结构力学讲稿十

结构⼒学讲稿⼗
第⼗章矩阵位移法
§ 10-1概述
前⾯介绍的内⼒或位移的求解⽅法：⼒法、位移法，以及静定结构的⼀些求解⽅法（结点法、取隔离体的⽅法）理论上对未知量的数量没有限制，但若未知量较多，⼯作量太⼤，⽽实际当中的结构往往⽐较复杂，且多为超静定结构，所以这些⽅法不适合求解这些复杂的问题。

本章所介绍的矩阵位移法就是利⽤计算机解决结构内⼒和位移分析（称为有限元法⼀Finite Element Method，FEM ）的理论基础。

利⽤计算机解决结构内⼒和位移分析的优点：
1、计算机处理问题速度快，⽽且计算准确；
2、静定结构和超静定结构的处理⽅法是⼀样的。

利⽤计算机解决结构内⼒和位移分析的缺点：
1、只能进⾏数值计算，⽆法进⾏公式推导。

2、部分问题不易处理，
例如：
矩阵位移法的思路：先进⾏单元（这⾥指单个杆件）分析，再进⾏整体分析,
具体过程如下：
§ 10-2单元刚度矩阵
单元刚度矩阵：将杆件端点（结点）的⼒和位移联系在⼀起的⼀个矩阵，类似于弹簧刚度F ⼆kx
⼀、基本符号
考虑⼀个等直杆，编号为三,杆两端的结点编号为i,j （ i 可以⼤于j ,也可以⼩于
j ）,并建⽴局部坐标系（x 轴沿杆件的轴线，，从x 到y 逆时针转90。

, 某量值上⽅的“-”
表⽰局部坐标系下的量）如图：
例如:
变形前以及变形后的杆件如图:
—e
2
2
②
3
③③
y
77^
77 k
2
3
3
4
1 4
图中各符号的含义：
变形前：直杆i,j
变形后：弯曲杆i',j'
e — e
杆端轴向⼒：F Ni,F Nj （沿x为正，⽽不是拉为正、压为负）
e — e
杆端横向⼒：F si,F sj （沿y为正）
e --- e
杆端弯矩：M i,M j （逆时针为正，注意：有些教材规定顺时针为正）
e e ~~
杆端沿轴向位移：U i ,U j （沿X为正）
e — e —
杆端沿横向位移：V i,V j （沿y为正）
e — e
杆端转⾓：U （逆时针为正）
⼆、杆端⼒和杆端位移间的关系（思路：单个位移分别考虑，然后再综合）—e
1. U i = 1引起的杆端⼒
—e
2. U j = 1引起的杆端⼒
6EI
3. —e V i
=1引起的杆端⼒
V i
e
=1
v
⼆1引起的杆端⼒
6EI
I 2
j(j ')
6EI I 2
12EI I 3
12EI I 3
5. —e
引起的杆端⼒
6.
12EI
I 3
12EI I 3
⼆1引起的杆端⼒
2EI
)
6EI
I 2
六个杆端位移同时存在时，根据叠加原理有, ——e F Ni EA —e U i EA —
e U
j
6E^-e i 12EI
—e
I 3
M
i = V i
i
I —e EA- e EA —e
F
Nj u i - U j
I I
——e 12EI —e 6EI F ? ■ 3 V i
.2 I I
---- e 6EI -e
2EI —e M
j ⼆ 2 V i ⼗
cp i
e
—e
—e
写成矩阵形式, —e i
I 3
I 2 ——e
F si 6EI -e I 2
2E^-e
j
12EI -e 6E^-e I 3 I 2 6EI -e 4EI —e ------ x/i
------- j I 2
-
EA
0 ■
1 ■
i
EA 0
0 1 0
1 I
1
I
1 I 3
I 2
I 3
I 2
1 0 6EI
4EI ； 0
6EI
2EI
1 .
2 II .2 ，……I...
1
……I ... ……I ， ... I .. 1 EA 0 a i
■
EA 0 0
- 0 ■ 1 I
9
i ■
I
1 0 12EI 6EI ■
0 12EI
6EI
1 3
2 :
3
2
1 I I
I I 1 0 6EI 2EI i 0 6EI
4EI I 2 1
*
I 「I 2
Nj —e F
sj --- e
M
i --- e M j
称为单元的刚度⽅程
虚线的作⽤:
_e
U i
—e
V i
—e
i —e
U j
—e
V j
j
1）将两个结点的内⼒量、位移量分开；
2）未被虚线分开的量在总体坐标系中也是相邻的，每⼀⼩块完整（整体）⼩矩阵处理。

