高考数学一轮 知识点各个击破 直线、平面平行的判定及性质课时跟踪检测 文

直线、平面平行的判定及性质
1．(2013·浙江模拟)已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是( ) A．若n∥α，则α∥βB．若α⊥β，则m∥n
C．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n
2．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
3.如图，正方体ABCD－A
1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，
在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在B．有1条
C．有2条D．有无数条
4．(2012·浙江模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，
b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )
A．①或②B．②或③
C．①或③D．只有②
5.(2012·开封模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分
别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC，
CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
6．(2012·山西四校联考)在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )
A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
B．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
C．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则l∥n
D ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β
7．设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
①若a ∥α，a ∥β，则α∥β；②若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；
③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .
上述命题中，所有真命题的序号是________．
8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________．
9．(2012·浙江模拟)下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
10．(2013·西安模拟)如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE ∥DF ，
∠DEF ＝90°.
(1)求证：BE ∥平面ADF ；
(2)若矩形ABCD 的一边AB ＝3，EF ＝23，则另一边BC 的长为何值
时，三棱锥F －BDE 的体积为3？
11.如图，在直四棱柱ABCD －A
1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB
∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？
若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．
12．(2013·潍坊二模)如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直
角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE
＝12
BC ＝2，AC ＝CD ＝3. (1)证明：EO ∥平面ACD ；
(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE ；
(3)求三棱锥E －ABD 的体积．
1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内与过B 点的所有直线中( )
A ．不一定存在与a 平行的直线
B ．只有两条与a 平行的直线
C ．存在无数条与a 平行的直线
D ．存在唯一与a 平行的直线
2．(2012·南宁二模)如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△
ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是
________________．
3．(2012·北京东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所
示，其中M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．
(1)求该多面体的体积与表面积；
(2)求证：GN ⊥AC ；
(3)当FG ＝GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．
[答 题 栏]
答 案
课时跟踪检测(四十三)
A 级
1．D 2.D 3.D 4.C
5．选B 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，∴EF ∥面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD
的中点，
∴HG 綊12
BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG . ∴四边形EFGH 是梯形．
6．选D 对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．
7．解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a 与b 还可能异面、相交．
答案：②④
8．解析：如图1，∵AC ∩BD ＝P ，
∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .
∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，
∴AB ∥CD .
∴PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD
. ∴BD ＝245
.
如图2，同理可证AB ∥CD .
∴PA PC ＝PB PD ，
即63＝BD －88
. ∴BD ＝24.
综上所述，BD ＝245
或24. 答案：245
或24 9．解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB 平行于平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到直线AB 与MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.
答案：①③
10．解：(1)证明：过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM .
因为CE ∥DF ，
所以四边形CEMD 是平行四边形．
可得EM ＝CD 且EM ∥CD ，
于是四边形BEMA 也是平行四边形，
所以有BE ∥AM .
而AM ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，
所以BE ∥平面ADF .
(2)由EF ＝23，EM ＝AB ＝3，
得FM ＝3且∠MFE ＝30°.
由∠DEF ＝90°可得FD ＝4，
从而得DE ＝2.
因为BC ⊥CD ，BC ⊥FD ，
所以BC ⊥平面CDFE .
所以，V F －BDE ＝V B －DEF ＝13
S △DEF ×BC . 因为S △DEF ＝12
DE ×EF ＝23， V F －BDE ＝3，所以BC ＝32
.
综上当BC ＝32
时，三棱锥F －BDE 的体积为 3. 11．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB 的中点，证明如下： ∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，
∴AF 綊CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，
∴AD ∥CF .
又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1.
∴CF ∥平面ADD 1A 1.
又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1， DD 1⊂平面ADD 1A 1，
∴CC 1∥平面ADD 1A 1，
又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，
∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.
12．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，ME .
在△ABC 中，O 为AB 的中点，M 为BC 的中点，
∴OM ∥AC .
在直角梯形BCDE 中，DE ∥BC ，
且DE ＝12
BC ＝CM ， ∴四边形MCDE 为平行四边形．
∴EM ∥DC .
∴平面EMO ∥平面ACD ，
又∵EO ⊂平面EMO ，
∴EO ∥平面ACD .
(2)证明：∵C 在以AB 为直径的圆上，
∴AC ⊥BC .
又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，
平面BCDE ∩平面ABC ＝BC .
∴AC ⊥平面BCDE .
又∵AC ⊂平面ACD ，
∴平面ACD ⊥平面BCDE .
(3)由(2)知AC ⊥平面BCDE .
又∵S △BDE ＝12×DE ×CD ＝12
×2×3＝3， ∴V E －ABD ＝V A －BDE ＝13×S △BDE ×AC ＝13
×3×3＝3. B 级
1．选A 当直线a 在平面β内且经过B 点时，可使a ∥平面α，但这时在平面β内过B 点的所有直线中，不存在与a 平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a 平行的直线．
2．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，
E ，
F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12
，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .
答案：平面ABC ，平面ABD
3．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF 中，AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a ，
所以该多面体的体积为12
a 3. 表面积为12
a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.
(2)连接DB ，FN ，由四边形ABCD 为正方形，且N 为AC 的中点知B ，N ，D 三点共线，且AC ⊥DN .
又∵FD ⊥AD ，
FD ⊥CD ，
AD ∩CD ＝D ，
∴FD ⊥平面ABCD .
∵AC ⊂平面ABCD ，∴FD ⊥AC .
又DN ∩FD ＝D ，∴AC ⊥平面FDN .
又GN ⊂平面FDN ，
∴GN ⊥AC .
(3)点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .
取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .
∵G 是DF 的中点，
∴GH 綊12
CD . 又M 是AB 的中点，∴AM 綊12
CD . ∴GH ∥AM 且GH ＝AM .
∴四边形GHMA 是平行四边形．
∴GA ∥MH .
∵MH ⊂平面FMC ，GA ⊄平面FMC ，
∴GA ∥平面FMC ，即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .。