艺术生高考数学专题讲义：考点10 函数的图象及其变换

考点十函数的图象及其变换
知识梳理
1．函数图象的作法
(1)直接法
(2)图象变换法
(3)描点法
2．描点法作函数图象
(1)基本步骤：列表、描点、连线．
(2)注意事项：
①列表前应先确定函数的定义域，并化简函数解析式，根据作图需要讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性) ．
②列表时注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点．
③连线时应根据函数特征，用平滑的曲线(或直线)连接各点．
3．基本初等函数的图象
(1) 一次函数y＝ax＋b(a≠0)
(2) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(3) 反比例函数y ＝k
x
(k ≠0)
(4) 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)
(5) 对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)
4．函数图象的变换 (1)平移变换：
y ＝f (x )――――――――――→a >0，右移a 个单位
a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――――――――――→
b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . 口诀：左加右减，上加下减． (2)伸缩变换：
y ＝f (x )―――――――――――→0<ω<1，伸长为原来的1
ω
倍
ω>1，缩短为原来的
1ω
y ＝f (ωx )； y ＝f (x )――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍
0<A <1，缩为原来的A y ＝Af (x )． (3)对称变换：
y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称
y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：
y ＝f (x )―――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图
将x 轴下方图翻折上去
y ＝|f (x )| 口诀：绝对值作用在x 上，右翻左；作用在y 上，下翻上．
典例剖析
题型一 函数的图像识别
例1 下列所给图象是函数图象的个数为________．
答案 2
解析：选 ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.
变式训练 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图像是________．
① ② ③ ④
答案 ①
解析 容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除④.当0<x <π
2时，y ＝x sin x >0，当x ＝π时，
y ＝0，可排除②、③，故选①. 解题要点 函数图像的识别要点：
(1)对于函数的图像，一个x 只有一个y 值与之对应；
(2)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (6)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 题型二 作函数的图象 例2 画出下列函数的图象． (1) y ＝2x －1，x ∈Z ，|x |≤2； (2) y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)；
答案：(1) (2)
变式训练作出下列函数图象
||x>1；
(1) y＝x2－2x()
(2) y＝x|2－x|.
解析(1) ∵||x>1，∴x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图.
(2) ∵ y ＝x |2－x |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2－2x （x ≥2）－x 2＋2x （x<2），∴ 图象由两部分组成，如图.
题型三 函数图象的变换 例3 作出下列函数图象： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2) y ＝|－x 2＋2x ＋1|
解析 (1)由于y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，
即y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(x －1)2＋2，x ≥0，
－(x ＋1)2＋2，x ＜0.
画出函数图象如图所示，
(2) 函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．
变式训练 作出下列函数图象 (1)y ＝2x ＋
2；(2) y ＝x ＋2x －1
.
解析 (1) 将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如下左图
(2)因y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3
x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1
个单位，即得y ＝x ＋2
x －1的图象，如上右图.
题型四 函数图象的应用
例4 方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________． 答案 (1，5
4)
解析 方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，如图：
易知－14<1－a <0，∴1<a <54
.
变式训练：已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1
2
，1)
解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为1
2，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围
为(1
2
，1)．
解题要点 借助函数图象求解方程解的个数、参数范围时利用的是数形结合的思想，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．
当堂练习
1．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的图象对应的函数是________．
答案 y ＝－f (－|x |) 解析 该图象是函数y ＝－2
－|x |
即y ＝－f (－|x |)的图象．.
2．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________． 答案 (4,4)
解析 法一 函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的． 故y ＝f (x )的图象经过点(4,4)．
法二 由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)． 3. 函数y ＝lg
1
|x ＋1|
的大致图象为____________．
①
② ③
④
答案 ④
解析 因为y ＝lg 1|x |是单调递减的偶函数，关于y 轴对称，则y ＝lg 1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1
|x |的
图象向左平移一个单位长度得到的．故选④.
4．为了得到函数y ＝lg(x ＋3)－1的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点____________． ①向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ②向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ③向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ④向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 ③
解析由y＝lg x图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得y ＝lg(x＋3)－1的图象．
5．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内____________．
①没有根②有且仅有一个根③有且仅有两个根④有无穷多个根
答案③
解析如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根．
课后作业
一、填空题
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是____________．
①②
③④
答案③
解析出发时距学校最远，先排除①，中途堵塞停留，距离没变，再排除④，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除②，故选③.
2．函数y＝log2|x|的图象大致是____________．
①②③④
答案③
解析函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选③. 3．(2013·福建文)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是____________．
①②③④答案①
解析依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y 轴对称，故排除③.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除②，④，故选①.
4．为了得到函数y ＝2x －
3－1的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点____________． ①向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ②向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ④向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案 ①
解析 y ＝2x 先向右平移3个单位长度，得到y ＝2x －
3，再向下平移1个单位长度，得到y ＝2x －
3－1.故选①.
5．函数y ＝1－1
x －1
的图象是____________．
① ② ③ ④
答案 ②
解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－
1
x －1的图象．
6．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (0，＋∞)
解析 由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，
0，x ＜0，图象如图所示，
故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0.
7． 若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是____________．
① ② ③ ④ 答案 ②
解析 ∵log a 2<0，∴0<a <1，
由f (x )＝log a (x ＋1)单调性可知①、④错误，再由定义域知②选项正确．
8．(2015山东文)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向____平移____个单位．. 答案 右，π
12
解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦
⎤4⎝⎛⎭⎫x －π
12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π
12个单位． 9．(2015新课标II 文)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2
解析 由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1,4)， 得4＝a (－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.
10．函数f (x )＝2x ＋1
x －1图象的对称中心的坐标是________．
答案 (1，2) 解析 f (x )＝2＋
3x －1
. 11．为了得到函数y ＝2x －3
的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点向________平移
________个单位长度． 答案 右 3 二、解答题
12．分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2) y ＝x 2－2|x |－1
解析 (1) y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg x ， x ≥1，
－lg x ， 0<x <1图象如图
(2) y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x －1， x ≥0，
x 2＋2x －1， x <0.图象如图
13．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围． 解析 当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12
.
当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，
由已知可得0＜2a ＜1，即0＜a ＜1
2，但a ＞1，故a ∈．
综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫0，12.。