广东省梅州市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析

某某省某某市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解
析）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）设复数(2)(12)(z i i i =+-是虚数单位），则(z =) A ．34i +B ．34i -C ．43i -D ．43i +
2．（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()
A ．23
B ．22．43D ．82
3．（5分）设A 、B 为两个互斥事件，且P （A ）0>，P （B ）0>，则下列各式错误的是() A ．()0P AB =B ．()P AB P =（A ）P （B ） C ．()1P A
B =D ．()P A
B P =（A ）P +（B ）
4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列结论正确的是()
A ．若//m n ，//m α，//n β，则//αβ
B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n
C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α
D ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ 5．（5分）已知平面向量(1,3)a =-，(4,2)b =-，a b λ+与a 垂直，则λ是() A ．1-B ．1C ．2-D ．2
6．（5分）已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，且222
2
12
310185x x x x ++++=，平均数
4x =，则该组数据的方差2(s =)
A ．1
B ．
32C ．2D ．5
2
7．（5分）祖暅（公元56-世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数
学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明
S S =圆环总成立．据此，短轴AB 长为6cm ，长半轴CD 为4cm 的椭半球体的体积是()
A ．324cm π
B ．348cm π
C ．3192cm π
D ．3384cm π
8．（5分）已知长方体1111ABCD A B C D -的高12AA =，26AC =，1AB x =，1AD y =，则当x y +最大时，二面角111A B D C --的余弦值为() A 15B ．15C 5．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）已知复数z 满足(1)2(i z i i -=是虚数单位），则下列关于复数z 的结论正确的是() A ．||2z =B ．复数z 的共轭复数为1z i =-- C ．复平面内表示复数z 的点位于第三象限 D ．复数z 是方程2220x x ++=的一个根
10．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，4
A π
=，a m =，4b =，
若满足条件的ABC ∆有两个，则m 的值可以是() A ．22．23C ．3D ．4
11．（5分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图
所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表
值，则下列说法中正确的是()
A ．成绩在[70，80)的考生人数最多
B ．不及格的考生人数为500
C ．考生竞赛成绩的众数为75分
D ．考生竞赛成绩的中位数约为75分
12．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．以下命题正确的有()
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为22D ．设正方体棱长为1，则过点
E 、
F 、A 5
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b -=． 14．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名
同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为，80%分位数是．
15．（5分）某某一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为．
16．（5分）在边长为3的菱形ABCD 中，33BD =，将菱形ABCD 沿其对角线AC 折成直二面角B AC D --，若A ，B ，C ，D 四点均在某球面上，则该球的表面积为． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在三角形ABC 中，2AB =，1AC =，2
ACB π
∠=，D 是线段BC 上一点，且
1
2
BD DC =
，F 为线段AB 上一点． （1）若AD xAB yAC =+，求x y -的值； （2）求CF FA ⋅的取值X 围．
18．（12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，E 为11B D 的中点，AC BD O =．
（1）求证：AC ⊥平面11B BDD ； （2）求证：//DE 平面1ACB ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积．
19．（12
分）在①cos cos 2cos b C c B a C +=；②sin 3cos 0c B b C -=；③
()()3a b c a b c ab +++-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的
题目．
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且_____． （1）求角C ；
