高二数学人教A版选修二《5.1.1变化率问题》新课件(25页)

A．0.41
B．3
C．4
D．4.1
解析： v ＝3＋2.21.21－－23＋22＝4.1.
答案：D
题型二 求瞬时速度 [探究发现] 王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一
限速 70 km/h 的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交 警叔叔搞错了，那段路正好长 60 km，我们用了一个小时，您当时还问 我这段路我们的平均速度呢！”
(1)当 t＝2，Δt＝0.01 时，ΔΔst＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．
(2)当
t＝2
时，瞬时速度
v＝lim Δt→0
ΔΔst ＝
lim
Δt→0
(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝
8(cm/s)．
即质点 M 在 t＝2 时的瞬时速度为 8 cm/s.
[方法技巧] 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 s＝s(t)，则求 物体在 t＝t0 时刻的瞬时速度的步骤如下． (1)写出时间改变量 Δt，位移改变量 Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))； (2)求平均速度： v ＝ΔΔst； (3)求瞬时速度 v：当 Δt→0 时，ΔΔst→v(常数)．
(2)求 t 从 3 秒到 3.01 秒的平均速度．
[解]
(1)
v
＝
s3.1－s3 3.1－3
＝
5×3.12－5×32 0.1
＝
5×3.1－3×3.1＋3 0.1
＝30.5 (m/s)．
(2)
v
＝
s33.0.011－－3s3＝
5×3.012－5×32 0.01
＝
5×3.01－3×3.01＋3 0.01
＝(－6－3Δt)(m/s)．
(2)由(1)知，当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于－6，
所以该质点在 t＝1 时的瞬时速度为－6 m/s.
题型三 抛物线的切线 [学透用活]
[典例 3] 已知函数 f(x)＝x2，x0＝－2. (1)分别令 Δx＝2,1,0.5，求 f(x)＝x2 在区间[x0，x0＋Δx]上的相应割线 的斜率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线； (2)求函数 f(x)＝x2 在 x＝x0 处的切线的斜率，并画出曲线 f(x)＝x2 在点(－2,4)处的切线．
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题 高二数学人教A版选修二新课件
(一)教材梳理填空
1．瞬时速度的定义
我们把物体在某一时刻的速__度__称为瞬时速度．
2．瞬时速度的计算公式
把当 v ＝ht＋ΔΔtt－ht中 Δt 无限趋近于 0 时，v ＝ht＋ΔΔtt－ht的极
限，记为lim Δt→0
ht＋ΔΔtt－ht，为物体在 t s 时的瞬时速度．
3．抛物线的切线的斜率
(1)切线的概念
如图，当点 P 无限趋近于点 P0 时，割线 P0P 无限趋 近于一个确定的位置，这个确定位置的_直__线__P_0_T_称
为抛物线在点 P0 处的切线． (2)斜率的计算公式
当
Δx
无限趋近于
0
时
，
k
＝
fx＋Δx－fx Δx
[对点练清]
一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s 表示位移(单位：m)，t 表示
时间(单位：s)．
(1)求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求该质点在 t＝1 时的瞬时速度．
解
：
(1)
该
质
点
在
[1,1
＋
Δt]
这
段
时
间
内
的
平
均
速
度
为
Δs Δt
＝
8－31＋Δt2－8＋3×12 Δt
的
极
限
，
记
为
lim
Δt →0
fx＋Δx－fx
Δx
.
(二)基本知能小试
1．质点运动规律为 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3＋Δt 的平均速度为 ( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt 答案：A
D．9＋Δt
2．如果质点 A 按照规律 s＝3t2 运动，则在 t0＝3 时的瞬时速度为 ( )
A．6
B．18
C．54
D．81
解析：∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt＋3(Δt)2.
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlitm→0
(18＋3Δt)＝18，故应选 B.
答案：B
3．抛物线 f(x)＝3x2＋1 在点(2,1)处的切线方程为________．
＝
30.05 (m/s)．
[方法技巧] 求平均速度的一般步骤
(1)先计算对应值的改变量 f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量1x1.
[对点练清]
一物体的运动方程是 s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均
速度为
()
解析：切线的斜率为lim Δt→0
f2＋ΔΔxx－f2＝12＋3Δx＝12，
∵切线过点(2,1)，
∴所求切线方程为 y－1＝12(x－2)，
即 12x－y－23＝0.
答案：12x－y－23＝0
题型一 运动物体的平均速度
[学透用活]
[典例 1] 已知 s(t)＝5t2.
(1)求 t 从 3 秒到 3.1 秒的平均速度；
[学透用活]
[典例 2] 已知质点 M 做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：
s)变化的函数为 s＝2t2＋3.
(1)当 t＝2，Δt＝0.01 时，求平均速度；
(2)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时速度． [解] ΔΔst＝st＋ΔΔtt－st＝2t＋Δt2＋Δ3t－2t2＋3＝4t＋2Δt.
[解] (1)当 Δx＝2,1,0.5 时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[－2,0]，[－2， －1]，[－2，－1.5]．
函数 f(x)＝x2 在这些区间上相应割线的斜率分别为 f0－2f－2＝02－2－22＝－2， f－1－1 f－2＝－12－1 －22＝－3， f－1.50.－5 f－2＝－1.502.－5 －22＝－3.5. 其相应割线如图(1)所示，分别是过点(－2,4)和点(0,0)的直线 l1，过 点(－2,4)和点(－1,1)的直线 l2，过点(－2,4)和点(－1.5,2.25)的直线 l3.
(1)限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗？ 提示：不是，是指瞬时速度．
(2)瞬时速度与平均速度有何区别？ 提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻 画的是物体在一段时间内运动的快慢． (3)王先生在该路段平均速度为 60 km/h，是否可能超速行驶？ 提示：有可能．