2021年广东省揭阳市高考数学模拟试卷(二)

2021年广东省揭阳市高考数学模拟试卷（二）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）的共轭复数是（）
A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，集合B＝，则集合A∩B＝（）A．{x|x≥3}B．{x|2＜x≤3}C．{x|x≥3或x＜}D．{x|x＞2或x＜} 3．（5分）双曲线的离心率不大于的充要条件是（）
A．﹣1≤m＜0B．0＜m≤1C．m≤﹣1D．m≥1
4．（5分）展开式中x的系数为（）
A．﹣10B．10C．﹣5D．5
5．（5分）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与夹角的正切值为（）
A．﹣B．﹣C．D．3
6．（5分）函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间（其中k∈Z）为（）
A．（kπ﹣，kπ+）B．（2kπ﹣，2kπ+）
C．（k，k+）D．（2k，2k+）
7．（5分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，
且遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率为（）
A．B．C．D．
8．（5分）用符号[x]表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分），如[﹣1.2]＝﹣2，[0.2]＝0，[1]＝1，设函数f（x）＝（1﹣lnx）（lnx﹣ax）有三个不同的零点x1，x2，x3，若[x1]+[x2]+[x3]＝6，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）若a＞0，b＞0且ab＝4，则下列不等式恒成立的是（）
A．a2+b2≥8B．≤1
C．D．（log2a）•（log2b）≤1
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则下列四个命题正确的是（）
A．AH垂直平面CB1D1
B．AH的延长线经过点C1
C．点H是△A1BD的垂心（三角形三条高的交点）
D．点H到平面A1B1C1D1的距离为
11．（5分）17世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n （1≤a＜10，n∈Z）的形式，两边取常用对数，则有lgN＝n+lga，现给出部分常用对数值（如表），则下列说法正确的有（）
真数x2371113151719 lgx（近似值）0.3010.4770.845 1.041 1.114m 1.230 1.279 A．m的值为1.176
B．250是15位数
C．310在区间（104，105）内
D．若2﹣15＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），则n＝﹣4
12．（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2＝2px（p＞0），弦AB过焦点F，△ABQ为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）
A．存在点Q，使得
B．
C．对于任意的点Q，必有向量与向量共线
D．△ABQ面积的最小值为p2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（5分）已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||的值为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣6，S3＝﹣12，则S n的最小值为．15．（5分）已知函数，则f（x）+f（﹣x）＝；满足不等式f（a）+f （1﹣2a）＞4的实数a的取值范围为．
16．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且，当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，该四棱锥的外接球的表面积为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）请从下面的三个条件：①a sin＝b sin A；②b sin A＝a cos（B﹣）；③a2+c2﹣b2＝ab cos A+a2cos B中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝4，_____．
（1）求角B的大小；
（2）若M为边AC上一点，且BM为∠ABC的平分线，求BM的长．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣2a n+5，n∈N*．
（1）证明：{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）已知，求数列{b n}的前n项和T n．
19．（12分）如图（1），边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为AB，AC上的动点，EF ∥BC且EF＝2a（0＜a＜2），中线AD与EF交于点O，现以EF为折痕把△AEF折起，使平面AEF⊥平面EFCB，如图（2）所示．
（1）若，求证：BE⊥平面AOC；
（2）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值．
20．（12分）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：
4665798999109110116123134140数学
成绩x
物理
505460636668070737680成绩y
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x
的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；
（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（μ，σ2），用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望．
附：参考数据：
11106606858612042647700.31上表中的x i表示样本中第i名考生的数学成绩，y i表示样本中第i名考生的物理成绩，＝．
参考公式：①对于一组数据：u1，u2，…，u n，其方差：s2＝＝．