（2）若2c =，ABC ∆的面积为
3
4
，求ABC ∆的周长． 20．（12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表： 分数段 理科人数
文科人数
[40，50) [50，60) 一 [60，70) [70，80) 正一 正 [80，90) 正一
[90，100]
（1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频率分布直方图．
（2）从考分不低于70分的选择理科和文科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取理科学生的数学成绩一定至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率．
21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，2AB BC ==，
30ACB ∠=︒，160C CB ∠=︒，11
BC AC ⊥，E 为AC 的中点，侧棱12CC =． （1）求证：1
1AC C E ⊥； （2）求直线1CC 与平面ABC 所成角的余弦值．
22．（12分）某某西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园．欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中4DC =百米，2DA =百米，ABC ∆为正三角形．建成后BCD ∆将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD ∆将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域． （1）当3
ADC π
∠=
时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD ∆的面积；
（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD ∆的面积的最大值．
2020-2021学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）设复数(2)(12)(z i i i =+-是虚数单位），则(z =) A ．34i +B ．34i -C ．43i -D ．43i + 【考点】复数的运算
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：2(2)(12)24243z i i i i i i =+-=-+-=-． 故选：C ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()
A ．23
B ．22．43D ．82 【考点】LB ：平面图形的直观图
【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可． 【解答】解：还原直观图为原图形如图所示，
因为2O A ''=，所以22O B ''=，还原回原图形后，
2OA O A =''=，242OB O B =''=；
所以原图形的面积为24282⨯=． 故选：D ．
【点评】本题考查了平面图形直观图的画法于应用问题，解题的关键是还原成原图形，是基础题．
3．（5分）设A 、B 为两个互斥事件，且P （A ）0>，P （B ）0>，则下列各式错误的是() A ．()0P AB =B ．()P AB P =（A ）P （B ） C ．()1P A
B =D ．()P A
B P =（A ）P +（B ）
【考点】互斥事件与对立事件
【分析】根据已知条件，结合互斥的概念，即可求解． 【解答】解：
A 、
B 为两个互斥事件，
AB ∴=∅，即()0P AB =，故A 选项正确，B 选项错误，
A B 是必然事件，
()1P A
B ∴=，故
C 选项正确，
A 、
B 为两个互斥事件，
()P A
B P ∴=（A ）P +（B ）
，故D 选项正确． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了互斥的概念，难度不大，属于基础题．
4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列结论正确的是()
A ．若//m n ，//m α，//n β，则//αβ
B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n
C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α
D ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥
【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直
【分析】由直线与直线平行、直线与平面平行的位置关系判定A ；由平面与平面平行可得两平面中直线的位置关系判定B ；由直线与直线、直线与平面垂直的关系分析C ；由直线与平面垂直的性质及面面平行的判定判断D ．
【解答】解：若//m n ，//m α，//n β，则//αβ或α与β相交，故A 错误； 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 或m 与n 异面，故B 错误； 若m n ⊥，m α⊥，则//n α或n α⊂，故C 错误；
若m n ⊥，m α⊥，则//n α或n α⊂，又n β⊥，则αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5．（5分）已知平面向量(1,3)a =-，(4,2)b =-，a b λ+与a 垂直，则λ是() A ．1-B ．1C ．2-D ．2
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【分析】由于()a b a λ+⊥，所以()0a b a λ+⋅=，即(4)3(32)0λλ+---=，整理得1λ=-． 【解答】解：
()a b a λ+⊥，
∴()0a b a λ+⋅=，
即(4)3(32)0λλ+---=， 整理得10100λ+=，
1λ∴=-，
故选：A ．
【点评】高考考点：简单的向量运算及向量垂直； 易错点：运算出错；
