长沙一中届高三考数学文科试卷

炎德 ·英才大联考 长沙市一中 2011 届高三月考试卷
(六 )
数
学(文科 )
长沙市一中高三文科数学备课组组稿 命题人：陈 震 审题人：汤清明
(考试范围：会合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、
平面向量、复数、数列、不等式、概率统计、分析几何
)
本试题卷包含选择题、填空题和解答题三部分，共 8 页。

时量 120 分钟。

满分 150 分。

得分：
一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .
1.若 A ＝{ x|x ＋ 1>0} ， B ＝ { x|x －3<0} ， x ∈Z ，则 A ∩B ＝ A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}
2.一组实验数据以下表，与两个变量之间的关系最靠近的是以下关系式中的
t 1.02 1.99 3.01 4.00 5.10 6.12
V 0.01 1.50
4.04
7.50
12.09
18.01
A. V ＝ log 2t
B.V ＝－ log 2 t
C.V ＝1
(t 2－ 1) D.V ＝ 2t － 2
2
3.已知 α、 β是不一样的两个平面，直线
a? α，直线 b? β.命题 p ： a 与 b 没有公共点；命
题 q ：α∥β，则 p 是 q 的
A. 充要条件
B. 必需不充足条件
C.充足不用要条件
D. 既不充足也不用要条件
4.直线 xsin2－ ycos2＝0 的倾斜角的大小是
A. － 1
B.－ 2 2 1
C.2
D.2
1/11
5.在一次运动员的选拔中，测获得 7 名选手身高 (单位： cm)散布的茎叶图如图 .已知记录 的均匀身高为 177cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为 x ，那么 x 的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
6.履行以下图的程序框图，若输出的 n ＝ 6，则输入整数 p 的最大值是
A.32
B.31
C.15
D.16
2
2
7.设双曲线 x
2- y
2＝ 1(a>0，b>0) 的离心率为
5
，抛物线 y 2 ＝20x 的准线过双曲线的左焦点，
a b
4
则此双曲线的方程为
x 2 y 2 x 2 y 2
A. 4－ 3 ＝ 1
B. 3－ 4 ＝1
x 2 － y 2
＝1 D.x 2 － y 2
＝ 1
C.16
9 9 16 x 2
＋ (1＋ a)x ＋a ＋ b ＋ 1＝ 0 的两个实根为 x 1、x 2，知足 0<x 1<2，
8.已知实系数一元二次方程 b 的取值范围是
x 2>2.则 a －1
1
A.( － 1，－ 3)
B.( － 3，－ 1)
1
1
C.( － 3，－ 2)
D.( － 3， 2)
选择题答题卡
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
二、填空题：本大题共 7 小题，每题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后
的横线上 .
9.sin45 cos15° °＋cos45 °sin15 的°值为
.
10. 若 ＝ ad － bc ，则复数
＝ .
11. 函数 y ＝ 2cos
2x
－ 1 的最小正周期是 . 2
12. 若直线 l ：y ＋1＝ k(x － 2)被圆 C ：x 2＋ y 2
－ 2x －24＝ 0 截得的弦 AB 最短，则直线 AB 的 方程是 . 13. 有一个底面圆半径为
1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱 内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 .
14. 已知向量 a ＝ (3,4) ， |a －b|＝ 1，则 |b|的范围是 .
x
15. 某同学在研究函数 f(x)＝ 1＋ |x|(x ∈ R)时，分别给出下边几个结论：
①等式 f(－ x)＋ f(x)＝ 0 对 x ∈ R 恒成立； ②函数 f(x) 的值域为 (－ 1,1)；
③若 x 1≠x 2，则必定有 f(x 1) ≠f(x 2)； ④函数 g(x)＝ f(x)－x 在 R 上有三个零点 .
此中正确结论的序号有
.(请将你以为正确的结论的序号都填上) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分 )
在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对应边分别为 a ， b ， c ，且知足 a 2 － ab ＋ b 2＝ c 2.
(1) 求角 C ；
(2) 若△ ABC 的面积为 3， c ＝ 2，求 a ＋ b 的值 .
如图，边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面， BC＝ 22，E、M 分别是 DC、BC 的中点 .
(1) 证明： AM ⊥面 PME ；
(2) 求二面角P— AM — D 的大小 .
已知：△ ABC 为直角三角形，∠
C 为直角， A(0，－ 8)，极点 C 在 x 轴上运动， M 在 y
轴上， AM ＝1
( AB ＋ AC )，设 B 的运动轨迹为曲线 E.
2
(1) 求 B 的运动轨迹曲线 E 的方程；
(2) 过点 P(2,4)的直线 l 与曲线 E 订交于不一样的两点 Q 、N ，且知足 QP ＝ PN ，求直线 l 的方程 .
19.(本小题满分 13 分 )
统计某校高三年级 100 名学生的数学月考成绩，获得样本频次散布直方图以以下图所示， 已知前 4 组的频数分别是等比数列 { a
n } 的前 4 项，后 6 组的频数分别是等差数列 { b n } 的前 6
项，
(1) 求数列 { a n } 、{ b n } 的通项公式；
(2) 设 m 、n 为该校学生的数学月考成绩，且已知
m 、 n ∈[ 70， 80)∪ [140， 150]，求事件
“ |m － n |>10”的概率 .