—e — e — e
F - k 5 （注意是⿊体）
F e = k e
F Ni
—e
F s
e M：、
F e ----------- 杆端⼒列向量
F Nj
l
F
e
Fs
杆端位移列向量（称为⼦块）作为⼀个简写为, 或，
其中，
EA 0 0 EA 0 0
1
l l
1
12EI 6EI 12EI 6EI 1
l 3 l 2
0 l 3
l 2
1
1
1 0
6EI 4EI
0 6EI 2EI 1
1
l 2
l EA l 2
l
1
单兀刚度矩阵
⼕A EA
0 0
0 0 1
l
1
l
1 12EI
6EI
12EI
6EI 1
■ 3
1
1
l l
l l 1
6EI 2EI
6EI 4EI 1
1
l 2
l
l 2
l
单元刚度矩阵的特点：
e
1.对称性，k j
e
k ji (原因
:反⼒互等定理 )
2.奇异性，k =0 （原因：没有⾜够的约束，杆件可以随意移动）
§ 10-3单元刚度矩阵的坐标转换
整体坐标系或结构坐标系：对各杆件都统⼀的坐标系
上节的⼒向量、位移向量及单元刚度矩阵都是以局部坐标系为基础的，⽽局部坐标系是以杆件的轴线为基础建⽴的，⽽后⾯要建⽴的结点⼒的平衡条件以及结点位移都是以同⼀个坐标系（整体坐标系）为基础，所以要将局部坐标系下的⼒向量、位移向量以及单元刚度矩阵转换到整体坐标系下的⼒向量、位移向量以及单元刚度矩阵。

⼀、坐标转换矩阵设整体坐标系下的⼒向量和位移向量分别为
在i 点将⽮量和式分别沿x 和y ⽅向投影得,
--- e
F M = F x
： cos ： F yi sin :
—
e
e e
以及, 同理，在j 点将⽮量和式分别沿x 和y ⽅向投影得, --- e
F Nj = F xj
cos ： F yj
sin :
-- e
F sj
⼆
-F x ：sin ： F yj cos ：
以及，
M e
- M e
写成矩阵形式为,
F e
i e
⼘M i e
u e
e
V
i
…e
： :-
e
U j V ：
I J
根据⽮量和关系
M j e =M j e
F x ：
F Ni +
F si = F xi + F y[
e e
F Nj
F sj _ - e - e =F
xj + F
yj
IFN⼀cos。

sin a0 i0 0 01「F x：1 .F e .F si!L
L
1 . |-
Sina
cos?0〔
10 0
l F e 1
1 f 1
I M,-l 1 0 0 i i0 0 OpM i：I
A = !”o…
0 0 i
i cos?
-sin?0
I l-e 1
1 Fxj |
■F S!
L 1 0 0
0 i
1
sin?cos。

0
1 F e ⼚yi
—e
-
11 1 e IM -? 00 0 i0 0 1
⼀
]Mj j 简写为，
——e F =TF e 或h
=TX F｝
其中,
sin?0 0 0 01 i- sin?cos。

0 0 0 0|
1 0 0 1 0 0 01 T】= I1
1 00 0 cos?sin?0|
1 0 0 0 -sin ⼝cos?0|
'0 0 0 0 0 1
⼀⽽且, T~ T⼙，T)= 1——单位正交矩阵
_ e e U i +
V i
崩=中e e U i +
V i
坐标转换矩阵同理，利⽤位移的⽮量和关系,
可得,
E = 或坯九【T X6 F
e e ? e — e —e
将式F⼆TF e和3= T E代⼊F = k E得，
TF k e T §e
e e
F e=T ST^T T kT 1k e E
即，
F^ k e3――整体坐标系下的单元刚度⽅程
或写为，
：F :% [k『J ⼴
其中，〔k『⼆T T k e T 1称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。

