第十五讲 杂题篇6年级精英班

名校真题 测试卷15 （竞赛试题篇）
时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________
1. （07年西城实验培训班试题）今定义符号如下：()f x 中的x 是任意自然数，具有
)()()(f x y f x f y ×=+对任意自然数x ，y 都成立，且已知(8)3f =，则(32)f =________________.
2. （2007年北京101中学考题）正整数n 的各位数字之和记为S （n ），例如S （10）=1+0=1，S （123）=1+2+3=6,S （2）=2，若n+S （n ）=2006，则n= .
3. (2008年迎春杯试题)在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs = .
4. （06年实验中学试题）一枚棋子放在七边形ABCDEFG（顶点按顺时针排列）的顶点A 处.将这枚棋子按顺时针方向移动10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点（如第1次移动一个顶点，停在B 处；第2次移两个顶点，停在D 处，…）.在10次移动过程中，所有没到过的顶点是____________.
5. （08年迎春杯试题）在纸上写着一列自然数l，2，…，98，99.一次操作是指将这列数中最前面的
三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面.例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15.这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数．纸上出现的所有数的总和是 .
【附答案】
1. 【解】(8)3f =.
而(8)(42)(4)(2)f f f f =×=+(22)(2)(2)(2)(2)f f f f f =×+=++； 所以；
(2)1f =所以.
(32)(822)(8)(2)(2)3115f f f f f =××=++=++=
2. 【解】显然S （n ）和n 被9除所得的余数是相等的，而2006被9除所得的余数是8，所以n 被9
除所得的余数为4，所以n 可以是2002、1993、1984……，经过检验2002、1984符合条件.
3. 【解】a=0,(从个位考虑)，
t=1,(两个四位数的和不可能是首位超过1的5位数)；
所以百位加法没有进位，s+v=11,所以十位加法进了一位，v=t+t+1=3,所以s=11-3=8； 所以四位数tavs ＝1038
4. 【解】累计每一次移动后总移动如下表，考虑被7除的余数： 移动次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 累计移动 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 被7除余数
1
3
6
3
1
1
3
6
注意到被7除的余数以7为周期，没有出现的余数是2、4、5，所以没有到过的顶点有C、E、F.
5. 【解】每一次操作都少了3个数，所以只剩下一个数的话，要经过49步操作，即后面要写49个数，
注意到每一次操作后数和不变.
前33步操作将99个数3个3个加和放在后边，和等于1+2+……99=4950
接着11步操作将写的33个数3个3个加和在后边,和等于1+2+3+……99=4950
这11个数分别是1+2+3……9，10+11+……18，19+20+21……27，…………，91+92……99 相邻两个相差9×9=81
这11个数是45，126，207，288，……855 之后还有5个数，第一个数是45+126+207=378 最后一个数=1+2+3……99=4950，
而之间三个数的和等于最后一个数即4950，
所以这些数的总和等于4950+4950+4950+378+4950+4950=25128.
第十五讲 小升初专项训练 竞赛试题篇
一、小升初考试热点及命题方向
这一部分知识相当杂，牵涉到的东西非常多，在考试之中涉及到的虽然不会很多，但是偶尔会涉及到，因此我们必须要把这些知识学会，学懂.一般地会有一部分学校的升学考试会涉及到这些知识.但这部分知识也没有必要花太多的精力，只要把我们讲义上的东西搞清楚了就已经足够.
二、2007年考点预测
07年的这部分题型如果出现，考察最佳对策与统筹学题型的可能性更多些，请同学们重点掌握.
三、主要常用数学方法
1. 最值问题
1) 最优原则，最不利原则:构造所有可能达成最值的条件.
2）逐步调整法，如果调整某项构造策略在任何情况下都能得到更理想的答案，那么题目所求最值一定符合该调整条件.
2. 操作与最佳对策
1）找规律找递推关系.