全品备考提示：高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分，这些习题均不能大意，要争取多得分，最好得满分．
6．（5分）已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，⋯，10x ，且222
2
12
310185x x x x ++++=，平均数
4x =，则该组数据的方差2(s =)
A ．1
B ．
32C ．2D ．52
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差 【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解． 【解答】解：由题意可知，1231041040x x x x +++⋅⋅⋅+=⨯=，
22222222
2123101231012310(4)(4)(4)(4)8()16101858401610
2.5
101010
x x x x x x x x x x x x s -+-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⨯-⨯+⨯=
===．
故选：D ．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 7．（5分）祖暅（公元56-世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明
S S =圆环总成立．据此，短轴AB 长为6cm ，长半轴CD 为4cm 的椭半球体的体积是()
A ．324cm π
B ．348cm π
C ．3192cm π
D ．3384cm π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【分析】利用题中给出的椭球的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，短轴AB 长为6cm ，长半轴CD 为4cm 的椭半球体的体积为：
()22311
34342423
V V V V cm πππ==-=⋅⋅-⋅⋅⋅=椭球圆柱圆锥．
故选：A ．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于基础题．
8．（5分）已知长方体1111ABCD A B C D -的高12AA =
，AC =，1AB x =，1AD y =，则当x y +最大时，二面角111A B D C --的余弦值为() A
B
．C
．
【考点】MJ ：二面角的平面角及求法
【分析】推导出当x y +
最大时，AB BC ==D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角111A B D C --的余弦值．
【解答】解：长方体1111ABCD A B C D -的高12AA =
，AC =1AB x =，1AD y =， ∴当x y +
最大时，AB BC ==
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则A ，0，0)
，1B ，2)，1(0D ，0，2)，1(0C
，，2)，
1(0AB =
，，2)
，1(AD =-2)， 设平面11AB D 的法向量(n x =，y ，)z ，
则112320
220
n AB z n AD z ⎧=+=⎪
⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，1-， 平面111B D C 的法向量(0m =，0，1)，
设二面角111A B D C --的平面角为α，结合图形得α为钝角， 则||3cos ||||5
m n m n α=
-
=-=
∴二面角111A B D C --的余弦值为． 故选：B ．
【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）已知复数z 满足(1)2(i z i i -=是虚数单位），则下列关于复数z 的结论正确的是() A ．||2z =B ．复数z 的共轭复数为1z i =-- C ．复平面内表示复数z 的点位于第三象限 D ．复数z 是方程2220x x ++=的一个根 【考点】复数的运算
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由(1)2i z i -=，得222(1)222211(1)(1)12
i i i i i
z i i i i i +-+-+=
====-+--+-． 22||(1)12z ∴=-+A 正确；
1z i =--，故B 正确；
平面内表示复数z 的点的坐标为(1,1)-，位于第二象限，故C 错误；
2(1)2(1)222220i i i i -++-++=--++=，
∴复数z 是方程2220x x ++=的一个根，故D 正确．
故选：ABD ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，4
A π
=，a m =，4b =，
若满足条件的ABC ∆有两个，则m 的值可以是() A ．22B ．23C ．3D ．4 【考点】正弦定理
【分析】因为A ，b 已知，所以ABC ∆的顶点A 、C 为定点，B 点为A ∠一边上的动点，结合图象，利用垂线段最短，讨论m 的取值X 围．
【解答】解：如图，B 点在射线1l 上运动．过C 点作11CB l ⊥，垂足为1B ． 在1ACB ∆中，4AC =，所以122CB =，
结合图象，若满足条件的ABC ∆有两个，则(22,4)a m =∈； 故选：BC ．
【点评】本题是解三角形中解的个数问题，考查数形结合的思想，属于基础题．
11．（5分）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表
值，则下列说法中正确的是()
A ．成绩在[70，80)的考生人数最多
B ．不及格的考生人数为500
C ．考生竞赛成绩的众数为75分
D ．考生竞赛成绩的中位数约为75分 【考点】频率分布直方图
【分析】由频率分布直方图，求出该组数据的众数、中位数和对应的频率和频数，即可判断命题的正误．
