湖北省宜昌长阳一中2012届高三数学5月适应性考试 理 新人教A版

湖北省宜昌长阳一中2012届高三适应性考试
（总分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2
a a N =, 则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是 （ ） A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1或－1
2．已知复数1
1z i
=
+，则z ·i 在复平面内对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.阅读右面的程序框图，则输出的S = （ ） A ．14 B ．20 C ．30 D ．55
4. 下列命题错误的是 （ ） A ．对于命题p ：R x ∈∃,使得012
<++x x ，则P ⌝为：对R x ∈∀均有012
≥++x x B ．命题“若23201x x x -+==则"的逆否命题为“若x≠1，则2320x x -+≠" C ．“x>2"是“2320x x -+>"的充分不必要条件 D ．若Q P ∧是假命题，则Q P ⌝⌝,均为假命题
5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 （ ） A ．x y cos = B ．1--=x y C ．x
x y +-=22ln
D ．x
x e e y -+= 6．已知二项式()2*
12n
x n N x ⎛⎫+∈ ⎪
⎝
⎭展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（ ）
A ．45256
B ．47
256 C ．49256
D ．
51
256
7．已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且
120=∠AOC
设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于 （ ）
A ．1-
B ．２
C ．1
D ．2-
8．椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点为1F 和2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于Q P ,两点，
2PF PQ =,02=⋅PF PQ ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．12-
B ．36-
C ．
236- D ．2
6
3- 9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，则其表达式为
A ．y ＝(3n ＋5)1.2n
＋2.4 B ．y ＝8×1.2n
＋2.4n C ．y ＝(3n ＋8)1.2n
＋2.4 D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1
＋2.4
10. 给出定义：若11
22
m x m -
<≤+（其中m 为整数）
，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m ．在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个论断： ①11
()22f -=
；
②(3.4)0.4f =-
③11()()44
f f -<
④()y f x =的定义域为R ，值域是[一
1,21
2
]．
则其中论断正确的序号是
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. (一)必考题（11—14题）
11．函数1)(2
3
++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2
)(x x g =围成的图形的面积等于 .
12. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形， 侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， 则这个几何体的体积为 _____
13．已知点P 的坐标4
(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
满足，
过点P 的直线l 与圆2
2
:14C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 ． 14. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以3,2,1A A A 表示甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 (只填写正确结论的编号) ①5
2
)(=B P ; ②115)(1=A B P ; ③事件B 与事件1A 相互独立; ④3,2,1A A A 是两两互
斥事件;
⑤)(B P 的值不能确定，因为它与3,2,1A A A 中究竟哪一个发生有关.
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答） 15.如图，A ，B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，OA =2，
C 为OA 的中点，连接BC 并延长交圆O 于点
D ，则CD= .
（第15题
图）
16．已知直线()142x t t R y t =+⎧∈⎨=-⎩与圆()2cos 2
[0,2]2sin x y θθπθ=+⎧∈⎨
=⎩
相交于AB,则以AB 为直径的圆的面积为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)已知向量231444
x x x
m (sin ,),n (cos ,cos )==．记f (x )m n =• ( I ) 若32f ()α=
，求23
cos()π
α-的值； (Ⅱ) 在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足
()2cos cos a c B b C -=，若13
2
f (A )+=
，试判断∆ABC 的形状．
18.(本小题满分12分) 已知等差数列数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，公比是q ，且满足：1122223,1,12,a b b S S b q ==+==.
（Ⅰ）求n a 与n b ；
（Ⅱ）设)(233
R b c n
a n n ∈⋅-=λλ，若{}n c 是单调递增数列，求λ的取值范围.
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为
菱形，
60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.2PA PD AD ===.
（I ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ； （II ）在（I ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小.
20.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
(ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望.
21. (本小题满分13分)如图，已知抛物线C ：px y 22
=和⊙M ：1)4(2
2
=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为
4
17． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； (Ⅲ)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．
22. (本小题满分14分)已知函数()()ln 0x a
f x ax a x
-=-≠ （Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n ，均有11
11ln 23
!
n
e n n +++
+≥（e 为自然对数的底数）； （Ⅲ）当a ＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数()y f x =的图象相切？ 若存
在，有多少条？若不存在，说明理由．
适应性考试答案
（
Ⅱ
）
根
据
正
弦
定
理
知
：
()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=
12sin cos sin()sin cos 2A B B C A B B π⇒=+=⇒=
⇒= ∵13()2f A += ∴
113sin 262263A A πππ+⎛⎫++=⇒+= ⎪
⎝⎭或23π3A π
⇒=或π
而
203A π<<，所以3A π
=
，因此∆ABC 为等边三角形.……………12分 18．（Ⅰ）由已知可得2223123q a a q ++=⎧⎨+=⎩，消去2a 得：2
120q q +-=，解得3q =或
4q =-（舍），26,3a d ∴==从而13,3n n n a n b -==
（Ⅱ）由（1）知：3
32
32n a n n
n n c b λλ=-=-.