②对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．
③随机变量ξ服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2
σ）≈0.955，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.997．
21．（12分）如图，A，B是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是椭圆C 上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x＝4分别交于C，D两点，当M点的坐标为时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△MAB和△MCD的面积分别为S1和S2.求的取值范围．
22．（12分）已知函数，其中a∈（0，1]．（1）讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性；
（2）求证：．
2021年广东省揭阳市高考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）的共轭复数是（）
A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i
【解答】解：．
所以复数的共轭复数是2+i．
故选：A．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，集合B＝，则集合A∩B＝（）A．{x|x≥3}B．{x|2＜x≤3}C．{x|x≥3或x＜}D．{x|x＞2或x＜}【解答】解：A＝{x|x2﹣5x+6≥0}＝{x|x≥3或x≤2}，
B＝＝{x|x＞2或x＜}，
则A∩B＝{x|x≥3或x＜}，
故选：C．
3．（5分）双曲线的离心率不大于的充要条件是（）
A．﹣1≤m＜0B．0＜m≤1C．m≤﹣1D．m≥1
【解答】解：双曲线的离心率不大于⇔，
解得：0＜m≤1．
故选：B．
4．（5分）展开式中x的系数为（）
A．﹣10B．10C．﹣5D．5
【解答】解：展开式中x的系数﹣＝﹣5，
故选：C．
5．（5分）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与夹角的正切值为（）
A．﹣B．﹣C．D．3
【解答】解：设与夹角为θ，
∵D为线段BC的中点，B（6，1），C（4，3），
∴D（5，2），
又∵A（3，1），
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵θ∈[0，π]，
∴，
∴，
故向量与夹角的正切值为，
故选：B．
6．（5分）函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间（其中k∈Z）为（）
A．（kπ﹣，kπ+）B．（2kπ﹣，2kπ+）
C．（k，k+）D．（2k，2k+）
【解答】解：把点（0，）代入得，2cosφ＝，∴cosφ＝，∴φ＝+2kπ，k∈Z，把点（，0）代入得，2cos（ω+）＝0，∴ω+＝+2kπ，k∈Z，∴ω＝π，∴f（x）＝2cos（πx+），
令2kπ≤πx+≤π+2kπ，k∈Z，∴2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z．
故选：D．
7．（5分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：“因遇到红灯停留的总时间至多是4min”等价于“至多遇到2个红灯”，所以概率为＝．
故选：A．
8．（5分）用符号[x]表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分），如[﹣1.2]＝﹣2，[0.2]＝0，[1]＝1，设函数f（x）＝（1﹣lnx）（lnx﹣ax）有三个不同的零点x1，x2，x3，若[x1]+[x2]+[x3]＝6，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：不妨设x1＜x2＜x3，
由f（x）＝0，得1﹣lnx＝0或lnx﹣ax＝0，
所以x＝e或＝a，
令g（x）＝，
作出g（x）的图象：
由g（x）的图象可知1＜x1＜e，x2＝e，x3＞e，
由[x1]+[x2]+[x3]＝6，可得[x1]+[x3]＝4，
又g（2）＝g（4），
若1＜x1＜2，则x3＞4，
此时[x1]+[x3]≥5，
若2≤x1＜e，则e＜x3≤4，
此时[x1]+[x3]＝4或5或6，
要使得[x1]+[x3]＝4，则由e＜x3＜3，
所以＜a＜，
故选：B．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）若a＞0，b＞0且ab＝4，则下列不等式恒成立的是（）
A．a2+b2≥8B．≤1
C．D．（log2a）•（log2b）≤1
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，a＞0，b＞0且ab＝4，则a2+b2≥2ab＝8，A正确；
对于B，如a＝，b＝8，满足ab＝4，但+＝＞1，B错误；
对于C，当a＝b＝2时，+＝2＜4，C错误；
对于D，（log2a）•（log2b）＝（log2a）•（log2）＝log2a（2﹣log2a）＝﹣（log2a）2+2log2a，设t＝log2a，则原式＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1≤1，D正确；
故选：AD．
10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则下列四个命题正确的是（）
A．AH垂直平面CB1D1
B．AH的延长线经过点C1
C．点H是△A1BD的垂心（三角形三条高的交点）
D．点H到平面A1B1C1D1的距离为
【解答】解：对于A，∵平面A1BD与平面B1CD1平行，∵AH⊥平面A1BD，∴AH垂直平面CB1D1，故A正确；
对于B，连接AC1，由三垂线定理及线面垂直的判定可得AC1⊥面A1DB，再由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，可得B正确；
对于C，∵AB＝AA1＝AD，BA1＝BD＝A1D，∴三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，
∴点H是△A1BD的垂心，故C正确；
对于D．，可得AC1⊥平面A1BD，点H是AC1的与平面A1BD，由V＝V，可得×AH＝，解得AH＝＝，则点H到平面A1B1C1D1的距离为，故D错．
故选：ABC．