【解答】解：由频率分布直方图可知，成绩在[70，80]的频率最大， 因此成绩分布在此的考生人数最多，所以A 正确； 成绩在[40，60]的频率为0.005100.015100.2⨯+⨯=， 所以不及格的人数为20000.2400⨯=（人)，所以B 错误； 成绩在[70，80]的频率最大，所以众数为75，即C 正确； 成绩在[40，70]的频率和为， 所以中位数为0.1
701073.330.3
+⨯≈，即D 错误． 故选：AC ．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是基础题．
12．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．以下命题正确的有()
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为22D ．设正方体棱长为1，则过点
E 、
F 、A 5【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法 【分析】A ：在平面内找到点F 证明垂直即可；
B ：找到1B F 与B
C 所成角的最大值进行验证即可；
C ：找到二面角的平面角，进而求出其正切值进行验证；
D 5
D 选项错误． 【解答】解：取11C D 中点M ，1C C 中点N ，连接1B M ，1B N ，MN ， 易证11//B N A
E ，1//MN A B ， 从而平面1//B MN 平面1A BE ， 所以点
F 的运动轨迹为线段MN ， 取F 为MN 中点，
因为△1B MN 是等腰三角形， 所以1B F MN ⊥， 又因为1//MN CD ， 所以11B F CD ⊥， 故A 正确；
设正方体棱长为a ，
当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大， 此时1111tan tan 3023
C B F ∠=<=︒， 所以B 错误；
平面1//B MN 平面1A BE ，
取F 为MN 中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，
11B FC ∴∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，
11
111tan 22B C B FC C F
∠=
=， 所以C 正确；
当F 为1C E 与MN 交点时，易知截面为菱形1(AGC E G 为1BB 中点）， 因为正方体棱长为1， 所以13,2AC EG ==， 此时截面面积可以为6
2
， 故D 错误． 故选：AC ．
【点评】本题考查空间几何中二面角的平面角，线面垂直，线线所成角，及截面积求解的相关知识，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．（5分）向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b -=23． 【考点】数量积表示两个向量的夹角
【分析】根据条件可求出1a b ⋅=-，再由2|2|(2)a b a b -=-，求出|2|a b -的值． 【解答】解：
||1,||2,,120a b a b ==<>=︒，
∴1a b ⋅=-，222|2|(2)4444423a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=．
故答案为：23．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量的模，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为7，80%分位数是．
【考点】BC ：极差、方差与标准差
【分析】根据数表写出这组数据，再求极差和分位数． 【解答】解：由题意知，
数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是1037-=； 所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是89
8.52
+=． 故答案为：7，．
【点评】本题考查了根据数表写出数据，以及极差和分位数的应用问题，是基础题． 15．（5分）某某一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为
2
5
． 【考点】3B ：分层抽样方法；CB ：古典概型及其概率计算公式
【分析】在高二年级抽取3人，在高三年级抽取2人，从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，基本事件总数2510n C ==，抽取的两名同学来自同一年级包含的基本事
件个数22
324m C C =+=，由此能求出抽取的两名同学来自同一年级的概率．
【解答】解：某某一中高一、高二、高三的模联社团的人数分别为25，15，10， 现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议， 在高二年级和高三年级中共抽取5名同学， 则在高二年级抽取：15531510⨯
=+人，在高三年级抽取：10
521510
⨯=+人，
从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作， 基本事件总数2510n C ==，
抽取的两名同学来自同一年级包含的基本事件个数22
3
24m C C =+=， 则抽取的两名同学来自同一年级的概率为42105
m p n ===． 故答案为：
2
5
． 【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）在边长为3的菱形ABCD 中，33BD =，将菱形ABCD 沿其对角线AC 折成直二面角B AC D --，若A ，B ，C ，D 四点均在某球面上，则该球的表面积为15π． 【考点】球的体积和表面积
【分析】由菱形ABCD ，||3AB =，3
ABC π
∠=，求解底面ACD 外接圆半径，利用球心到
各顶点距离相等求解R ，可得结论．
【解答】解：由题意菱形ABCD 满足，||3AB =，33BD =，3
BAC π
∴∠=
，
将菱形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --，
底面ACD ∆是正三角形，边长为3，外接圆半径为：23
333= 外接球半径为R ，球心与圆心的距离为3d =
， ABC ∆的外接圆的半径为r ，ABC ∆是正三角形，边长为3，
所以233332
