立体几何中组合问题的几种解法
奥数解谜立体几何中的难题
奥数解谜立体几何中的难题立体几何是奥数中的一个重要分支，它与点、线、面相比，更加复杂和有趣。
解决立体几何难题需要学生具备良好的想象力、逻辑思维和空间想象能力。
本文将重点探讨奥数解谜立体几何中的一些难题，以及解决这些难题的方法。
第一部分：平面与立体的关系在立体几何中，我们经常需要将二维平面转化为三维立体，并理解它们之间的关系。
其中一个经典的难题是给定一个底面视图和一个侧面视图，要求确定对应的立体图形。
解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察底面视图和侧面视图，找出每个图形的特点和规律；2. 根据底面视图中的点、线、面的位置，将其转化为立体中的点、线、面；3. 根据侧面视图中的高度信息，确定立体图形的高度；4. 综合底面和侧面的信息，确定立体图形的形状和大小。
第二部分：直方体的拼装问题直方体是解谜立体几何中常见的图形。
一个常见的难题是给定一些尺寸相同的立方体块，要求用这些块拼出一个大的立方体。
解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察每个立方体块的形状和特点，找出它们之间的联系；2. 根据大立方体的尺寸确定需要多少个立方体块；3. 将每个立方体块按照规律进行拼装，注意保持块与块之间的相邻面接触。
第三部分：平行四边形的性质在立体几何中，平行四边形是常见的一个图形。
一个经典的难题是给定一个平行四边形，要求根据已有信息计算出其他未知的性质。
解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察平行四边形的特点，如平行边、角的性质等；2. 利用平行四边形的性质求解已知信息；3. 根据已知信息推导出其他未知的性质。
第四部分：圆锥体与圆台的体积计算圆锥体和圆台是奥数解谜立体几何中的另一个重要内容。
一个常见的难题是给定一个圆锥体或圆台，要求计算其体积。
解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察圆锥体或圆台的特点，了解它们的形状和性质；2. 根据已知信息计算出底面的面积和高度；3. 根据体积的计算公式，将已知信息代入计算。
立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（）A. 12对B. 24对C. 36对D. 48对解由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧1棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有C6种; 第二步, 从底面61条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有C4种, 由乘法原理知有11C6C4=24对, 故选B.二．分类求解例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A在同一平面上, 不同取法有( )A. 30种B. 33种C. 36种D. 39种3解符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3C5 30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.1解分三类：5①如果用5种颜色有A5种染色方法.D图1B②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A、C同色，只要考虑染S、A、B、D四顶点，有A54种染法，而B、D同色仍有A54种染法，用四色共有2A54种染法.3③如果用3种颜色，A、C同色，B、D同色，只要考虑S、A、B三个顶点，有A5种染法.53由加法原理知共有A5＋2A54＋A5＝420种染法.三、剔除求解例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150种B.147种C.144种D.141种4解从10个点中任取4点，有C10种取法，再剔除掉共面的取法.44① 共面的四点在四面体的某一个面内，有C6种取法，4个面共有4C6种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.44故不共面的取法共有C10－4C6－6－3＝141种，故选D.例5 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？C1 D1AB 图221解（1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体C84-12＝58个.D（2）如图2，A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题3意的三点取法共有C8－8＝48种.2（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有C4个，再去掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C.2所以共有C82 C4 4 4 1＝13条.四、构造模型求解例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到(C84 12) 3 174对异面直线. 五、联想有关命题求解例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（）A.0B.6C.8D.24解联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.六、综合有关知识求解例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）E11A.200个B.190个C.185个D.180个E图3C34解正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C10＝210个四面体，其中四点在同一平面内的有三类：4① 每一底面的5点中选4点的组合方法有2C5个.② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有C52个.③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB∥E1C1），这样1共面的四点共有2C5个.4421故四面体的个数为C10＝180个，故选D. 2C5 C5 2C5例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：1① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有2C54C5个. 11②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有C5个. C611③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有C5个. C611④以图3中ABC1E1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有2C5个. C***-*****故可构成的四棱锥共有2C54C5＋C5＋C5＋2C5＝170个. C6C6C6例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？解本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关.①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有C84－6－2＝62个.② 若底面是梯形，则有C84－6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有C84－6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.。
(完整版)例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点1．1 共面的点例1（1997年全国高考（文））四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种 B．33种 C．36种 D．39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。
点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。
所以与点A共面的四点组合共有个。
答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。
1．2 不共面的点例2（1997年全国高考（理））四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种 B．147种 C．144种 D．141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
答案：D。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
完整版例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点1．1 共面的点11997年全国高考（文））（例A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，每个面上的个顶点，个点共面。
点条棱有34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333点与这条棱对棱的中点共面。
条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在A共面的四点组合共有个。
所以与点B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的算在内。
1．2 不共面的点21997年全国高考（理））（例104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141种．种．种．种．410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。
形，它的个顶点共面，有以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
D答案：。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
立体拼合解题方法
立体拼合解题方法摘要：一、立体拼合解题方法简介二、立体拼合解题方法的应用领域三、立体拼合解题方法的操作步骤四、立体拼合解题方法的优势五、实战案例解析六、总结与建议正文：一、立体拼合解题方法简介立体拼合解题方法是一种将空间几何与数学问题相结合的解题技巧。
它通过将复杂问题分解为简单的几何图形，利用数学知识进行逐步推导，从而求解问题。
这种方法在解决立体几何、组合数学、物理等学科的问题时具有较高的实用价值。
二、立体拼合解题方法的应用领域1.立体几何：在立体几何中，许多问题可以通过立体拼合解题方法进行简化。
如求解空间几何中的角度、距离、体积等问题，可以通过将空间几何体切割成简单的几何图形，再利用数学知识进行计算。
2.组合数学：在组合数学中，立体拼合解题方法可以帮助解决计数、排列组合等问题。
如计数问题，可以通过构建几何图形，分析不同部位的组合情况来求解。
3.物理：在物理学中，许多力学、光学、热学等问题都可以通过立体拼合解题方法进行求解。
如在力学中，可以通过构建物体受力图，分析各力的作用情况，从而求解物体运动状态。
三、立体拼合解题方法的操作步骤1.分析问题：首先要对问题进行深入的分析，明确问题的背景、条件以及需要求解的目标。
2.构建几何图形：根据问题条件，构建合适的几何图形，将复杂问题简化。
3.分解几何图形：将构建好的几何图形分解为简单的几何图形，如平面图形、立体图形等。
4.应用数学知识：针对分解后的简单几何图形，运用相应的数学知识进行计算和推导。
