高三二轮微专题复习课的实践与启示r——与圆有关的范围问题

高三二轮微专题复习课的实践与启示r——与圆有关的范围问
题
史豪峰
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2018(000)004
【总页数】3页(P23-25)
【作者】史豪峰
【作者单位】江苏省宜兴中学 214200
【正文语种】中文
1 学情分析
上课班级是高三(7)班物理生物组合，学生基础良好，对数学有一定的兴趣，同时也有一定的恐惧．在知识上已经基本掌握了点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系判断；在能力上已经具备了一定的运算和逻辑推理能力；在思想方法上已经初步掌握了数形结合、等价转换等思想方法的运用．
2 高考分析
江苏高考数学《考试说明》明确说明，直线的方程和圆的方程都是C级要求，直线与圆、圆与圆的位置关系是B级要求，足见它在高考中的重要地位．近几年江苏高考连续出现与圆有关的范围问题，如2013年第17题，2015年第10题，2016年第18题．
3 过程实录
师：考试说明上，“直线与方程”和“圆的方程”是高考的C级考点，也是必考
内容，其中直线与圆、圆与圆的位置关系是常考内容．复习时要掌握解决直线与圆的问题的两个基本途径，其一是挖掘问题的几何背景，利用图形的几何关系解决，而解决的关键则要将一些隐性条件转化为显性条件；其二是将问题代数化，通过分析方程(组)的特征来解决．所以如何做好等价转换是关键，很多同学在这方面有所欠缺，我们本节课就来进行一个专题复习——与圆有关的范围问题．
我们先来看如下例题.
例1 已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l: 2x+y-2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是．
师：“垂直平分”意味着垂直和中点，接下来你是怎么思考的？
生1：垂直可以做到，但中点不一定做到，只要可以转化为线段OC的中点在圆内即可．
师：这是形的直观解释，那如何用数来具体刻画呢？
生2：利用直线方程设出C点坐标，再写出线段OC中点M的坐标，代入圆方程，令其小于1即可．
师：两位同学分析鞭辟入里，转化也精准得当，很好地理解了题目的意图．
引导学生总结：通过这个题目，要有所体会，难点在于把握题意，准确转化——
点与圆的位置．
例2 已知圆O: x2+y2=1，直线l: ax+y=3，若直线l上存在点P，过点P作圆
O的两条切线，切点为A, B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．
图1
师：(先画好草图)从图1中可以看出，条件虽然给的是角度，但是是特殊角，在直角三角形OAP中，我们可以考虑如何进行转化呢？
生1：可以转化为OP的长度，即存在点P，使得OP=2．
师：很好！O是定点，P是动点，OP=2意味着动点P的轨迹是一个圆心在原点，半径为2的圆.也就是说，一个新的圆让我们发现了，我们找到了一个隐性的轨迹，多么神奇！那接下来呢？
生2：动点P既在直线上，又在新的圆上，问题就变成了直线与圆的位置，即直线l: ax+y-3=0与圆C: x2+y2=4有公共点．
师：非常好！由陌生到熟悉，由复杂到简单，这就是我们要做的工作．
变式1 存在点P，使得四边形OAPB为正方形．
变式2 存在点P，使得
师：这些问题重点在于发现，难点在于转化．隐性的轨迹存在于不同的条件、不同的形式中.
例3 在平面直角坐标系中，已知点A(1, 0), B(2, 0)及C(0, m)，若线段BC上存
在点M，使得BM=2AM，则实数m的取值范围为．
给学生思考的时间．
生1：因为A, B是两个定点，所以条件BM=2AM说明点M的轨迹为阿波罗尼斯圆．
师：很棒！完全正确，下面请大家小组讨论2分钟．
生2(上来画图并讲解)：可求出点M的轨迹方程为圆而同时点M又在线段BC上，和例2一样，转化为直线BC: mx+2y-2m=0与圆有公共点．所以圆心到直线的
距离小于等于半径，即解得
图2
生3：求出圆N的方程后，因为是填空题，所以只要从图中观察就能得到答案．实数m的范围就是点C纵坐标的范围，所以只要找到直线和圆相切时点C的位置．如图2，BC与圆相切于点所以∠NBD=30°．又OB=2，所以也即由对称性
可知
师：这位同学的想法很有价值！在解析几何问题中，如果能注意到图形的几何特征，通过几何关系去求解，可以一定程度上减少计算量，降低出错的可能性．
真题再现：
例4 (2016年江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆的方程x2+y2-12x-14y+60=0及圆上一点A(2, 4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x = 6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B, C两点，且BC = OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t, 0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围．
本文只讨论第(3)问.
学生思考后回答．
图3
生1：由条件可以作出平行四边形TAQP(图3)而PQ是圆的弦，PQ≤10，TA≤10，所以由不等式(t-2)2+16≤100，解得
师：精彩！很不错的想法，数形结合的思想贯穿于数学学习的始终，正如华罗庚所说：“数缺形时少直观”，这位同学从形的角度很好地理解了条件画出平行四边形，构建出了不等关系．但第二句话是“形少数时难入微”，作为一个大题，我们希望能从代数的角度，通过代数方法来解决这个问题．
生2：可以设出P和Q两点的坐标P(x1, y1)和Q(x2, y2)，由条件可得所以又
Q(x2, y2)在圆M上，所以有(x2- 6)2+(y2-7)2=25．将(*)式代入，得(x1-t-
4)2+(y1-3)2=25 ①．
又P(x1, y1)在圆M上，故有(x1-6)2+(y1-7)2=25 ②．
由①②可知，点P的坐标同时满足两个圆的方程，即点P同时在两个圆上，也就
是说明这两个圆有公共点．所以有解得
4 教学感悟——注重课堂活动和课堂生成
(1)课题的价值，强调针对性
要提倡高效课堂，就必须结合学生实际，学生对和圆有关的范围问题，往往束手无策，无从下手．笔者结合学生作业及测试中暴露出来的问题，设计了本课的教学方案，并且紧紧抓住“课堂生成”这一宝贵资源，通过学生的讨论、表达，找到学生学习的难点及其形成的原因．学生知道一般的方法，但是化简需要策略，计算需要勇气．所以，一方面要有意识地让学生来完成计算，另一方面也要引导学生去发现几何关系，有效地简化计算．
(2)突出数学思想方法
与圆有关的范围问题在近几年的江苏高考中经常出现．这些问题的处理体现了多种数学思想方法的交汇．因此，这类问题成为考点中的热点问题也就不足为奇了．数形结合可以发挥图形的直观性，使抽象的东西具体化，再用数式的严谨性来弥补形的不足，两方面的优势互补，相得益彰．另外，任何一个待解决的问题都可以通过某种转化过程，归结到一类已经解决或是比较容易解决的问题上，这是转化与化归．这两种都是极具数学特征的思想方法，往往给学生“柳暗花明又一村”的感觉，从而激发了学生的求知欲、探索欲，有利于思维能力的培养．
(3)课堂活动，提升学生能力
“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程．”[1]学生认可怎
样的课堂氛围呢？笔者认为是三个“有”：有时间思考，有机会表达，有巩固训练．所以尽可能还给学生思考的时间和空间，营造民主、包容的氛围，并提供展示的舞台，鼓励学生积极参与小组讨论，并勇敢地在全班同学面前表达自己的观点，真正做回课堂的主人．自主成长是人的一种非常重要的成长方式，学习也是如此，
只有自主，学生才能建构自己的理解．因此，让我们立足课堂，注重课堂活动，为学生能力的提升提供平台．
参考文献
【相关文献】
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京：北京师范大学出版社，2011(3).。