11．（5分）17世纪初，约翰纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n （1≤a＜10，n∈Z）的形式，两边取常用对数，则有lgN＝n+lga，现给出部分常用对数值（如表），则下列说法正确的有（）
真数x2371113151719 lgx（近似值）0.3010.4770.845 1.041 1.114m 1.230 1.279 A．m的值为1.176
B．250是15位数
C．310在区间（104，105）内
D．若2﹣15＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），则n＝﹣4
【解答】解：由题意，m＝lg15＝1+lg3﹣lg2＝1.176，故选项A正确；
lg250＝50lg2＝50×0.301＝15.05，因为1015＜250＜1016，
故250是16位数，故选项B错误；
lg310＝10lg3＝10×0.477＝4.77，因为104＜310＜105，
故310在区间（104，105）内，故选项C正确；
lg2﹣15＝﹣15lg2＝﹣15×0.301＝﹣4.515＝﹣5+0.485，
故2﹣15≈10﹣5+0.485＝100.485×10﹣5，
因为1＜100.485＜10，
所以n＝﹣5，故选项D错误．
故选：AC．
12．（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2＝2px（p＞0），弦AB过焦点F，△ABQ为其阿基米
德三角形，则下列结论一定成立的是（）
A．存在点Q，使得
B．
C．对于任意的点Q，必有向量与向量共线
D．△ABQ面积的最小值为p2
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
设直线AB：x＝my+，
联立，化为y2﹣2pmy﹣p2＝0，
得到y1+y2＝2pm，y1y2＝−p2．
设过点A的切线为（y−y1）＝k（x﹣x1），
联立，整理可得＝0，
由△＝（﹣）2﹣4（﹣y）＝0，可得k＝．
同理可得过点B的切线斜率为，
对于A，∵k QA•k QB＝＝＝﹣1，∴，故A错；
对于B，可得A，B处的切线方程分别为：y1y＝p（x+x1），y2y＝p（x+x2），可得Q（﹣，），
∴k QF＝﹣＝﹣m，
又因为直线AB的斜率为，
∴AB⊥QF，∴AQ2＝AF•AB
∴＝AF•AB．
故B正确；
对于C，设AB的中点为H，则由由y H＝，∴QH∥x轴，
向量＝2，
∴向量与向量共线，故C正确；
对于D，如图，设准线与x轴的交点为M，
△ABQ面积的S＝，当AB最短时（最短为2p），QF也最短，最短为MF，△ABQ 面积的最小值为p2，故正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（5分）已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||的值为2．【解答】解：根据题意，向量＝（1，x），＝（﹣1，x），
则2﹣＝（3，x），
若2﹣与垂直，则（2﹣）•＝﹣3+x2＝0，
解可得：x＝±，
则||＝＝2，
故答案为：2．
14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣6，S3＝﹣12，则S n的最小值为﹣12．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣6，S3＝﹣12，
∴，
解得d＝2，
∴＝n2﹣7n＝（n﹣）2﹣，
∴n＝3或n＝4时，S n的最小值为S3＝S4＝﹣12．
∴S n的最小值为﹣12．
故答案为：﹣12．
15．（5分）已知函数，则f（x）+f（﹣x）＝4；满足不等式f（a）+f （1﹣2a）＞4的实数a的取值范围为（1，+∞）．
【解答】解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）＝+x，则f（x）+f（﹣x）＝＝4，
设g（x）＝f（x）﹣2，则g（x）＝﹣x﹣2＝﹣x﹣1，
则f（x）+f（﹣x）＝4，则f（x）﹣2+f（﹣x）﹣2＝0，即g（x）+g（﹣x）＝0，函数g （x）为奇函数；
g（x）＝﹣x﹣1，函数y＝2x为增函数，则g（x）在R上为减函数，
f（a）+f（1﹣2a）＞4⇒f（a）﹣2＞﹣[f（1﹣2a）﹣2]⇒g（a）＞﹣g（1﹣2a）⇒g（a）＞g（2a﹣1），
则有a＜2a﹣1，解可得a＞1，即a的取值范围为（1，+∞）；
故答案为：4，（1，+∞）．
16．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且，当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，该四棱锥的外接球的表面积为36π．
【解答】解：设PO＝h，AB＝a，则．
在Rt△P AO中，P A2＝AO2+PO2，所以．
所以＝．
设f（h）＝﹣h3+12h，f'（h）＝﹣3h2+12＝﹣3（h+2）（h﹣2），
所以f（h）在（0，2）上递增，（2，+∞）上递减，故当h＝2时，f（h）有最大值，即四棱锥的体积最大．此时a＝4．
该四棱锥的外接球的球心在直线PO上，设半径为R，则，解得R＝3．
所以外接球的表面积为4πR2＝36π．
故答案为：36π．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）请从下面的三个条件：①a sin＝b sin A；②b sin A＝a cos（B﹣）；③a2+c2﹣b2＝ab cos A+a2cos B中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝4，_____．（1）求角B的大小；
（2）若M为边AC上一点，且BM为∠ABC的平分线，求BM的长．
【解答】解：（1）选择条件①，由正弦定理，得sin A sin＝sin B sin A，因为sin A≠0，
所以sin＝sin B，
由A+B+C＝π，可得sin＝cos，
故cos＝2sin cos，
因为cos≠0，
故sin＝，
因此B＝．
选择条件②，由正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos（B﹣），
因为sin A≠0，
所以sin B＝cos（B﹣），
所以sin B＝cos B+sin B，
可得tan B＝，
又B∈（0，π），
所以B＝．
选择条件③，因为a2+c2﹣b2＝ab cos A+a2cos B，
所以由余弦定理，得2ac cos B＝ab cos A+a2cos B，
又a≠0，
所以2c cos B＝b cos A+a cos B，
由正弦定理，可得2sin C cos B＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，
又C∈（0，π），
所以sin C＞0，
所以cos B＝，
因为B∈（0，π），