r =
⨯⨯=． 222d r R +=，2222315
(3)(
)24
R r d =+=+=
． 外接球的表面积2415S R ππ==． 故答案为：15π．
【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在三角形ABC 中，2AB =，1AC =，2
ACB π
∠=，D 是线段BC 上一点，且
1
2
BD DC =
，F 为线段AB 上一点． （1）若AD xAB yAC =+，求x y -的值； （2）求CF FA ⋅的取值X 围．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【分析】（1）由平面向量的线性运算可得21
33
AD AB AC =+，由平面向量基本定理即可求得x ，y 的值，由此得解；
（2）设||(02)AF x x =<<，而
111
||||cos ||22()22416
CF FA CA FA CAB AF x x x ⋅=∠-=
-=--+，利用二次函数的性质即可得解．
【解答】解：（1）
1
2
BD DC =
，， ∴1()2AD AB AC AD -=-，即31
22AD AB AC =+，
∴21
33
AD AB AC =
+， 又AD xAB yAC =+， 23
x ∴=
，13y =，
211333
x y ∴-=
-=． （2）在ABC ∆中，2AB =，1AC =，2
ACB π
∠=，
3
CAB π
∴∠=
，3BC =，
∴()CF FA CA AF FA CA FA AF FA ⋅=+⋅=⋅+⋅，
设||AF x =，由题意，[0x ∈，2]， ∴111||||cos ||22()22416
CF FA CA FA CAB AF x x x ⋅=∠-=
-=--+， 又[0x ∈，2]，
11()2[3416x ∴--+∈-，1]16，即CF FA ⋅的取值X 围为[3-，1
]16
．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查函数思想及运算求解能力，属于中档题． 18．（12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，E 为11B D 的中点，AC BD O =．
（1）求证：AC ⊥平面11B BDD ； （2）求证：//DE 平面1ACB ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积．
【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的体积
【分析】（1）利用正方体的几何性质可证明1BB AC ⊥，结合AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证明AC ⊥平面11B BDD ；
（2）连接1OB ，利用四边形11BB D D 是平行四边形，得到11//BD B D 且11BD B D =，进一步证明四边形1DEB O 是平行四边形，可得1//DE OB ，由线面平行的判定定理证明即可； （3）由//DE 平面1ACB ，则E 点到平面1ACB 的距离即为D 点到平面1ACB 的距离，由等体积法求解体积即可．
【解答】（1）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ，1BB AC ∴⊥，
AC BD ⊥，1BD
BB B =，BD ，1BB ⊂平面11B BDD ，
AC ∴⊥平面11B BDD ；
（2）证明：连接1OB ，
在正方体中，11//BB DD 且11BB DD =， ∴四边形11BB D D 是平行四边形， 11//BD B D ∴且11BD B D =，
O ，E 分别为BD ，11B D 中点，
1DO EB ∴=，
∴四边形1DEB O 是平行四边形， 1//DE OB ∴，
DE ⊂/平面1ACB ，1OB ⊂平面1ACB ，
//DE ∴平面1ACB ；
（3）由（2）得//DE 平面1ACB ，
E ∴点到平面1ACB 的距离即为D 点到平面1ACB 的距离，
∴由等体积法可得，111111
36
E ACB D ACB B ACD ACD V V V S BB ---∆===⋅⋅=．
【点评】本题考查了线面垂直与线面平行的判定定理的运用，锥体体积公式的运用，对于三棱锥的体积问题，常运用等体积法求解，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题． 19．（12
分）在①cos cos 2cos b C c B a C +=；②sin 3cos 0c B b C =；③
()()3a b c a b c ab +++-=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的
题目．
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且_____． （1）求角C ；
（2）若2c =，ABC ∆3
，求ABC ∆的周长． 【考点】余弦定理；正弦定理
【分析】（1）条件①：利用正弦定理边化角，利用和差角公式求角C ．条件②：利用正弦定理边化角，利用同角关系求角C ；条件③：利用余弦定理求角C ； （2）利用余弦定理，面积公式构造方程组求解． 【解答】解：（1）选①，cos cos 2cos b C c B a C +=， ∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A C +=，
即sin()2sin cos B C A C +=，
又在ABC ∆中，sin()sin B C A +=，(0,)A π∈，sin 0A >，
sin 2sin cos A A C ∴=，
∴1cos 2
C =
， 0C π<<，
∴3
C π
=
．
选②，sin 3cos 0c B b C -=，
∴由正弦定理得sin sin 3sin cos 0C B B C -=，
又在ABC ∆中，(0,)B π∈，sin 0B >， ∴tan 3C =，
0C π<<，
∴3
C π
=
．
选③，()()3a b c a b c ab +++-=，
22()3a b c ab ∴+-=，即222a b c ab +-=，
∴由余弦定理得2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-=
