用Geogebra研究最小包装纸的大小

用Geogebra研究最小包装纸的大小
朱亮
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2016(000)005
【总页数】2页(P39-39,59)
【作者】朱亮
【作者单位】江苏省苏州市第一中学 215006
【正文语种】中文
江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题第8题：有一个正四面体的棱长为3，现用一张圆形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小半径为．
原题给出的答案是，即展开图外接圆的半径．但这个答案正确吗？下面我们来找一个稍小的圆来包装一下．
如图1，正三角形ABC是正四面体A-DEF的展开图，我们找一个比△ABC外接圆稍小的圆，将圆面和三个侧面分别沿DF, EF, DE折起来(图2)，将面DCE作为正面，虽然正面部分的圆不能包住顶点A(BC)，但可将正面大部分包住，而左右侧面的圆能包住左右侧面的顶点，还能多出两块圆弧(图3)，将它们沿着DC, EC翻折，就能将剩下的空白处包住，从而也就包住了整个正四面体(图4)．由此可见，这个
圆形包装纸可以再小一些,原来的答案是错误的．
这个问题的理解与解决需要具备较高的空间想象能力．为了把这个问题直观地展示出来便于理解，我们可以把圆形纸片包裹正四面体的过程用Geogebra(下称GGB)
的3D功能来实现：
(1)作出正三角形ABC并连结三边中点得小正三角形DEF.
(2)用作出以三角形DEF为底面的正四面体，再用作出正四面体的展开图．这时会出现一个变量b(滑动条)，这个变量后面会有用.
(3)在底面过AB作圆O，可调整为比外接圆略小一些的圆.
(4)作出FE与圆O的交点P，Q，用作出弧PQ(填色后其实就是一个弓形)，用量
出四面体侧面与底面所成二面角大小α(钝角)，用将弓形PQ绕着AB旋转β或-β，其中β=(1-b)α.
(5)同理再将另外两块弓形绕着相应的轴旋转β．此时如果改变参数b，就会产生圆形纸片沿着边折叠的效果.
(6)将三片弓形折至正四面体的相应侧面上，再继续构造左右两片伸出的弧.
(7)构造变量o，范围修改为0到1，将前面新作出的圆弧绕着相应的轴旋转oα，改变参数o的值，就可以出现两侧伸出的纸片包裹四面体的效果．如果想要效果
再好一些，可以增加一些动画按钮，并修改相应的颜色来增强效果．
GGB还能导出作图的过程．方法是：绘图区内右击鼠标，勾选“导航”，并在窗
口右下点击一个方框，就会出现作图过程，选择相应按钮(导出网页)可将作图过程导出．(需要课件的读者可与笔者联系：*****************)
通过前面GGB动画演示，我们知道面积最小的圆并非外接圆．那么最小的那个圆半径是多少呢？下面我们来计算一下．
如图5，左右两侧面的圆弧包住正面的效果相当于在展开图中弓形与对△DCE的遮挡与的另一个交点设为P，只要点P在圆O内部即可(即底面沿DE折起能盖过点P)．以AB为x轴、F为坐标原点建立直角坐标系，设四面体边长为1，则AF = 1．圆O半径为r，圆心O坐标为(0, m)，其中m<0，则圆O方程为x2+(y-
m)2=m2+1．
所在圆与圆O关于AC中点中心对称，故所在圆的方程为①．
同理,所在圆方程为②．联立①②解得(舍去)或将代入x2+(y-m)2≤m2+1，得，解得，当时，(棱长为1时)．这样算下来原题(棱长3)中最小圆的半径约为3.08，可以比原答案更小．。