2)逆向法：从结果根据已知条件逐步往前推，从而发现其中的数学规律，或操作步骤. 博弈问题中也可以用逆向法，逐步找出各个必胜状态. 3)不变量法：分析操作或博弈过程中的不发生改变的量.
3. 统筹问题
1）代数表示法，将各个变量用代数式来表示，再分析该代数式在限定条件的最值，和取值条件
2）调整法，通过对部分条件的尝试和调整来构造最佳方法.
四、典型例题解析
一、最值问题
【例1】：（★★）如果：□□□□－□□□=1993，那么被减数与减数的和最大是_____ .
【来源】 北京市第十届“迎春杯”刊赛第4题
【解】 减数最大为999，被减数亦同时达到最大999＋1993=2992.于是被减数与减数的和最大是2992+999=3991.
【例2】 已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是________.
【解】为了构造和与积都等于2007的一组自然数，首先把2007拆成若干个整数之积，然后把和不足的地方用1补足.
容易看出来，2007拆分成的整数越多，它们的和就越小，需要添加的1也就越多.
2007的质因数分解式是32×223，3+3+223=229，还需要补2007-229=1778个1.
所以共有1781个.
[前铺]把14分成几个自然数的和.再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大.问这个最大乘积是多少？
[思 路]：首先我们从较小的数考虑：2和3不用再分析了；4可以拆成两个2，乘积相等，也可以不拆，但不能拆成1和3；5可以拆成2和3，2×3=6〉5，所以拆5不如拆3+2；6可以拆成3和3，3×3=9，所以拆6不如拆3+3，这样大于5的数一定要拆，所以我们下这样的结论：
拆不固定数时，拆成2或3，而且2的个数少于3个．
【解】 14÷3=4…2，所以拆成4个3和2个2
[总 结]：对于很多数学问题，我们不妨从简单的地方先考虑一下，再慢慢地引申到复杂的情况，以找到更好的办法
【例3】某篮球运动员参加了l0场比赛，他在第6、7、8；9场比赛中分别得到了23、14、11和20分，他在前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高.如果他l0场比赛的平均分超过l8分，那么他在第l0场比赛至少得 分.
【解】前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，所以6、7、8、9场的平均分比前5场的平均分要高.因为是6、7、8、9场将平均分拉上去了，6、7、8、9场的平均分为
（23+14+11+20）÷4=17分，前5场的比赛平均分数小于17，总分小于17×5=85，至多84分，所以前9场的总分最多84+68=152分，为了让总分大于18×10=180，即至少181分，那么第10场至少181-152=29分.
[拓展]：10位小学生的平均身高是1.5米.其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米.那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？
[思 路]：除去那些低于1.5米的和高于1.5米的同学，剩下的就是恰好是1.5米的．所以我们希望低于1.5米的同学和高于1.5米的同学都尽可能地少．
解：假设低于1.5米的同学有a个，高于1.5米的同学有6个，根据他们的平均身高可以列出等式
1.2a+1.7b=1.5(a+b).
由此可得 2b=3a．
因为a和b都是自然数，所以最小的可能是a=2，b=3．10-a-b=10-5=5(位)． 那么最多有5位同学身高恰好是1.5米．
【例4】：（★★★）有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块？
[思 路]：要使其中任意3袋的总和都超过60块，那么至少也是61，先在每袋中放20个糖块，但任意3袋中至少一个21，否则就无法超过60.
【解】要使任意3袋中至少一个21，这4个袋子的糖块分别是20，20，21，21.和为20+20+21+21=82
[拓展]：120名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人.选举时，每人只能投票选举其中1人.开票中途累计，前100张选票中，甲得45票，乙得20票，丙得35票.如果这次选举没有弃权票，也没有废票，得票最多的1人当选.那么，尚未统计的选票中，甲至少再得___票就能保证当选.
【来源】北京市第七届“迎春杯”刊赛第6题
解：甲已比丙多10（=45-35）张票.还有20（=120-100）张票未统计（20+10）÷2=15因此甲只要再得6（=15-10+1）张票，即共得51（=45+6）张票，就可保证一定超过丙（即使丙再得14张票也只有35+14=49张）与乙（至多20+14=34张票）当选.
