深圳华师一附中实验学校八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》测试题(培优专题)

一、选择题
1．如果249x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
A ．12±
B ．9
C ．9±
D ．12A 解析：A
【分析】
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．
【详解】
解：∵()22249=23x mx x mx -+-+，
∴223mx x -=±⨯⨯ ，
解得m=±12．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
2．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A ．2105525x x x x x -=⋅-
B ．()a x y ax ay +=+
C ．()22442x x x -+=-
D ．()()2
163443x x x x x -+=-++ C 解析：C
【分析】
将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．
【详解】
解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；
B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；
C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；
D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．
【点睛】
此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 3．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D ．7D
解析：D
【分析】 由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），即可解出n ＝5，从而求出m 值即可．
【详解】
解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），
整理得n ＝5，
则有m ﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m ＝2，
∴m +n ＝5+2＝7，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键． 4．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）
A ．1,4m n ==
B ．2,5m n ==
C ．5,3m n ==
D ．2,2m n == D
解析：D
【分析】 根据题意逐一计算即可判断．
【详解】
A 、当m=1，n=4时，则m n <，∴2224210y n =+=⨯+=，不合题意；
B 、当m=2，n=5时，则m n <，∴2225212y n =+=⨯+=，不合题意；
C 、当m=5，n=3时，则m n >，∴3135114y m =-=⨯-=，不合题意；
D 、当m=2，n=2时，则m n >，∴313215y m =-=⨯-=，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
5．化简()
2003200455-+所得的值为（ ） A ．5-
B ．0
C ．20025
D ．200345⨯ D
解析：D
【分析】
首先把52004化为（-5）2004，然后再提公因式（-5）2003，继而可得答案．
解：()2003200455-+
=（-5）2003+（-5）2004
=（-5）2003（1-5）
=4×52003，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了提公因式分解因式，关键是正确确定公因式．
6．把多项式32484x x x -+分解因式，结果正确的是（ ）
A ．()()413x x x +-
B ．()2421x x x -+
C ．()2484x x x +－
D ．()241x x - D 解析：D
【分析】
先提出公因式4x ，再利用完全平方公式因式分解即可解答．
【详解】
解：32484x x x -+
=2421)x x x -+（
=()241x x -，
故选：D ．
【点睛】
本题考查因式分解、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤是解答的关键．
7．已知3a b -=、4b c -=、5c d -=，则()()a c d b --的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．-63
D ．12C 解析：C
【分析】
由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，然后整体代入求解即可．
【详解】
解：由3a b -=与4b c -=两式相加可得7a c -=，由4b c -=与5c d -=两式相加得9b d -=，即9d b -=-，
∴()()()7963a c d b --=⨯-=-；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查求代数式的值，关键是根据题意利用整体思想进行求解．
8．下列各式计算正确的是（ ）
A ．224a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．()22439a a -=
D ．22(1)1a a +=+ C
【分析】
根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方进行计算．
【详解】
解：A. 2222a a a +=，故选项A 计算错误；
B. 235a a a ⋅=，故选项B 计算错误；
C. ()22439a a -=，故选项C 计算正确；
D. 22(11)2a a a +=++，故选项D 计算错误；
故选：C
【点睛】
本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，熟记计算法则即可解题． 9．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A ．我爱美丽
B ．美丽昭通
C ．我爱昭通
D ．昭通美丽C 解析：C
【分析】
将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x 2-y 2）a 2-（x 2-y 2）b 2=（x 2-y 2）（a 2-b 2）=（x+y ）（x-y ）（a+b ）（a-b ），再结合已知即可求解．
【详解】
解：（x 2-y 2）a 2-（x 2-y 2）b 2
=（x 2-y 2）（a 2-b 2）
=（x+y ）（x-y ）（a+b ）（a-b ），
