第2节空间几何体的表面积与体积

C'
A
B
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．
由 2R＝3，即 R＝23. 故球的最大体积 V＝34πR3＝92π.
C
答案 B
考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁 [迁移探究] 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的 移) 球面上”，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球 O 的表面积．
第2节空间几何体的表面 积与体积
2020/8/15
第2节 空间几何体的表面积与体积
01
诊断自测
02
考点一
空间几何体的表面积 例1 训练1
03
考点二
空间几何体的体积
例2 训练2
04
考点三
多面体与球的切、接 问题(典例迁移)
例3 训练3
诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16
多面体的表面积是各个面的面 积之和；组合体的表面积注意 衔接部分的处理
解析 (2)由三视图可画出直观图， 该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，
S 梯＝21×(2＋4)×2＝6， S全梯＝6×2＝12. 答案 (2)B
考点一 空间几何体的表面积
1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体 中各元素之间的位置关系及度量大小．(2)还原几何体的直观图， 套用相应的面积公式． 2．(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意 衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
【训考练 1点】(1一)某几何空体的间三几视图何如图体所示的，表则该面几何积体
3×1×1＝
3 3.
答案
3 (2) 3
考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁 [例 3] (经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱 ABC－A1B1C1 内有一个体积为 移) V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是( )
A．4π
9π B. 2
C．6π
从而球O的表面积S＝4πR2＝144π. 答案 (1)36π (2)C
32π D. 3
要使球的体积V最大，则球 与直三棱柱的部分面相切，
解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，
若球与三个侧面相切， 设底面△ABC的内切圆的半径为r.
A
B'
则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，所以 r＝2. 2r＝4＞3，不合题意．
[训考练 2点] (2二)(2018·郑空州间质检几)已知何三体棱锥的的四体个积面都是腰长为 2
的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的 体积是________．
解析 (2)由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形， 由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，
则体积 V＝13Sh＝13×12×2
故几何体的表面积 S＝87×4πR2＋34πR2＝17π. 答案 (2)A
[例考2] (点1)如二图所示，空正间三棱几柱 何ABC体－A的1B1C体1 的积底面边长为 2，侧
棱长为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 A－B1DC1 的体积为( )
A．3
3 B.2
C．1
3 D. 2
解析 (1)如题图，在正△ABC中，D为BC中点，
答案 (1)B
【训考练 1点】(2一)(2016·空全国间Ⅰ卷几) 如何图体，某的几何表体的 面三积视图
是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半
径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( ) A．17π B．18π C．20π D．28π
解析 (2)由题知，该几何体的直观图如图所示， 它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面) 切 其掉 表18面球积所是剩球的面组面合积体的，78和三个14圆面积． 设球的半径为 R，则87×34πR3＝283π，R＝2.
(2)球的体积之比等于半径比的平方．( )
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )
(4)已知球
O
的半径为
R，其内接正方体的边长为
a，则
R＝
3 2 a.(
)
解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确． (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
的表面积等于( ) A．8＋2 2 B．11＋2 2 C．14＋2 2 D．15
解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱， 上、下底面为直角梯形，如图所示． 直角梯形斜腰长为 12＋12＝ 2， 所以底面周长为 4＋ 2，
侧面积为 2×(4＋ 2)＝8＋2 2， 两底面的面积和为 2×21×1×(1＋2)＝3. 所以该几何体的表面积为 8＋2 2＋3＝11＋2 2.
结合三视图可得半球半径为 22，
几何体的直观图， 然后根据条件求 解．
从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×
23 2
＝13＋
2 6 π.
答案 (2)C
考点二 空间几何体的体积
1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易 求，底面放在已知几何体的某一面上． 2．求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几 何体转化为规则几何体以易于求解． 3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的 直观图，然后根据条件求解．
[例考1]点(1)(一2016·全空国Ⅱ间卷)如几图何是由体圆柱的与圆表锥面组合积而成的几何
体的三视图，则该几何体的表面积为( ) 多面体的表面积是各个面的面
A．20π B．24π C．28π D．32π
积之和；组合体的表面积注意 衔接部分的处理
解析 (1)几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r，周长为c， 圆锥母线长为l，圆柱高为h. 由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.
解 将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，
若三条侧棱两两垂直，可构 造长方体或正方体确定直径 解决外接问题．
则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球．
∴体对角线BC1的长为球O的直径．
E1
B1
C1
因此 2R＝ 32＋42＋122＝13.
A1
O
故S球＝4πR2＝169π.EBC NhomakorabeaA
考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁 移)
考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁 【训练 3】(2)(2018·佛山一中月考)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝ 移) 90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表
面积为( ) A．36π B．64π C．144π D．256π
解析 (2)因为△AOB的面积为定值， 所以当OC垂直于平面AOB时， 三棱锥O－ABC的体积取得最大值． 由13×12R2×R＝36，得 R＝6.
则有 AD＝ 23AB＝ 3，
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC， 由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C， 即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高， ∴VA－B1DC1＝13S△B1DC1·AD＝31×21×2× 3× 3＝1. 答案 (1)C
求三棱锥的体积：等体 积转化是常用的方法， 转换原则是其高易求， 底面放在已知几何体的 某一面上．
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组 合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条 侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问 题． 2．若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条 侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
所以 l＝ 22＋（2 3）2＝4. 故该几何体的表面积
S 表＝πr2＋ch＋21cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 答案 (1)C
[例考1]点(2)(一2017·全国空Ⅰ间卷)某几多何面体体的三的视图表如图面所积示，其中正
视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长
为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个
考点三 多面体与球的切、接问题(典例迁 【训练 3】(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面 移) 上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥
S－ABC 的体积为 9.则球 O 的表面积为________．
解析 (1)如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC， 所以OA⊥SC，OB⊥SC. 因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC， 且OA⊂平面SAC， 所以OA⊥平面SBC. 设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以 VA－SBC＝13×S△SBC×OA＝13×12×2r×r×r＝13r3， 所以13r3＝9⇒r＝3， 所以球的表面积为 4πr2＝36π. 答案 (1)36π
(2)(考201点6·山二东卷)一空个由间半球几和何四棱体锥组的成的 体几积何体，其
三视图如图所示．则该几何体的体积为( )
A.13＋23π
B.13＋
2 3π
C.31＋
2 6π
D．1＋
2 6π
解析 (2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，若以三视图的形式
高为1的正四棱锥，
给出几何体，则应 先根据三视图得到
[训考练 2点] (1二)某几何空体的间三视几图何如图体所示的，体且该积几何体的体积
是 3，则正视图中的 x 的值是( )
A．2
9 B.2
3 C.2
D．3
解析 (1)由三视图知，该几何体是四棱锥， 底面是直角梯形， 且 S 底＝12(1＋2)×2＝3. ∴V＝13x·3＝3， 解得 x＝3.
答案 (1)D