,可将将矩阵的单元按结点分块（将每⼀杆端⼒、杆端位移作为⼀个基本向量）整体坐标系下的单元刚度⽅程F^ k e E写为，
F i e忙k；E
11= | [ if |
_F j IL k ji k jj _ 3
即，
Fi k E k j E；
F：=時3+际3
其中，
I
Fi e= |F y：1，F:-⼁F e@杆端⼒向量
：」1 1 IT 1 J 1
『⼆|Vi e1，⼖
e
|Vj |杆端位移向量
,
kieKKK
为3 3⽅阵
（其中，c =cos: , s = sin :）
整体坐标系下单元刚度矩阵的特点: 1、对称性，&⼆k ji 。

证明：因为-k = T ⼙k 『T 】及局部单元刚度矩阵的对称性服e T
- !T T
k e
T 「= T ⼙
'k 盯-T ⼙ T
= T ⼙ k e
T L
证明：
1）直接观察'-k e
，第⼀⾏（列）加第四⾏（列），或第⼆⾏（列）加第五⾏（列）
2） I = T ]T *k r T^|T ]T
■
\T^ = 0
§ 10-4结构的原始刚度矩阵
矩阵位移法思路：通过研究各结点的平衡，建⽴⼀个以位移为基本未知量的位移法典型⽅
将〔kJ T 1T k e T 1进⾏矩阵相乘运算得,
「⽬ I I k e
C 2 12EI
S 2 EA 12EI I ⼀ I 3 6EI ⼗
EA 2 12EI 2 〒⼀亍
s
J cs 6EI -|2
S
EA
cs I I 3 EA
12EI
c
2
I
I 3
6EI T c EA 12EI "I I 3 EA 2 12EI -——s ⼀ —.I I 6EI I 2 c
6EI -12 S 6EI 12
C
4EI 6EI -r s 6EI T c 2EI I
:
EA 2
］（；T c
.I EAJ2EI -
6EI
i 〒s
；EA
c 2
^2EI
s
2
:I I 3
=EA —
12EI
cs . I I 3
6EI
i HF '
12EI 2
EA 12EI
___ s …
EA 2 12EI 2 c I I 3 6EI
F
EA
_
12EI
cs
I I 3
EA 2 12EI 2
3—c .I I 3
6EI -I 2 c
6EI -12 S 6EI 12
C
2EI 6EI -r s 6EI
〒C
4EI I
2、奇异性,
-0 （原因：没有⾜够的约束，杆件可以随意移动）
程，或是结构的刚度⽅程（将各结点位移通过结构的刚度矩阵和各结点⼒联系⼀起的⽅程）。

求解出各结点的位移后，再通过单元的刚度⽅程，计算杆端⼒。

整体坐标和各单元局部坐标如图,
各单元的始末端号如表,
各单元刚度矩阵的四个⼦块为,
刚度矩阵⼦块下标的含义：总刚度矩阵中刚度矩阵⼦块的位置，有相同下标时, 在总刚度矩阵中则相加，如：
k 22和⽦，及k 33和k 3?
O
如果结点编号改变，例如，结构及结点、单元编号如图,
2
2
②
3
”
7T r 7T V -------
2
3
3
1
4
局部坐标终点号
总刚列号
XX
2
3
Q kJ 庸 2 ⽤熄3,
各单元的始末端号如表,
各单元刚度矩阵的四个⼦块为, 总刚列号
结点位移列向量，
叽｝」
其中,
U i
△⼆ V i ,i ⼆ 1,2,3
_ i
△为结点i 的位移列向量，u, w, ＜为结点i 沿结构坐标系（总体坐标系）x, y ⽅向的线位移和⾓位移
结点⼒列向量（先不考虑⾮结点⼒）,
1 2 ①kn 灯
k=
k "k 3
-k
k
XX
2
3 kl 2
kl
I W 4 ⽃ t *?=
3,
4
⽐丄曲4
〉总刚⾏号
e
k=
- >3
3-1
K k
F i
F
⼆2，或者=
F 3
g｝」其中，
F xi
F「F yi ,i 72,3
M
F i为结点i的⼒列向量，F x, F yi,M i为作⽤于结点i上沿结构坐标系（总体坐标系）
x, y⽅向的外⼒和⼒偶，当结点是⽀座时，代表⽀座处的⽀反⼒，如F,和F4。

研究结点的平衡，以结点2为例，受⼒如图，。