高中数学 同步教学 正切函数的诱导公式
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=-tan 120°=tan 60°= 3;
5π
4
π
π
=tan =1.
4
4
3
(2)(3) 3
3
(4)tan =tan π +
答案:(1)- 3
(4)1
H 合作学习
EZUOXUEXI
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Z 自主预习
H 合作学习
IZHUYUXI
EZUOXUEXI
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
tan(-30°)=-tan 30°=-
3
,
3
tan 750°=tan(720°+30°)=tan 30°=
tan(-45°)=-tan 45°=-1,
3
∴原式=
1+ 3
=2+ 3.
3
- 3 +1
3
,
3
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7 .3
正切函数的诱导公式
-1-
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课 标 阐 释
思 维 脉 络
1.理解并熟记正切函数的诱导公式.
2.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化
简、比较大小等问题.
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探究三
利用正切函数诱导公式求值
【例1】 计算:
(1)sin 1 590°·cos(-1 830°)+tan 1 395°·tan(-1 200°);
(2)
tan330°+tan585°
.
tan(-45°)-tan660°
思路分析:利用诱导公式将负角、较大角的三角函数值转化为锐
一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正
弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为
锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
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【做一做】 求值:(1)tan 120°=
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探究三
变式训练 1(1)若 tan
4π
-3
=-5,则 tan
π
+
3
A.5 B.-5
C.25 D.与α的值有关
tan225°+tan750°
.
tan(-30°)-tan(-45°)
4π
(1)解析:因为 tan -=-tan
EZUOXUEXI
正切函数的诱导公式
(1)tan(2π+α)=tan α;(2)tan(-α)=-tan α;
(3)tan(2π-α)=-tan α;
(4)tan(π-α)=-tan α;(5)tan(π+α)=tan α;
(6)tan
π
+
2
=-cot α;(7)tan
π
-
2
=cot α.
名师点拨1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式
2
【例 2】 (1)已知 cos
(2)已知 tan
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π
-
6
=
3
π
,且|φ|< ,则 tan
2
2
3
5π
,则 tan
+
3
6
=
=
φ=
.
思路分析:(1)可由已知条件求出φ的值,再代入求出tan φ;
π
-
6
+
解析:(1)因为 cos
π
+
2
(2)应注意到
3
2
所以 sin φ=- .
(2)原式=
=
-tan45°-tan(4×180°-60°)
- 33+1
tan(-30°)+tan45° -tan30°+tan45°
3
=
=
= .
3
-1-tan(-60°)
-1+tan60°
-1+ 3
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探究三
π
+
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利用正切函数的诱导公式化简或证明
tan(2π-)sin(-2π-)cos(6π-)
=-tan
cos(-π)sin(5π-)
【例 3】 求证:
α.
思路分析:观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导
角的三角函数值.
解:(1)原式=sin(4×360°+90°+60°)·cos(5×360°+30°)-tan(4×360°45°)·tan(3×360°+180°-60°)=cos 60°·cos 30°
3
3 3
+tan 45°·(-tan 60°)= − 3=- .
4
4
tan(360°-30°)+tan(3×180°+45°)
3
4π
所以 tan +
=5,
3
π
即 tan + + π =5,故 tan
3
(2)求值:
答案:A
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+
4π
3
π
3
=5.
+
=-5,
等于(
)
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探究三
(2)解:∵tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1,
“×”.
(1)因为3<4<5,所以tan 3<tan 4<tan 5. (
)
(2)tan 2 π + =tan α当且仅当k=2π时成立. (
(3)在△ABC中,若A>B>C,则tan A>tan B>tan C.(
答案:(1)× (2)× (3)×
)
)
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π
2
5π
+
6
=π,从而可用诱导公式求解.
3
2
=-sin φ= ,
π
3
因为|φ|< ,所以 φ=- ,
所以 tan φ=tan (2)tan
5π
+
6
答案:(1)- 3
π
3
π
3
π
-
6
=-tan =- 3.
=tan π3
(2)3
=-tan
π
-
6
3
=- .
3
;
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反思感悟1.正切函数的诱导公式通常结合已知角求三角函数值,
即知角求值,关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐
角,通常是特殊角的三角函数值.
