高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》技巧及练习题附答案解析

数学《数列》复习知识要点
一、选择题
1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ）
A ．63
B ．21
C ．63-
D ．21
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得
21112163S a ==-.
【详解】
∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.
2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
3．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS << C ．140,0a d dS >< D ．140,0a d dS <>
【答案】B 【解析】 ∵等差数列
，
，
，
成等比数列，∴
，
∴
，∴
，
，故
选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念
4．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.
5．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51
C ．61
D ．68
【答案】B 【解析】 【分析】
由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】
在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，
3156a a ∴+=.
()()117315171717176
51222
a a a a S ++⨯∴=
===. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.
6．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意
大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．201920202S a =+
B ．201920212S a =+
C ．201920201S a =-
D ．201920211S a =-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为
1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，
所以201920211S a =-，选D. 【点睛】
本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.
7．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】
由2416a a =得24455
16116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
8．在数列{}n a 中，()111,1n
n n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）
A ．2017⨯1008
B ．2017⨯1009
C ．2018⨯1008
D ．2018⨯1009
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件()n
n 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】
()n
n 1n a a n 1+-=+-,
()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,
-=+--=+-=+--=+
⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-
将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)
201710092
+=⨯，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.
9．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】
解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==，
335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B 【点睛】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123
111
2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7
C ．8
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可将已知等式变为1233
2
224
a a a S a ++==，解方程求得结果.
【详解】
由题意得：131233
2
1231322111124
a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.
11．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2 C ．
11
1989
2 D ．
11
2019
2 【答案】C 【解析】 【分析】
由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2m -， 所以第12个括号里的第995项是111989
2
. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
12．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】
25251634121
32323222log 62
n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=
⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)
011102
n n n S n n +-=
>⇒<⇒= ，故选C.
13．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）
A ．
2542
B ．
3764
C ．
1730
D ．
67
【答案】A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当
6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知， 第1次循环时1
13
S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324
S =
+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435
S =
++⨯⨯⨯，4i =，否；
第4次循环时111113243546
S =
++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；
第5次循环时111111324354657
S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出
111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 111125
1226742
⎛⎫=
+--=
⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】
依题意，()()
183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故
632
33a a d -=
=-，故选：D ． 【点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12
n n n a S n
++=（*n ∈N ），则n S =（ ） A ．121n -+ B ．2n n ⋅
C ．31n -
D ．123n n -⋅
【答案】B 【解析】
【分析】
由题得12
2,1
n n a n a n ++=⨯+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+⋅，即得n S . 【详解】 由题得111(1)(1),,,2121
n n n n
n n n na n a na n a S S a n n n n ++---=
∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1
n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32
a a a =∴
==，所以12
2,1n n a n a n ++=⨯
+（1n ≥）. 所以32412313451
2,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯L ， 所以11112,(1)22
n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222
n n n n
S n n n =⨯+⋅=⋅+. 故选：B 【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足
15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[； B
．(,-∞
C
．)
+∞
D
．(,)-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得1
1322
a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
Q 数列{}n a 为等差数列，
∴15154
55102
a d d S a ⨯=+
=+，∴()151********a S a a d +++==，
由10a ≠可得1
1322
a d a =--， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时等号成立； 当10a <
时，1
1322a d a =--≥=
1a =立；
∴实数d
的取值范围为(,)-∞⋃+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
17．等比数列{}n a 共有21n +项，其中11a =，偶数项和为170，奇数项和为341，则
n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．9
【答案】B 【解析】
由题意知1321...341n a a a ++++= ，可得3211...341340n a a a +++=-=，又因为
242...170,n a a a +++= 所以
321242 (340)
2 (170)
n n a a q a a a +++===+++ ，
21
211234117051112
n n S ++-==+=- ，解得4n = ，故选B.
18．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．
4
3
钱 B ．
73
钱 C ．83
钱
D ．
103
钱
【答案】C 【解析】 【分析】
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10求得a ＝2，则答案可求． 【详解】
解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝10，∴a ＝2， 则a ﹣2d ＝a 48333
a a +==． 故选：C ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知(
)*
123n n a a n n N
++=+∈且1300n
S
=，若
23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
【答案】A 【解析】 【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2
+32n n n
S =，发现不存在这样的偶数能满
足此式，当n 为奇数时，可得21+34
2
n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值.
【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+ 2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32
n n
=，
因为22485048+34850350
1224,132522
S S ⨯+⨯====，
所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
2134
2
n n a +-=+
因为24911493494
12722
S a a +⨯-=+=+，
25111513514
13752
S a a +⨯-=+=+，
又因为23a <，125a a +=，所以 12a > 所以当1300n S =时，n 的最大值为49 故选：A 【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.
20．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的S 的值是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果． 【详解】
由程序框图可知，输入，，，
第一次运算：，
；
第二次运算：，； 第三次运算：，
； 第四次运算：
，
；
第五次运算：，；
第六次运算：，；
第七次运算：，；
第八次运算：，；
第九次运算：，；
第十次运算：，，
综上所述，输出的结果为，故选B．
【点睛】
本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。