湖北省随州市西坡中学高二数学理下学期期末试卷含解析

湖北省随州市西坡中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2 + y2≥4”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
2. 函数的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆与曲线
没有公共点，则半径r的取值范围是（）
A．B． C. D．
参考答案：
C
圆的圆心为(0,1),半径为r,
设圆与曲线y=相切的切点为(m,n)，
可得n=，①
y=的导数为y′=?，
可得切线的斜率为?，
由两点的斜率公式可得?(?)=?1，即为n?1=m(m?1)2，②
由①②可得n4n3?n?1=0，
化为(n2n?1)(n2+1)=0，
即有n2n?1=0,解得n=或，
则有或.,
可得此时圆的半径r= =.
结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是(0,).
故选：C.
3. 斜率为的直线过抛物线焦点，交抛物线于两点，点为中点，作，垂足为，则下列结论中不正确的是（）
A．为定值B．为定值
C.点的轨迹为圆的一部分D．点的轨迹是圆的一部分
参考答案：
C
设抛物线上两点坐标分别为，则两式做差得，
，
整理得为定值，所以A正确.
因为焦点，所以直线AB方程为.由得，则
.
∴为定值.故B正确
.
点的轨迹是以OF为直径的圆的一部分，故D正确.
本题选择C选项.
4. 已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）
A．32 B．16 C．8 D．20
参考答案：
B
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．
【解答】解：∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），
P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，
∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，
根据正态曲线的对称性知：
位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半
∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48≈16．
故选B．
6. 有一批种子，每一粒发芽的概率为，播下粒种子，恰有粒发芽的概率为
A. B. C. D.
参考答案：
C 略
7. 已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）
参考答案：
D
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．
【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）='=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），
∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），
∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），
∴g（x+1）＞g（x2﹣1），
∴x+1＜x2﹣1，
解得x＞2．
故选：D．
8. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则此双曲线的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）ks5u
参考答案：
C
略
9. 已知双曲线的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，在
上的投影的大小恰好为｜｜，且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：若a＞b，
①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a?a＞b?b，此时成立．
②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a?a＞﹣b?b，即a2＜b2，此时成立．
③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a?a＞﹣b?b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．
若a|a|＞b|b|，
①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．
②当a＞0，b＜0时，a＞b．
③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，
综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点可知，用水量y与月份x之间由较好的线性相关关系，其线性回归方程是=0.7x+a，则a等于．
参考答案：5.25
【考点】线性回归方程．
【分析】首先求出x，y 的平均数，根据所给的线性回归方程知道b 的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5， =（4.5+4+3+2.5）=3.5，
将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，
可得3.5=﹣1.75+a，
故a=5.25．
故答案为：5.25．
【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．
12. 已知函数f（x）=13﹣8x+x2，且f′（x0）=4，则x0的值为．
参考答案：
3
【考点】导数的运算．
【分析】利用导数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵f（x）=13﹣8x+x2，
∴f′（x）=﹣8+2x，
∴﹣8+2x0=4，
解得，x0=，
故答案为：．
13. 过点(2,-1)引直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线共有
条.
参考答案：
3
略
14. 已知双曲线，F1，F2分别为它的左、右焦点，P为双曲线上一点，设|PF1|=7，则|PF2|的值为．
参考答案：
13
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据双曲线的定义知|PF2|﹣|PF1|=2a，计算可得答案．
【解答】解：已知双曲线的a=3．
由双曲线的定义知|PF2|﹣|PF1|=2a=6，
∴|PF2|﹣7=6，
∴|PF1|=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，属于基础题．
15. 若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．
参考答案：
16. 由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方
程为
参考答案：
17. 已知纯虚数满足(其中是虚数单位)，则．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，
（1）求sinA，sinB，sinC的值
（2）设BC=5，求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】正弦定理；正弦定理的应用．
【分析】（1）根据cosB，cosA的值可分别求得sinA，sinB的值，继而根据sinC=sin（A+B）利用两角和公式求得sinC的值．
（2）先根据正弦定理求得AC的值，最后根据三角形面积公式求得答案．
【解答】解：（1）sinA==，sinB==，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×﹣×=．
（2）由正弦定理知=，
∴AC=?sinB=×=，
∴S△ABC=BC?AC?sinC=×5××=．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．注重了对学生综合素质的考查．19. （本小题12分）抛物线上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，F为抛
物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，（1）求直线AB的方程。

（2）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积.
参考答案：
解：（1）由已知得，设点A坐标为，由得
所以A(1，2)，同理B(4,-4), 所以直线AB的方程为
. （4分）
（2）设在抛物线AOB这段曲线上任一点，且.
则点P到直线AB的距离d=
所以当时，d取最大值，又
所以△PAB的面积最大值为此时P点坐标为.
法二：
，所以△PAB的面积最大值为
此时P点坐标为
略
20. （本小题满分8分）已知命题“若，则有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．
参考答案：
解法一：原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0.
判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”为真命题．
解法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1＞0，
∴方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真．
又因原命题与其逆否命题等价，∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．
21. 甲、乙两位学生参加全国数学联赛培训．在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：甲：82 82 79 95 87
乙：95 75 80 90 85
（Ⅰ）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（Ⅱ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．
参考答案：
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率，首先要计算“要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个”的事件个数，再计算“甲的成绩比乙高”的事件个数，代入古典概型公式即可求解．
（Ⅱ）选派学生参加大型比赛，是要寻找成绩发挥比较稳定的优秀学生，所以要先分析两名学生的平均成绩，若平均成绩相等，再由茎叶图分析出成绩相比稳定的学生参加．
【解答】解：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），
（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），
（79，95），（79，75），（79，80），（79，90），（79，85），
（95，95），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），
（87，95），（87，75），（87，80），（87，90），（87，85），
基本事件总数n=25
记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：
（82，75），（82，80），（82，75），（82，80），（79，75），（95，75），
（95，80），（95，90），（95，85），（87，75），（87，80），（87，85），
事件A包含的基本事件数m=12
所以P（A）==；
（Ⅱ）派甲参赛比较合适，理由如下：甲=（70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5）=85，
乙=（70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5）=85，
= [（79﹣85）2+（82﹣85）2+（82﹣85）2+（87﹣85）2+（95﹣85）2]=31.6，
= [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2+（95﹣85）2]=50
∵甲=乙，S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
22. 已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标。

参考答案：
（1）；（2）或
略。