为了加速经济的发展，某省选择A、B 两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B 两城市的周边修筑城际轻轨，假定 10km 为一个单位距离， A、B 两城市相距 8 个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为 E，使轻轨 E 上的点到 A、 B 两市的距离之和为 10 个单位距离，
(1) 成立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线 E 的方程；
(2)若要在曲线 E 上建一个加油站 M 与一个收费站 N，使 M、 N、 B 三点在一条直线上，而且AM＋ AN＝ 12 个单位距离，求 M、 N 之间的距离有多少个单位距离？
(3) 在 A、B 两城市之间有一条与 AB 所在直线成 45°的笔挺公路 l ，直线 l 与曲线 E 交于 P， Q 两点，求四边形 PAQB 的面积的最大值 .
定义在 D 上的函数 f( x)，假如知足：对随意 x ∈ D ，存在常数 M ，都有 f(x)≥M 成立，则
称 f (x )是 D 上的有界函数，此中 M 称为函数 f (x )的下界 .已知函数 f(x)＝ x
(x 2
－ 3x ＋ 3) ·e ，其定
义域为 [ － 2， t]( t>－ 2)，设 f(－ 2)＝ m ， f(t)＝ n.
(1) 试确立 t 的取值范围，使得函数 f(x)在 [－ 2， t]上为单一递加函数； (2)
试判断 m ， n 的大小，并说明原因；并判断函数 f (
x
)在定义域上能否为有界函数，请
说明原因；
(3) 求证：关于随意的 t>－ 2，总存在 x 0∈( －2， t)知足 f ′(x 0) 2 ex 0
＝ (t － 1)2，并确立这样的 x 0
3
的个数 .
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文科数学参照答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D D A C C 二、填空题
9.
3 10.3＋i 11.2π12.x－ y－ 3＝ 0 13.
2
14.[4,6] 15.①②③2 3
三、解答题
a2＋ b2－ c2 1 π
16.解： (1)由 cosC＝2ab ＝2，∴C＝3.(5 分)
1
(2) 由 S＝2absinC＝3， ab＝ 4， (8 分 )
故 a2＋ b2＝ 8，故 a＋ b＝(a＋ b)2＝a2＋ 2ab＋ b2＝8＋ 8＝ 4.(12 分 )
17.解： (1)连结 EA，∵△ PCD 为正三角形，∴ PE⊥ CD，
∵平面 PCD⊥平面 ABCD ，∴ PE⊥平面 ABCD ，∴ PE⊥ AM.(3 分 )
∵四边形 ABCD 是矩形，∴△ ADE 、△ECM 、△ ABM 均为直角三角形，由勾股定理可
求得
EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴ EM 2＋ AM 2＝ AE 2，∴∠ AME ＝ 90 °，∴ AM ⊥EM.(4 分 ) 又 EM∩ PE＝E，∴AM ⊥面 PME.(6 分)
(2)∵ AM ⊥平面 PME ，∴ PM ⊥ AM ，∴∠ PME 是二面角 P— AM —D 的平面角，
PE＝ PDsin60°＝3，∴ tan∠ PME＝PE
＝
3
EM
＝ 1，∴∠ PME ＝45 °，
3
∴二面角 P— AM — D 为 45°.(12 分 )
1
18.解： (1)由 AM ＝2( AB ＋ AC )，知 M 为 BC 中点， (2 分 )
y
设 B(x ， y)则 M(0 ，2)， C(－ x,0).(4 分 )
又∠ C 为直角，故CB · CA＝ 0，∴x2＝4y(5 分 )
B 的运动轨迹曲线 E 的方程为x2＝ 4y.(x≠ 0)(6分
(2)∵ QP ＝ PN ，∴点 P 是线段 QN 的中点，
设 Q(x 1， y1)、 N(x 2，y2)，线段 QN 的中点 P(2,4)，设 l： y－ 4＝k(x － 2)
2 2
方法一：则 x1＝ 4y 1，①x2＝ 4y2，②
① －②得： 4y1－ 4y2＝ (x1－ x2)(x1＋ x2 )， (8 分 )
y1－ y2 1
∴直线 l 的斜率为 k＝x1－x2 ＝4(x1＋ x2) ＝ 1.(11 分)
方法二：由{ y－4＝k(x－2)x2＝4y，消去y得x2－4kx＋8k－16＝0，(*) 方程 (*) 中＝16(k2－2k＋4)>0，明显方程(*)有两个不相等的实数根.(8 分 )
由 x1＋ x2＝ 4k＝ 4? k＝ 1.(11 分 )
因此直线l 的方程为x－y＋ 2＝ 0.(12 分 )
19.解： (1)由已知：第 2 组的频数为3，第 3 组的频数为9，又前 4 组的频数是等比数列，
11 / 12
因此 a n ＝ 3n －
1，(3 分 )
又第 4 组的频数为 27，后 6 组是首项为 27，和是 87 的等差数列，
因此 b n ＝－ 5n ＋ 32.(6 分 )
(2) 由 (1)知成绩在 [70， 80)中的有 3 人，成绩在 [140， 150]
中的有 2 人，分别记为： a 1，
23
1 2
m － n
(8 分)
a ， a
和 b ， b ，由 |
|>10 知，这两人必来自两个不一样的组，
因此事件 “|m － n |>10
”的概率为 3
5.(13 分 )
20.解： (1)以 AB 为 x 轴，以 AB 中点为原点 O 成立直角坐标系 .设曲线 E 上点 P(x ， y)， ∵ |PA|＋ |PB|＝ 10＞ |AB |＝ 8
∴ 动点轨迹为椭圆，且 a ＝ 5，c ＝ 4，进而 b ＝ 3.