二、操作与最佳对策：
【例5】在一个3*3的方格中（右图），甲、乙两人轮流（甲先）往方格中写1，3，4，
5，6，7，8，9，10九个数中的一个，数字不能重复.最后甲的得分是上、下两行六
个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必
胜的方法.
分析：把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i.甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i=（a＋c ＋g+i）+（b+h）；
乙的得分为：a＋d＋g＋c＋f＋i=（a＋c＋g＋i）+（d＋f）
要想使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使b＋h＞d+f.要想使b＋h＞d＋f，甲有两种策略：一是增强自己的实力——使b、h格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力——使d、f格内填的数尽可能地小.取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾.
如果优先考虑增强自己，则先在b或h中填10，这时如果对手在b或h中填1，则无论自己在d或 f中填什么，都不能保证d+f小于11，所以很可能就输了，因此要优先考虑削弱对方，先在d或f中填入1，这时候就算对手给他自己加一个10还是给我一个最小的3，都可以保证我们的b＋h＞d+f.
点评：应该注意到这道题中没有2这个数字，如果将2这个数字加进去，则有可能出现b,f 和d,h分别为10，1，或9，2，这样和都是11，就分不出胜负了.
【例6】（★★★）对于任意一个自然数 n，当 n 为奇数时，加上121；当n 为偶数时，除以2.这算一次操作.现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？
【提示】同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到
这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100.当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法.
【解】因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数.100不是11的倍数，所以不可能出现.由例1看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门.
0000
【例7】（★★★）右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆
盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动
90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上
的四个数是否可能都是999？
【解】不可能.因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍. 999×4=3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999.
【例8】（★★★★）有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：（1）某2堆石子全部取光？（2）3堆中的所有石子都被取走？
[思 路]：要使得某2堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一堆先取光，只要剩下的两堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了.而题中数字正好能满足要求.所以，全部取光两堆是可以的.
对于第二个问题，要取走全部3堆，则必须3堆总数是3的倍数才有可能，但1989、989、89之和并非3的倍数，所以是不可能的. 【解】（1）可以取光某两堆石子.如进行如下的操作： 第1堆 第二堆 第三堆 1989 989 89
1900 900 0 （第一步：三堆各取走89） 1900 450 450 （第二步：第二堆900是偶数，将其一半移入第三堆） 1450 0 0 （第三步：每堆各取450）
（2）不能将三堆全部取光.因为1989+989+89=3067，3067/3=1022......1不是3的整数倍.
三、统筹学初步
【例9】（★★★）某超市搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200少于500打九折，超过500，其中500打九折，高于500打八折，王明两次购物分别花134元和468元，问： （1）如果不打折，王明两次购物值多少钱？ （2）在打折活动中，王明省多少钱？
（3）若王明将两次购物的钱合起来去买同样的商品，是省钱还是浪费？说明理由.
【解】1.如果不打折，王明两次购物值设为134+468×10/8=134+585=719 元
（注意：第二次购物打的是八折，因为打九折最多花500×0.9=450元<468元，所以是打八折） 2.省的钱=719-134-468=117 元
3.若合起来买，设需要花s 元，那么： s=719×0.8=575.2 元<134+468=602 所以是省钱，省了26.8 元.
【例10】（★★★）有甲、乙两项工作.张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
[思 路]：首先，我们应确定最省时间情况下两人的工作方式.张更擅长做乙工作，李更擅长做甲工作，所以应开始时让两人充分发挥特长.而8天后，李再帮助张完成乙工作. 【解】当李完成甲工作时，乙工作还剩 1－
151×8=15
7 李、张完成乙的工作效率为：
151＋201=60
7 还需要的天数：
157÷60
7=4天. 所以，一共需要8+4=12天.
[总 结]：对于这种最优问题，确定最优的解决方式往往是更关键的.