由已知可得：我爱昭通，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；将已知式子进行因式分解，再由题意求解是解题的关键． 10．已知代数式2a －b ＝7，则－4a ＋2b ＋10的值是（ ）
A ．7
B ．4
C ．－4
D ．－7C
解析：C
【分析】
直接将原式变形，进而把已知代入求出答案．
【详解】
解：∵－4a ＋2b ＋10
=10-2（2a-b ），
把2a-b=7代入上式得：原式=10-2×7=10-14=-4．
故选：C ．
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
二、填空题
11．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．
30【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法利
用平方差公式即可得出答案【详解】解：设大正方形的边长为a 小正方形的边长为b 故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD ＝AE （BC+BD ）＝（AB ﹣
解析：30
【分析】
直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．
【详解】
解：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ， 故阴影部分的面积是：
12AE •BC +12AE •BD ＝12AE （BC +BD ） ＝
12（AB ﹣BE ）（BC +BD ） ＝
12（a ﹣b ）（a +b ） ＝
12（a 2﹣b 2） ＝12
×60 ＝30．
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．
12．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键
解析：36
【分析】
根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可．
【详解】
解：∵2,3x y a a ==，
∴222222().()x y x y x y a a a a a +=⋅==2²×3²=36，
故答案为36．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键． 13．已知25m =，2245m n +=，则2n =_______．【分析】将变形整体代入即可求解
【详解】解：∵=∴故答案为：【点睛】本题主要考察了同底数幂的乘法幂的乘方解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法幂的乘方的逆运算 解析：
95
． 【分析】 将2245m n +=变形()222=22222m n n n m m
+⋅=⋅，整体代入即可求解． 【详解】
解：∵()222=22222m n n n m m
+⋅=⋅=25245n ⋅= ∴9245255n =÷=
． 故答案为：
95． 【点睛】
本题主要考察了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的逆运算．
14．的整数部分是a ．小数部分是b ，则2a b -=______．6-16【分析】先估算确定ab 的值进而即可求解【详解】∵＜＜∴3＜＜4又∵a 是的整数部分b 是的小数部分∴a ＝3b ＝−3∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16故答案是：6-
解析：-16
【分析】
，确定a ，b 的值，进而即可求解．
【详解】 ∵
∴3＜4，
又∵a b 的小数部分，
∴a
＝3，b −3，
∴
2a b -=−3)2-16．
故答案是：-16．
【点睛】
本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a 、b 的值是解决问题的关键．
15．若2a 与()2
3b +互为相反数，则2-=b a ______．-8【分析】根据题意得到+=0根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2b=-3代入2b-a 计算即可
【详解】由题意得：+=0∵00∴a-2=0b+3=0∴a=2b=-3∴2b-a=-6-2=8故答 解析：-8
【分析】 根据题意得到2a +2(3)b +=0，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a=2，b=-
3，代入2b-a 计算即可．
【详解】 由题意得：2a +2(3)b +=0 ∵2a ≥0，2(3)b +≥0，
∴a-2=0，b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴2b-a=-6-2=8，
故答案为：-8．
【点睛】
此题考查相反数的定义，绝对值的非负性及偶次方的非负性，求代数式的值，根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a 和b 的值是解题的关键．
16．如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b =________．【分析】多项式的首项和末项分别是x 和2的平方那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍由此得到答案【详解】∵∴b=故答案为：【点睛】此题考查完全平方式掌握完全平方式的构成特点是解题的关键
解析：4±
【分析】
多项式的首项和末项分别是x 和2的平方，那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍，由此得到答案．
【详解】
∵222(2)444x x x x bx ±±=+=++，
∴b=4±，
故答案为：4±．
【点睛】
此题考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键．
17．若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．等边【分析】先等式两边同乘以2再移项利用完全平方公式即可得到答案【详解】∵∴∴∴∵∴∴a=b=c ∴这个三角形是等边三角形故答案是：等边【点睛】本题主要考查完全平方公式偶数次幂的非负性以及等边三角
形的
解析：等边
【分析】
先等式两边同乘以2，再移项，利用完全平方公式，即可得到答案．
【详解】
∵222a b c ab bc ac ++=++，
∴222222222a b c ab bc ac ++=++，
∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，
∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，
∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，
∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，
∴a=b=c ，
∴这个三角形是等边三角形，
故答案是：等边
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，偶数次幂的非负性以及等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
18．因式分解：33327xy x y -=______．【分析】根据因式分解的提公因式法找出公因式为然后再根据平方差公式求解即可；【详解】原式=故答案为：【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法平方差公式找出公因式是是解题的关键 解析：()()333xy y x y x +-
【分析】
根据因式分解的提公因式法，找出公因式为3xy ，然后再根据平方差公式求解即可；
【详解】
原式=()()()2239333xy y x xy y x y x -=+-，
故答案为：()()333xy y x y x +-．
【点睛】
本题考查了因式分解的提公因式法、平方差公式，找出公因式是3xy 是解题的关键． 19．已知a ＋b ＝5，且ab ＝3，则a 3＋b 3＝_____．80【分析】先求出再将a ＋b ＝5代入a3＋b3公式中计算即可【详解】∵a ＋b ＝5且ab ＝3∴∴∴故答案为：80
【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算立方和公式正确掌握立方和的计算公式是解题的关键
解析：80
【分析】
先求出2216a b ab +-=，再将a ＋b ＝5，2216a b ab +-=代入a 3＋b 3公式中计算即可．
【详解】
∵a＋b＝5，且ab＝3，
∴2222
a b a b ab
+=+-=-⨯=，
()253219
∴2222
+-=+-=-⨯=，
a b ab a b ab
()353316
∴3322
a b a b a ab b
+=+-+=⨯=
()()51680
故答案为：80．
【点睛】
此题考查完全平方公式的变形计算，立方和公式，正确掌握立方和的计算公式是解题的关键．
20．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝__________24ab【分析】由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab据此可以作出判断【详解】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2
解析：24ab
【分析】
由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．
【详解】
解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，
（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，
∴A＝24ab．
故答案为：24ab．
【点睛】
本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a﹣b）2与（a+b）2展开式中区别就在于2ab 项的符号上，通过加上或者减去4ab可相互变形得到．
三、解答题
21．计算下列各题：
（1
（2）（）（3）（2
解析：（1）0；（2）
【分析】
（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；
（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．
【详解】
解：（1
＝2+（﹣5）+3
＝0；
（2）（）（3）（2
＝32）2﹣2
＝9﹣﹣2
＝
【点睛】
本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．
22．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．
解：原式22
9()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②
2()(32)x y a b =-+③
任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．
任务二：请你写出正确的解答过程．
解析：①；见解析
【分析】
根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误，
故答案为：①
正确过程如下：
229()4()a x y b y x -+-
229()4()a x y b x y =---
22()(94)x y a b =--
()(32)(32)x y a b a b =-+-．
【点睛】
本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．
23．如图，某长方形广场的四个角都有一块半径为r 米的四分之一圆形的草地，中间有一个半径为r 米的圆形水池，长方形的长为a 米，宽为b 米．
（1）整个长方形广场面积为 ；草地和水池的面积之和为 ；
（2）若a ＝70，b ＝50，r ＝10，求广场空地的面积（π取3.142，计算结果精确到个位）．
解析：（1）ab 平方米；22r π平方米，（2）2872平方米
【分析】
（1）根据长方形面积公式即可表示出广场面积；根据圆的面积公式即可表示草地和水池的面积；
（2）长方形面积减去草地和水池的面积的和即可得到广场空地的面积，再代入求值即可．
【详解】
（1）整个长方形广场面积为ab 平方米；草地和水池的面积之和为214r 4π⨯⨯+2r π=22r π平方米，
故答案是：ab 平方米；22r π平方米；
（2）依题意得：空地的面积为 22ab r π-
当a ＝70，b ＝50，r ＝10时，
∴ 22270502 3.14210ab r π-=⨯-⨯⨯2871.62872=≈
答：广场空地的面积约为2872平方米．
【点睛】 本题考查列代数式、求代数式的值，列出正确的代数式是正确解答的关键．
24．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图1、图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系；
（2）根据（1）中的结论，若5x y -=，114xy =
，试求x y +的值； （3）拓展应用：若()()222019202134m m -+-=，求()()20192021m m --的值．
解析：（1）()()224a b a b ab +--=；（2）6x y +=±；（3）-15．
【分析】
（1）由长方形的面积公式解得图1的面积，图2中白色部分面积为大正方形面积与小正方形面积的差，又由图1与图2中的空白面积相等，据此列式解题；
（2）由（1）中结论可得()()224x y x y xy +--=，将5x y -=，114
xy =整体代入，结
合平方根性质解题；