2.给值求值时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择
恰当的诱导公式求值.
π
(2)tan 6
5π
(4)tan =
4
=
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;
;(3)tan(-1 560°)=
;
.
解析:(1)tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=- 3;
(2)tan -
π
6Leabharlann π633
=-tan =- ;
(3)tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)
5π
4
π
π
=tan =1.
4
4
3
(2)(3) 3
3
(4)tan =tan π +
答案:(1)- 3
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判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
tan(-30°)=-tan 30°=-
3
,
3
tan 750°=tan(720°+30°)=tan 30°=
tan(-45°)=-tan 45°=-1,
3
∴原式=
1+ 3
=2+ 3.
3
- 3 +1
3
,
3
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2.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化
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利用正切函数诱导公式求值
【例1】 计算:
(1)sin 1 590°·cos(-1 830°)+tan 1 395°·tan(-1 200°);
(2)
tan330°+tan585°
.
tan(-45°)-tan660°
思路分析:利用诱导公式将负角、较大角的三角函数值转化为锐
一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正
弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为
锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
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变式训练 1(1)若 tan
4π
-3
=-5,则 tan
π
+
3
A.5 B.-5
C.25 D.与α的值有关
tan225°+tan750°
.
tan(-30°)-tan(-45°)
4π
(1)解析:因为 tan -=-tan
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正切函数的诱导公式
(1)tan(2π+α)=tan α;(2)tan(-α)=-tan α;
(3)tan(2π-α)=-tan α;
(4)tan(π-α)=-tan α;(5)tan(π+α)=tan α;
(6)tan
π
+
2
=-cot α;(7)tan
π
-
2
=cot α.
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2
【例 2】 (1)已知 cos
(2)已知 tan
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-
6
=
3
π
,且|φ|< ,则 tan
2
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3
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,则 tan
+
3
6
=
=
φ=
.
思路分析:(1)可由已知条件求出φ的值,再代入求出tan φ;
π
-
6
+
解析:(1)因为 cos
π
+
2
(2)应注意到
3
2
所以 sin φ=- .
(2)原式=
=
-tan45°-tan(4×180°-60°)
- 33+1
tan(-30°)+tan45° -tan30°+tan45°
3
=
=
= .
3
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-1+tan60°
-1+ 3
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π
+
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利用正切函数的诱导公式化简或证明
tan(2π-)sin(-2π-)cos(6π-)
=-tan
cos(-π)sin(5π-)
【例 3】 求证:
α.
思路分析:观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导
角的三角函数值.
解:(1)原式=sin(4×360°+90°+60°)·cos(5×360°+30°)-tan(4×360°45°)·tan(3×360°+180°-60°)=cos 60°·cos 30°
3
3 3
+tan 45°·(-tan 60°)= − 3=- .
4
4
tan(360°-30°)+tan(3×180°+45°)
3
4π
所以 tan +
=5,
3
π
即 tan + + π =5,故 tan
3
(2)求值:
答案:A
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π
3
=5.
+
=-5,
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)
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(2)解:∵tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1,
“×”.
(1)因为3<4<5,所以tan 3<tan 4<tan 5. (
)
(2)tan 2 π + =tan α当且仅当k=2π时成立. (
(3)在△ABC中,若A>B>C,则tan A>tan B>tan C.(
答案:(1)× (2)× (3)×
)
)
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2
5π
+
6
=π,从而可用诱导公式求解.
3
2
=-sin φ= ,
π
3
因为|φ|< ,所以 φ=- ,
所以 tan φ=tan (2)tan
5π
+
6
答案:(1)- 3
π
3
π
3
π
-
6
=-tan =- 3.
=tan π3
(2)3
=-tan
π
-
6
3
=- .
3
;
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反思感悟1.正切函数的诱导公式通常结合已知角求三角函数值,
即知角求值,关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐
角,通常是特殊角的三角函数值.
2.给值求值时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择
恰当的诱导公式求值.
π
(2)tan 6
5π
(4)tan =
4
=
IZHUYUXI
;
;(3)tan(-1 560°)=
;
.
解析:(1)tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=- 3;
(2)tan -
π
6Leabharlann π633
=-tan =- ;
(3)tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)