x 2 y 2
∴曲线 E 的方程为 25＋ 9 ＝1.(4 分)
(2) 由 |AM| ＋ |AN| ＋ |BM| ＋ |BN| ＝20， |AM| ＋ |AN| ＝ 12，因此 |MN| ＝ 8.(8 分)
2 2
(3) 将 y ＝ x ＋ t 代入 25x ＋ y
9 ＝ 1，得 34y 2－ 18ty ＋ 9t 2－ 25 ×9＝0.
9t
9t 2－ 25 ×9
设 P(x 1， y 1)、 Q(x 2， y 2 )，则 y 1＋ y 2＝ 17， y 1y 2＝ 34
.
|y 1－ y 2|
＝ (y 1＋ y 2)2－ 4y 1y 2 1 50×9×17－ 9×25t 2， ＝
17
1 8
S ＝ S △ABP ＋ S △ABQ ＝ 2AB ·|y 1－ y 2
|
＝ 34 50×9×17－ 9×25t 2，
60
因此当 t ＝ 0 时，面积最大是 17
34
，此时直线为 l ： y ＝ x.(13 分 )
2
x
x x
21.解： (1)f ′＝(x)(x
－ 3x ＋3) e ·＋ (2x － 3) e ·＝ x(x － 1) e ·
.
由 f ′ (x)>0? x>1 或 x<0；由 f ′ (x)<0? 0<x<1 ，
因此 f(x) 在(－∞，0] ，[1，＋ ∞)上单一递加，在 [0,1] 上单一递减，
要使 f(x) 在[ －2， t] 上为单一递加函数，则－ 2<t ≤ 0.(4 分) (2)n>m.
因为 f(x) 在(－∞，0] ，[1，＋ ∞)上单一递加，在 [0,1] 上单一递减，
13 因此 f(x) 在 x ＝ 1 处取极小值
e.又 f( － 2)＝ e 2 <e ，
因此 f(x) 在[ －2，＋ ∞)上的最小值为 f(－ 2)，进而当 t>－ 2 时， f(－ 2)<f(t) ， 即 m<n.(6 分 )
由上知，因为 f(x) 在(－ ∞， 0)
上递加，且恒大于 0， f(x) 在 (0，＋ ∞)的最小值为 e ， 因此函数 f (x )在 (－ ∞，＋ ∞)上是有界函数， M ＝ 0.(8 分 )
f ′(x 0)
2
f ′(x 0) 2
2 2
2
2
(3) 因为 ex 0
＝x 0－ x 0，因此 ex 0
＝ 3(t － 1) ，即为 x 0 －x 0＝ 3(t － 1) .
2
2
令 g(x) ＝x 2
－ x － 3(t － 1)2
，进而问题转变为证明方程
g(x) ＝x 2 －x － 3(t － 1) 2＝ 0
在 (－ 2， t)上有解，并议论解的个数 .
因为 g(－ 2)＝ 6－
23(t － 1)2＝－ 23(t ＋ 2)(t － 4)， g(t) ＝ t(t － 1)－ 23(t －1) 2＝ 13
(t ＋ 2)(t －1) ， 因此 ① 当 t>4 或－ 2<t<1 时，g(－ 2) g(t)<0· ，因此 g(x) ＝ 0 在 (－ 2，t) 上有解， 且只有一解；
② 当 1<t<4 时， g( －2)>0 且 g(t)>0 ，但因为 g(0) ＝－ 2
3(t － 1)2<0，
10/11
因此 g(x) ＝ 0 在 (－ 2， t) 上有解，且有两解；(10 分) ③当 t＝ 1 时， g(x) ＝ x2－x＝ 0? x＝ 0 或 x＝1，
因此 g(x) ＝ 0 在 (－ 2， t) 上有且只有一解；(11 分)
④当 t＝ 4 时， g(x) ＝ x2－x－ 6＝ 0? x＝－ 2 或 x＝ 3，因此 g(x) ＝ 0 在 (－ 2,4)上有且只有一解 .(12 分 )
综上所述，关于随意
f ′(x0) 2
2 t> －2，总存在 x ∈ (－ 2， t)，知足xx0 ＝3(t － 1) ，
且当 t≥ 4 或－ 2<t≤ 1 时，有独一的 x0切合题意；当 1<t<4 时，有两个x0切合题意 .(13 分 )
11/11
12 / 12。