[前铺]：（★★★）3、某球迷协会组织36名球迷乘车去比赛场地，为国家足球队加油.可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载.⑴请你给出不同的租车方案（至少3种），⑵若8个位子的车子的租金是300元每天，4个位子的车子的租金是200元每天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由.
【解】
(1) 设租用x 辆乘8人的车，租用y 辆乘4人的车 8x+4y=36 ，2x+y=9 ，y=9-2x
x=1,y=7,租用1辆乘8人的车，租用7辆乘4人的车 x=2,y=5,租用2辆乘8人的车，租用5辆乘4人的车 x=3,y=3,租用3辆乘8人的车，租用3辆乘4人的车 x=4,y=1,租用4辆乘8人的车，租用1辆乘4人的车
x 越大，总租金越少
x=4，总租金=1800-400=1400元
租用4辆乘8人的车，租用1辆乘4人的车，最省钱
D
【例11】（★★★）东升乡有8个行政村.分布如图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）.现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线.问：电线至少要架
多长？
7
7
【解】连接8个行政村至少要7条电线，将所有的道路长度按从大到小排列：
5、5、7、7、8、8、8、10、10、11、11、13、14
挑出其中最短的7条，检验是否成立，发现B 能连通，但只要将这七条线路中多余的长度为8的线路换为长度为10的连接BH 的线路即可.电线至少要架5+5+7+7+8+8+10=50千米.
[知识补充]连接2个点至少需要1条线，连接3个点至少需要2条线，……连接n 个点至少需要n-1条线.
[前铺]：（★★★）下图是A，B，C，D，E 五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）.现在要在五村之中选一个村建立一所小学.为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.
【解】我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法.例如比较 A 和 C，若设在 A 村，则在 C 村一侧将集结 20＋20＋35＋50=125（人），这些人都要走 AC 这段路；若设在C 村，则只有40人走AC 这段路.对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C 村比设在A 村好.
从上面比较A 和C 的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪. 同理，经比较得到C 比B 好，D 比E 好.最后比较C 和D.若设在 C 村，则在 D 村一侧将集结 35＋ 50= 85（人）；若设在 D 村，则在C 村一侧将集结 40＋20＋20=80（人）.因为在D 村集结的人数比C 村多，所以设在D 村比C 村好.
经过上面的比较，最合理的方案是设在D 村.
度的管子，要求截成的甲、乙两种管子的数量一样多.问：最多能截出甲、乙两种管子各多少根？
【解】要想尽量多地截出甲、乙两种管子，残料应当尽量少.一根钢管全部截成1.0米的，余下0.1米，全部截成0.7米的，余下0.6米.如果这样截，再要求甲、乙管数量相等，那么残料较多.
怎样才能减少残料，甚至无残料呢？我们可以将1.0米的和0.7米的在一根钢管上搭配着截，所得残料长度（单位：米）见下表：
由上表看出，方法3和方法10没有残料，如果能把这两种方法配合起来，使截出的甲、乙两种管子数量相等，那么就是残料最少的下料方案了.
设按方法3截x根钢管，按方法 10截 y根钢管.这样共截得甲管（9x＋2y）根，乙管（3x＋13y）根.由甲、乙管数量相等，得到
9x＋2y＝3x＋13y，
9x-3x＝13y-2y，
6x=11y.
由此得到x∶y= 11∶6.用方法3截11根钢管，用方法10截6根钢管是符合题意的截法，共可截得甲、乙管各
9×11＋2×6=111（根），
或3×11＋13×6=111（根）.
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）最值问题
2）操作与最佳对策
3）统筹学题型
【课外知识】
部落选举
在非洲北部有一个部落，这个部落由11个小村子组成，每个村子有11个人（一共121人）.每四年部落要进行一次选举，选出一个人来做部落的酋长.