∵
1n n
c c +>对任意的*
n N ∈恒成立, 即：1
13
232n n n n λλ++->-恒成立，整理
得：
223n n λ<对任意的*n N ∈恒成立，即：
322n
λ⎛⎫< ⎪
⎝⎭对任意的*n N ∈恒成立. ∵ 322x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[)1,+∞上单调递增，
min 3232y ∴==3λ∴<. λ
∴的取值范围为
(),3-∞.
19．解： （1）当
1
3t =
时，//PA 平面MQB 下面证明：若//PA 平面MQB ，连AC 交BQ 于N
由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，
1
2AQ AN BC NC ∴
==．．．．．．．．．２分
//PA 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面MQB MN =， //PA MN ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 13PM AN PC AC == 即：13PM PC
= 1
3t ∴=．．．．．．６分
（2）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD。

．７分
又平面PAD⊥平面ABCD ，所以PQ⊥平面ABCD ，连BD ， 四边形ABCD 为菱形，
∵AD=AB， ∠BAD=60°△ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分
以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为
,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为
A （1，0，0），
B （
3,0）
，Q （0，0，0），P （0，0，3）
设平面MQB 的法向量为()z y x n ,,=，可得00
,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨
⋅=⋅=⎪⎪⎩
⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=030
3z x y
取z=1，解得
(3,0,1)n = ………10分
取平面ABCD 的法向量()
3,0,0=QP 设所求二面角为θ，
则2
1
|
|||cos =
=
n QP n QP θ 故二面角M BQ C --的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分
20．解：(1) 第三组的频率为0.06⨯5=0.3；
第四组的频率为0.04⨯5=0.2；第五组的频率为0.02⨯5=0.1.…………3分
(2) (ⅰ) 设M ：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试
1283301
()145C P M C ==
……6分
(ⅱ)
()812215153E X =
+⨯= ……12分
21．（Ⅰ）∵点M 到抛物线准线的距离为
=+
24p 417，∴21
=p ，即抛物线C 的
方程为
x y =2
．………………3分 （Ⅱ）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF
k k =-，
设
11(,)
E x y ，
22(,)
F x y ，
∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12
2222
12H H H H y y y y y y y y --=---， ∴
1224
H y y y +=-=-.
6分
21212221212111
4EF y y y y k x x y y y y --=
===---+．
8分
法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴
60=∠AHB ，可得
3=HA k ，3-=HB k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，
联立方程组⎩⎨⎧=+-=x y x y 22343，得023432
=+--y y ，
∵
2E y +=
∴363-=
E y ，33
413-=E x ． 6分
同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-
=EF k ． 8分 （Ⅲ）设点2
(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为
22242
()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程：
1)4(2
2=+-y x ． ② ①-②得：
直线AB 的方程为2242
(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 9分
当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距
15
4t m m =-
(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增，
∴11min -=t 12分
22、（Ⅰ）解：由题意
2()x a
f x x -'=
． ………………1分 当0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，
此时函数在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，
2
min ()()ln f x f a a ==，无最大值．………………3分
当0<a 时，函数)(x f 的定义域为)0,(-∞，
此时函数在(,)a -∞上是减函数，在(,0)a 上是增函数， 2
min ()()ln f x f a a ==，无最大值．………………5分
(Ⅱ)取1=a ，由⑴知
0)1(1
ln )(=≥--
=f x x x x f ，
故x e
x x
ln
ln 11=-≥， 取1,2,3
,x n =，则!ln 131211n e n n
≥++++ ．………………9分
(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点
)
1
ln ,(0
000x x x x T --，
∴切线方程：
)
1(112
0--=
+x x x y ，将点T 坐标代入得：
2
20000)1(11ln x x x x x -=+--，即011
3ln 2000=--+x x x ， ①
设113ln )(2--+=x x x x g ，则3)
2)(1()(x x x x g --=
'．………………12分
0x >，。