
tm1,n
tm,n1
tm,n1
x 2
Φ
变为：
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
内部节点： Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
(m,n+1)
y
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y
(m-1,n)
y
x
o
x
第四章 导热问题的数值解法
(m, n) (m,n-1)
x
(m+1,n)
16
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例
此时：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
0
第四章 导热问题的数值解法
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(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。
能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不 断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。 称迭代计算已经收敛。
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最
新值
第四章 导热问题的数值解法
(
t n
)
w
C2
(
t n
)
w
h(tw
t
f
)
第四章 导热问题的数值解法
7
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
(m,n) N
n
y
y
x x
m
第四章 导热问题的数值解法
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
M
8
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区 域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ， n 表 示。
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题， 就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界 节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才 能求解。
为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界 条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流 密度表达式。用Φ表示内热源强度。
第四章 导热问题的数值解法
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第四章 导热问题的数值解法
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若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
稳态项，而其中扩散项的离散与稳态导热的是一样的，因此，本节
讨论的重点在非稳态项的离散以及扩散项离散时所取时间层的不同
对计算结果的影响。
1.非稳态项的离散
1.1时间空间区域的离散化
以一维非稳态导热为例讨论时间－空间区域
的离散化。如图所示，x为空间坐标，我们将计
第四章 导热问题的数值解法
3
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
第四章 导热问题的数值解法
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(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见