每次选举的时候首先选出两个候选人A，B，然后部落的每个人投票（包括A，B本人），每个人只能选择其中的一人.在每个村子中获得多数票（大于1/2）的那个候选人作为这个村子支持的代表，获得多数村子支持的候选人当选为部落的酋长.
）一个人最多可能获得了多少人的支持，但仍然没有当选为部落的酋长？
1
）一个人最多可能赢得了多少村落的支持，却没有赢得多数人的支持？
2
）假设将这部落里的121人重新划分村子，使得每个村子都至少有一个人，选举仍然3
按照上面的规定，即赢得多数村子支持的候选人当眩那么一个人最多可能赢得了多少人的支持，却仍然没有当选为部落的酋长.
）假设将这部落里的121人重新划分村子，使得每个村子都至少有一个人，但是选举4
时每个村子的票数和这个村子的人数是一样多的，仍然按照上面的规定，赢得了最多村子票数的候选人当选，那么一个人最多可能赢得了多少人的支持，却仍然没有当选为部落的酋长.（例如：一个村子有21人，那么这个村子就有21票，如果其中有11个人支持A，10个支持B，那么按照规定A赢得了这个村子大多数人的支持，因此这个村子的21张选票都是支持A的.）
5
）让我们回到11村子每个村子11人的情形.假设现在有三个候选人，在每个村子里赢得最多数人支持的人作为这个村子支持的代表，赢得了1/2村子支持的候选人当选为部落的酋长.那么一个人若要当选最少需要获得多少人的支持.
答案：
　人.在其中5个村子赢得全部村民的支持得到5×11票，在剩下的6个村子里， ）85
1
每个赢得5张票，这样一共是5×11＋6×5=85
）10个村子.在这个10村子里，他每个村子得6票，剩下一个村子一票不得，这样他2
一共得到6×10＝60票，少于另外那个候选人的61票.
）119人.假设这个部落的121人分成119，1，1三个村落，有个候选人赢得了119人3
村子全部的选票，却没有得到另外两个村子（每个村子一个人）的支持.
）90人.因为当选的人只要有61张选票就足够了，而赢得61张选票，最少需要31个4
人的支持，所以存在剩下的90人都支持某一候选人，而他却仍然不能当选的情况.
）30人.某候选人若要赢得某个村子的支持至少需要5张个人选票，他至少需要6个5
村子的支持，所以一共是6×5＝30人.
练习题
（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，2—类型2；题3，4，5—类型3
1、（★★）在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作.问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？
【解】2次.提示：若写的是奇数，则只需1次操作；若写的是大于2的偶数，则经过1次操作变为奇数，再操作1次变为2.
2、（★★）在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是5的倍数？为什么？
【解】要使第一列的两个数1，4都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）次；要使第二列的两个数2，3都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次.
因为（3+5n）除以5余3，（1+5m）除以5余1，所以上述两个结论矛盾，不能同时实现.注：m，n可以是0或负数.
3、（★★★）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作.问：加工完七个零件最少需多长时间？ 【解】17分.首先把所有时间加起来得到47分钟.最好的情况是16，16，15分钟，但是不论怎么也凑不到；其次是出现17分钟，17（4，5，8），15（6，9），15（6，9）.
4、（★★★）有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见下图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？
【解】当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管.从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为297000元.
5、（★★★★）甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天做裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服.两厂合并后，每月（按30天计算）最多能生产多少套衣服？
【解】应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长.甲厂生产上衣和裤子的时间比为8∶7，乙厂为2∶3，可见甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣.
因为甲厂 30天可生产裤子 448÷14×30＝960（条），乙厂30天可生产上衣720÷12×30=1800（件），960＜1800，所以甲厂应专门生产裤子，剩下的衣裤由乙厂生产.
设乙厂用x天生产裤子，用（30-x）天生产上衣.由甲、乙两厂生产的上衣与裤子一样多，可得方程 960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），
960＋40x＝1800-60x，
100x＝840，
x=8.4（天）.
两厂合并后每月最多可生产衣服960＋40×8.4＝1296（套）.。