华东师大版数学八年级下册 专题3 平行四边形

华东师大版数学八年级下册专题3平行四边形
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED＝150°，则∠A的大小为(C)
A．150° B．130° C．120° D．100°
2．(2019·河南开封检测)如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
3．(2019·山东济宁邹城期末)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为6，那么平行四边形ABCD的周长是(C)
A．8 B．10 C．12 D．18
4．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF等于__4__.
5．(2019·四川广安中考)如图，点E是▱ABCD的CD边的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.
又ED＝EC，∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2，∴DC＝4.
∴▱ABCD的周长为2(AD＋DC)＝14.
6．如图所示，在▱ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA，DC的延长线于点M，N，交BA，BC于点P，Q.求证：MP＝QN.
证明：方法1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BPQ＝∠QNC，∠MAP＝∠D，∠D＝∠QCN，
∴∠MAP＝∠QCN.
又∠BPQ＝∠MP A，∴∠MP A＝∠QNC.
∵MN∥AC，AM∥CQ，
∴四边形AMQC是平行四边形．
∴MA＝CQ，∴△MAP≌△QCN，∴MP＝QN.
方法2：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，即AM∥CQ.
又∵AC∥MN，即AC∥MQ，
∴四边形MQCA是平行四边形．
∴MQ＝AC.
同理可证PN＝AC，∴MQ＝PN，
∴MQ－PQ＝PN－PQ，即MP＝QN.
7．在▱ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，交CD于点E，F，AE，BF相交于点M.
求证：(1)BF⊥AE；(2)DF＝CE.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴2∠EAB＋2∠FBA＝180°，
即∠EAB＋∠FBA＝90°，
∴∠AMB＝90°，∴BF⊥AE.
(2)在▱ABCD中，CD∥BA，
∴∠DEA＝∠EAB.
又AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD.
同理，CF＝BC.
∵在▱ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF，∴DF＝CE.
8．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G.
求证：(1)∠1＝∠2；
(2)DG＝B′G.
证明：(1)∵在▱ABCD中，DC∥AB，
∴∠2＝∠FEC.
由折叠，得∠1＝∠FEC，
∴∠1＝∠2.
(2)∵∠1＝∠2，
∴EG＝GF.
∵AB∥DC，
∴∠DEG＝∠EGF.
由折叠，得EC′∥B′F，
∴∠B′FG＝∠EGF，
∴∠DEG＝∠B′FG.
∵DE＝BF＝B′F，
∴△DEG≌△B′FG，∴DG＝B′G.
9．(2019·安徽芜湖期末)已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(B)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD∥BC
C．AO＝CO，BO＝DO
D．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB
10．(2019·山东菏泽鄄城期中)如图，面积为12的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC的3倍，则图中四边形ACED的面积为__60__.
11．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：四边形ABDF是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝FC，∴BE＋EC＝FC＋EC，即BC＝EF.
在△ABC 和△DFE 中，∵⎩⎨⎧AB ＝DF ，
AC ＝DE ，BC ＝FE ，
∴△ABC ≌△DFE (SSS)． (2)如图所示，连结BD ，AF .
由(1)知△ABC ≌△DFE ，∴∠ABC ＝∠DFE ，
∴AB ∥DF .又∵AB ＝DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形．
12．(2019·山西临汾月考)如图，已知点A ，B ，C ，D 在一条直线上，BF ，CE 相交于点O ，AE ＝DF ，∠E ＝∠F ，OB ＝OC . (1)求证：△ACE ≌△DBF ；
(2)如果把△DBF 沿AD 翻折使点F 落在点G 处，连结BE 和CG .求证：四边形BGCE 是平行四边形．
证明：(1)∵OB ＝OC ，∴∠ACE ＝∠DBF .
在△ACE 和△DBF 中，∵⎩⎨⎧∠ACE ＝∠DBF ，∠E ＝∠F ，AE ＝DF ，
∴△ACE ≌△DBF (AAS)．
(2)∵∠ACE ＝∠DBF ，∠DBG ＝∠DBF ， ∴∠ACE ＝∠DBG ，∴CE ∥BG . 由(1)知△ACE ≌△DBF ，∴CE ＝BF . 又BG ＝BF ，∴CE ＝BG ， ∴四边形BGCE 是平行四边形．
13．如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 在AC 上，且AF ＝CE ，点G ，H 分别在AB ，CD 上，且AG ＝CH ，AC 与GH 相交于点O . 求证：(1)EG ∥FH ；
(2)GH与EF互相平分．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.
∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.
又∵AG＝CH，∴△AGE≌△CHF.∴∠AEG＝∠CFH.∴∠GEF＝∠HFE(等角的补角相等)．∴EG∥FH(内错角相等，两直线平行)．
(2)如图所示，连结GF，EH.
∵△AGE≌△CHF，∴GE＝HF.
又∵GE∥HF，∴四边形GFHE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴GH与EF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．
14．(2019·河南驻马店模拟)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
解：(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.
∴四边形CMAN为平行四边形．
(2)由(1)知，四边形CMAN为平行四边形，
∴CM＝AN.又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠MDE＝∠NBF.∴DM＝BN.
在△MDE 和△NBF 中，⎩⎨⎧∠MDE ＝∠NBF ，
∠DEM ＝∠BFN ，DM ＝BN ，
∴△MDE ≌△NBF (AAS)． ∴DE ＝BF ＝4.
在Rt △BNF 中，由勾股定理，得BN ＝FN 2＋BF 2＝32＋42＝5.∴BN 的长为5.
15．(2019·山东枣庄滕州期末)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm.点P 从A 点出发沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm/s ，连结PO 并延长交BC 于点Q .设运动时间为t (s)(0＜t ＜5) (1)当t 为何值时，四边形ABQP 是平行四边形？
(2)设四边形OQCD 的面积为y (cm 2)，当t ＝4时，求y 的值．
解：(1)当t ＝2.5 s 时，四边形ABQP 是平行四边形． 理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ＝5 cm ，AO ＝CO ， ∴∠P AO ＝∠QCO .
在△APO 和△CQO 中，⎩⎨⎧∠P AO ＝∠QCO ，AO ＝CO ，∠POA ＝∠QOC ，
∴△APO ≌△CQO (ASA)，∴AP ＝CQ . ∵四边形ABQP 是平行四边形，
∴AP ＝BQ ，则BQ ＝CQ ，∴AP ＝BQ ＝1
2BC ＝2.5 cm. ∵点P 运动的速度是1 cm/s ，∴t ＝2.5 s ， 即当t ＝2.5 s 时，四边形ABQP 是平行四边形．
(2)如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点O 作ON ⊥BC 于点N .
∵AB ⊥AC ，AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，
∴在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝4 cm.
由三角形的面积公式，得S △BAC ＝12AB ·AC ＝1
2BC ·AM ，∴3×4＝5×AM ，∴AM ＝2.4(cm)． ∵ON ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴AM ∥ON .
∵AO ＝OC ，∴MN ＝CN ，∴ON ＝1
2AM ＝1.2 cm.
∵在△BAC 和△DCA 中，⎩⎨⎧AC ＝AC ，
BC ＝AD ，AB ＝CD ，
∴△BAC ≌△DCA (SSS)， ∴S △DCA ＝S △BAC ＝1
2×3×4＝6 cm 2.
∵AO ＝OC ，∴△DOC 的面积＝1
2S △DCA ＝3 cm 2. 当t ＝4 s 时，AP ＝CQ ＝4 cm ，
∴△OQC 的面积为1
2×1.2×4＝2.4(cm 2)， ∴y ＝3＋2.4＝5.4(cm 2)．。