2021-2022学年北师大版必修5 3

解析 由 x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2 2xy＋6(当且仅当 2x＝y 时，取“＝”)， 即( xy)2－2 2 xy－6≥0， ∴( xy－3 2)·( xy＋ 2)≥0.
又∵ xy>0，∴ xy≥3 2，即 xy≥18. ∴xy 的最小值为 18. 答案 18
9
9
9
A.16
B.4
C.2
D.8
(D )
2．已知5x＋3y＝1 (x>0，y>0)，则 xy 的最小值是 ( C )
A．15
B．6
C．60
D．1
课堂小结
1、本节课学习了基本不等式的三个应用：
(1)求函数最值；(2)求关于两个变量的最值问题 (3)实际问题的最优化设计.
2、定理应用条件：一正、二定、三相等
例 2 已知正数 x，y 满足8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
小结 利用基本不等式求代数式的最值时，经常要对代数式 进行变形，配凑出基本不等式满足的条件，同时要注意考察 等号成立的条件．
跟踪训练2
解 由1x＋9y＝1，得 x＝y－y 9， ∵x>0，y>0，∴y>9. x＋y＝y－y 9＋y＝y＋y－y－9＋9 9＝y＋y－9 9＋1 ＝(y－9)＋y－9 9＋10. ∵y>9，∴y－9>0，∴y－9＋y－9 9＋10 ≥2 (y－9)·y－9 9＋10＝16，
B、e x
1 ex
2
和定，积有最大值
C、x(1
x)
x
1
x
2
1
(0 x 1)
2 4
D、sin x 4 4 （0 x )
sin x
一正 二定
三相等
典型例题
例 1 已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5有
A．最大值52
B．最小值54
C．最大值 1
D．最小值 1
(D )
小结 本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离， 便可创造出使用基本不等式的条件．
跟踪训练 1 已知 a>3，求 a＋a－4 3的最小值．
解 ∵a>3，∴a－3>0. ∴a＋a－4 3＝a－3＋a－4 3＋3≥2
当且仅当 a＝5 时取等号．
∴a7，
若不满足等号成立的条件则需要利用函数的单调性来解题
3、应用的关键是找到定值：
和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.
课后作业
课本P100 习题3.4A组 第2题、第4题
高考试题赏析
A
解析 由题可知 y＝x＋23z， 所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz＝x2＋4xz9z2＋32≥2 49xxz2z2＋32＝32＋32＝3(当 且仅当 x2＝9z2 时等号成立)， 所以xyz2的最小值为 3，故选 A.
又当1x＋且9仅y＝当1，y－则9＝x＝y－49，9，即 y＝12 时取等号． ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
方法2 解 ∵1x＋9y＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx.
∵x>0，y>0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.
授课老师 ：
知识回顾
基本不等式 a b ab 2
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b时取等号．
其中
ab 2
为两个正数的
算术平均数
ab 为两个正数的 几何平均数
牛刀小试
下列不等式，正确的是 （ C ）
A、y x 4 4 当X>0 积定，和有最小值 x
∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
解
设水池底面一边的长度为
x
m，则另一边的长度为4
800 3x
m．又设水池总造价为 y 元，根据题意，得
小结 利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于 目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大 (小)值及取最大(小)值的条件．
1．设 0<x<32，则函数 y＝x(3－2x)的最大值是