所以B＝．
（2）由S△ABC＝S△MBC+S△MAB，可得＝
+，
解得BM＝．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣2a n+5，n∈N*．（1）证明：{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）已知，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】证明：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣2a n+5①，
当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）﹣2a n﹣1+5②，
①﹣②得：a n＝﹣2a n+2a n﹣1+1，
所以：，
所以数列{a n﹣1}是以1为首项，为公比的等比数列；
故．
（2）由（1）得：＝，
故＝
．
19．（12分）如图（1），边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为AB，AC上的动点，EF ∥BC且EF＝2a（0＜a＜2），中线AD与EF交于点O，现以EF为折痕把△AEF折起，使平面AEF⊥平面EFCB，如图（2）所示．
（1）若，求证：BE⊥平面AOC；
（2）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：依题意可知AO⊥EF，又平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面FCB＝EF，
所以AO⊥平面EFCB，所以AO⊥BE，
因为，则有，
，∴∠OCD＝∠FOC＝30°，
∴∠EBC+∠OCD＝90°，∴EB⊥OC，
又AO∩OC＝O，所以BE⊥平面AOC．
（2）以O为坐标原点，分别以OE，OD，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由于平面AEF与y轴垂直，则设平面AEF 的法向量为，
设平面AEB的法向量，
，则，所以，
由二面角F﹣AE﹣B为钝二面角，所以二面角F﹣AE﹣B 的余弦值为．
20．（12分）某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如表：
4665798999109110116123134140数学
成绩x
505460636668070737680物理
成绩y
（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y与数学成绩x之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y关于x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；
（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（μ，σ2），用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y的期望．
附：参考数据：
11106606858612042647700.31
上表中的x i表示样本中第i名考生的数学成绩，y i表示样本中第i名考生的物理成绩，＝．
参考公式：①对于一组数据：u1，u2，…，u n，其方差：s2＝＝．②对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．
③随机变量ξ服从N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.955，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.997．
【解答】解：（1）设根据剔除后数据建立的y关于x的回归直线方程为＝x+，
剔除异常数据后的数学平均分为，
剔除异常数据后的物理平均分为，
则＝0.31，
则＝66﹣0.31×100＝35，
所以所求回归直线方程为＝0.31x+35，
又物理缺考考生的数学成绩为110，
所以估计其可能取得的物理成绩为＝0.31×110+35＝69.1；
（2）由题意可知，μ＝66，因为
，
所以σ＝，
所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N（66，92），
则物理成绩不低于75分的概率为，
由题意可知，Y～B（10000，0.1585），
所以物理成绩不低于75分的人数Y的期望为E（Y）＝10000×0.1585＝1585．21．（12分）如图，A，B是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是椭圆C 上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x＝4分别交于C，D两点，当M点的坐标为时，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记△MAB和△MCD的面积分别为S1和S2.求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，A（﹣a，0），M点的坐标为，点C的横坐标为4，
又，所以1﹣（﹣a）＝4﹣1，解得a＝2，
将点M代入椭圆C的方程，可得，解得b＝1，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）由题意可知，直线AM的斜率存在，
设直线AM的方程为y＝k（x+2）（k＞0），
联立方程组，可得（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，
设M（x0，y0），则有，
所以，故，
所以点，
则，又，
所以直线BM的方程为，可得，
故＝，
所以＝
，
当且仅当，即时取等号，
所以的取值范围为．
22．（12分）已知函数，其中a∈（0，1]．
（1）讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
当，0＜x＜1时，f'（x）＞0，所以f（x）在[0，1]单调递增，
当⇔a2+2a﹣1＜0，
由0＜x＜1，得f'（x）＜0，所以f（x）在[0，1]单调递减，
当时，当时，f'（x）＜0，
当时，f'（x）＞0，
所以f（x）在单调递减，在单调递增．
（2）不等式，
即，
为此先证明：，
由
由（1）知，当，f（x）在（0，1）单调递增，f（x）≥f（0）＝0，即，
令，则有，故．
由（1）知，当a＝0.4，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）≤f（0）＝0，即，
令，则有，故．
综上，对∀n∈N+，恒成立，
所以．。