==， 0C π<<，
∴3
C π
=
． （2）
3
C π
=
，2c =，ABC ∆的面积为
3
4
， ∴133sin 244
ABC S ab C ab ∆=
==， 1ab ∴=，
又由余弦定理得224a b ab +-=， 即2()347a b ab +=+=， ∴7a b +=，
即27a b c ++=+， 所以ABC ∆的周长为27+．
【点评】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、和差角公式的应用，属于中档题． 20．（12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表： 分数段 理科人数
文科人数
[40，50)
[50，60) 一 [60，70) [70，80) 正一 正 [80，90) 正一
[90，100]
（1）从统计表分析，比较选择文理科学生的数学平均分及学生选择文理科的情况，并绘制理科数学成绩的频率分布直方图．
（2）从考分不低于70分的选择理科和文科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取理科学生的数学成绩一定至少高于选取文科学生的数学成绩一个分数段的概率．
【考点】8B ：频率分布直方图；CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响； （2）利用互斥事件的加法公式，即可得出结论．
【解答】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，频率分布直方图如右． （2）设选择理科的学生考分在[70，80)，[80，90)，[90，100]分别为事件1A ，2A ，3A 选择文科的学生考分在[70，80)，[80，90)，[90，100]的事件分别为1B ，2B ，3B ，事件C =选取理科学生的数学成绩一定至少高于选取文科的学生的数学成绩一个分数段． 则2131
2()C A B A B B =+，P ∴（C ）21312()()()(()())P A P B P A P B P B =++，
由累计表可得P （C ）6545331
()161016101080
=
⨯+⨯+=
．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，2AB BC ==，
30ACB ∠=︒，160C CB ∠=︒，11
BC AC ⊥，E 为AC 的中点，侧棱12CC =． （1）求证：1
1AC C E ⊥； （2）求直线1CC 与平面ABC 所成角的余弦值．
【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角
【分析】（1）证明BE AC ⊥，1BE A C ⊥，结合11BC AC ⊥，推出1AC ⊥平面1C EB ，即可证明1
1AC C E ⊥． （2）说明1C CA 为直线1C C 与平面ABC 所成的角，
解法一：过H 作HM BC ⊥于M ，连1C M ，通过求解三角形，推出直线1C C 与面ABC 所成的角的余弦值．
解法二：1C CE ∠为直线1C C 与平面ABC 所成的角，利用余弦定理，然后求解即可． 【解答】（1）证明：
AB BC =，E 为AC 的中点，
BE AC ∴⊥，
又平面11A ACC ⊥平面ABC ， 平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，
BE ⊂平面11A ACC ，
又1AC ⊂平面11A ACC ，1BE A C ∴⊥， 又11
BC AC ⊥，1BE BC B =，
1
AC ∴⊥平面1C EB ， 1C E ⊂平面1C EB ，1
1AC C E ∴⊥．
（2）平面11A ACC ⊥平面ABC ， 1C ∴在平面ABC 上的射影H 在AC 上， 1C CA ∴∠为直线1C C 与平面ABC 所成的角，
解法一：
过H 作HM BC ⊥于M ，连1C M ，1BC C H ⊥，1C H
HM H =，
可得BC ⊥平面1C MH ，1C M ⊂平面1C MH ，1BC C M ⊥， 在Rt △1C CM 中，11cos 2cos601CM CC C CM =∠=︒=， 在Rt CMH ∆中，23
cos CM CH ACB =
=∠
∴在Rt △1C CH 中，112
3
3
3cos 2CH C CH CC ∠===， ∴直线1C C 与面ABC 3
． 解法二：
1C ∴在平面ABC 上的射影H 在AC 上， 1C CE ∴∠为直线1C C 与平面ABC 所成的角，
在1BCC ∆中，12BC CC ==，160C CB ∠=︒， 1BCC ∴∆为等边三角形，12BC =，
在ABC ∆中，BE AC ⊥，∴3CE =，
由（1）得，BE ∴⊥平面11A ACC ，又1C E ⊂平面11A ACC ， 1BE C E ∴⊥，∴22113C E BC BE =-=，
在△1C CE 中，由余弦定理得22211113
cos 23
C C CE C E C CE C C CE +-∠==⋅⋅．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）某某西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园．欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD 的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中4DC =百米，2DA =百米，ABC ∆为正三角形．建成后BCD ∆将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD ∆将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域． （1）当3
ADC π
∠=
时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD ∆的面积；
（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD ∆的面积的最大值．
【考点】解三角形；余弦定理
【分析】（1）在ACD ∆中，由余弦定理可求得AC 的值，再由正弦定理，可求得sin ACD ∠的。