（3）将()2019m -与()2021m -视为一个整体，结合（1）中公式，及平方的性质解题即可．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为
()()
()()2222a b b a a b a b +--=+-- ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等 ∴()()224a b a b ab +--=
（2）根据（1）中的结论，可知()()224x y x y xy +--=
∵5x y -=，114xy =
∴()2211544x y +-=⨯
∴()2
36x y += ∴6x y +=±
（3）∵()()201920212m m -+-=-
∴()()2
201920214m m -+-=⎡⎤⎣⎦ ∴()()()()22
201922019202120214m m m m -+--+-= ∵()()22
2019202134m m -+-= ∴()()22019202143430m m --=-=-
∴()()2019202115m m --=-．
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．阅读下面材料，完成任务．
多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算，先把多项式按照某个字母的降幂进行排列，缺少的项可以看做系数为零，然后类比多位数的除法利用竖式进行计算．
∴26445123215÷= ∴()
()32223133x x x x x +-÷-=++ 请用以上方法解决下列问题：（计算过程要有竖式）
（1）计算：()
()3223102x x x x +--÷- （2）若关于x 的多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除，且a ，b 均为自然数，求满足以上条件的a ，b 的值．
解析：（1）()
()3222310245x x x x x x +--÷-=++；（2）0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =
【分析】
（1）直接利用竖式计算即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．
【详解】
解：（1）列竖式如下：
()
()3222310245x x x x x x +--÷-=++ （2）列竖式如下：
∵多项式43225x x ax b +++能被二项式2x +整除
∴余式()420b a +-=
∵a ，b 均为自然数
∴0a =，8b =；1a =，4b =；2a =，0b =
【点睛】
此题考查利用竖式计算整式的除法，解题时要注意同类项的对应．
26．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： 281156415497-⨯=-==
2241731576527497-⨯=-==
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可； （2）设中间那个数为n 2(7)(7)n n n --+，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．
解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图， 213620169120497-⨯=-==；
(2)证明：设中间那个数为n ，则：
2(7)(7)497n n n --+==
∴2(7)(7)7n n n --+=．
．
【点睛】
此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．
27．所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称
M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y
++是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．
①2244a a b ++；②24x ；③22x xy y -+； ④21025y y --；⑤21236x x ++；
⑥
2124949
a a -+ （2）已知a 、
b 、
c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．
（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．
解析：（1）②⑤⑥；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解
【分析】
（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；
（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；
（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．
【详解】
（1）②24x =2(2)x ；⑤21236x x ++=2(6)x +；⑥2124949a a -+=21(7)7
a -是完全
①2244a a b ++；③22x xy y -+； ④21025y y --不是完全平方式， 各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，
故答案为：②⑤⑥；
（2）∵22222()a b c c a b ++=+，
∴()()2222220a ac c
b b
c c -++-+=， ∴()()220a c b c -+-=，
∴a-c=0且b-c=0，
∴a=b=c ，
∴ABC ∆是等边三角形；
（3）∵原式=2(8)(4)64x x x +++
=22(8)(816)64x x x x ++++
=222(8)16(8)64x x x x ++++
=2
2(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦ =()2288x x ++，
∴多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
28．先化简，再求值．()()()()22522334b a b a b a b a b +--+---，其中a ，b 满足()2210a b -+-=．
解析：22315a b +； 27．
【分析】
根据非负数及整式的运算法则即可求解．
【详解】
解：∵()2210a b -+-=，
∴a-2=0，1-b=0，
∴a=2，b=1，
∴原式=()2222251062334ab b a ab ab b b
a +--+++--
=222225054631ab b a a ab b b +--+++
=22315a b + ∴当a=2，b=1时，原式=23215121527⨯+=+=．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．。