5.整合结果：将各个简单几何图形的计算结果整合，得出问题的解答。
四、立体拼合解题方法的优势1.化繁为简：通过将复杂问题分解为简单的几何图形，降低了问题的难度。
2.直观易懂：立体拼合解题方法具有很强的直观性，有助于理解问题的本质。
3.适用范围广泛：立体拼合解题方法适用于多个学科领域，具有较强的通用性。
4.提高解题效率：通过立体拼合解题方法，可以快速找到问题的解决途径，提高解题效率。
几何有关的排列组合题的解法
几何有关的排列组合题的解法在几何学中，排列组合是一种常见的解决问题的方法。
通过对图形的排列和组合，我们可以探索出许多有趣和实用的结论。
本文将介绍几何有关的排列组合题的解法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、组合问题组合问题是指从一组元素中选取若干个元素，并按照一定规则组合在一起的问题。
在几何学中，常见的组合问题包括圆排列、线排列等。
下面以圆排列为例进行说明。
1. 圆排列问题圆排列是指将若干个不同的圆按一定规则排列在平面上的问题。
一般来说，圆排列可以分为两类：相离圆排列和相切圆排列。
相离圆排列问题是指将若干个不相交的圆排列在平面上的问题。
在解决相离圆排列问题时，我们可以利用排列组合的方法进行求解。
假设有n个圆，我们可以选择其中的m个圆进行排列。
圆的排列数量可以通过组合数公式求得，即C(n,m)。
相切圆排列问题是指将若干个相切的圆排列在平面上的问题。
在解决相切圆排列问题时，我们可以利用等比数列的性质进行求解。
假设有n个圆相切，我们将最大的圆设为第一个圆，其半径为r，那么第i个圆的半径为r/i。
通过求解前n项的和，即可得到圆的总面积。
二、排列问题排列问题是指将一组元素按一定顺序排列的问题。
在几何学中，常见的排列问题包括点线面的排列等。
下面以点线面的排列为例进行说明。
1. 点线排列问题在点线排列问题中，我们需要计算在给定的几何形状中，将若干个点或线按一定规则排列的情况。
这种情况下，排列的顺序非常重要。
例如，给定一个正方形的四个顶点，我们需要计算在这四个顶点中选择若干个点排列成线段的情况。
我们可以根据线段的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。
2. 点面排列问题在点面排列问题中，我们需要计算给定的若干个点和若干个面排列成几何形状的情况。
这种情况下，排列的顺序也非常重要。
例如，给定一个平面上的四个点和一个矩形，我们需要计算在这四个点中选择若干个点作为矩形的顶点的情况。
我们可以根据矩形的边的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。
立体几何中组合问题的几种解法
立体几何中组合问题的几种解法解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。
1 直接求解法例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。
解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。
∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。
根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。
解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。
其余的任4点都能构成一个三棱锥。
因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。
2 从几何概念上求解［2］例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?此题易错解，仿上例。
错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。
组合问题的解题方法与策略
组合问题的解题方法与策略组合问题是数学中的一种重要问题类型，它涉及到如何从已知元素中选择若干个元素进行排列或组合的问题。
解决组合问题需要掌握一些基本的解题方法和策略，下面我们来探讨一下这些问题的解法。
1. 计数法组合问题通常需要用计数法解决。
计数法包括：乘法原理、加法原理、排列组合原理等。
在解决组合问题时，我们需要根据具体的情况选用适当的计数方法。
2. 套路思维解决组合问题需要具备一定的套路思维。
例如，要求从元素集合中选择若干个元素进行排列，我们可以采用先选择一个元素，再选择一个元素，依次类推的方法解决问题。
这种方法可以简化组合问题的复杂度，帮助我们更快地得到答案。
3. 逆向思维逆向思维也是解决组合问题的常用策略。
在一些组合问题中，我们需要求出不符合条件的情况，然后用总情况数减去不符合条件的情况，就得到符合条件的情况数。
这种逆向思维可以大大简化组合问题的解决过程。
4. 变量替换有些组合问题中，我们需要求的是具有相同属性的元素组合数。
这种情况下，我们可以采用变量替换的方法，将具有相同属性的元素看做同一种元素，进而求出元素的排列或组合数。
例如，要求从20个球中选出10个蓝球，我们可以将20个球看做同一类元素，10个蓝球看做一个元素，然后求出从11个元素中选取10个元素的组合数。
5. 推理与归纳在解决组合问题时，我们需要善于推理和归纳。
例如，在一些组合问题中，我们需要求出满足一定条件的元素排列或组合数，我们可以通过归纳和推理，得出这些元素的特性，然后进一步求解。
综上所述，解决组合问题需要掌握计数法、套路思维、逆向思维、变量替换、推理与归纳等方法和策略。
熟练掌握这些技巧，可以大大提高解决组合问题的效率和准确性，帮助我们更好地应对数学竞赛和考试中的组合问题。
试析数学竞赛中组合几何问题的几种解法
试析数学竞赛中组合几何问题的几种解法组合几何问题在数学竞赛中占有重要的地位。
它不仅要求我们具备几何图形的基本概念和运用技能，还需要我们具备一定的组合数学知识。
针对组合几何问题，我们可以采用不同的解法，本文将从常用的几种解法出发，深入探讨组合几何问题的解题技巧。
一、计数原理计数原理是解决组合问题的基本方法之一。
它包含了加法原理和乘法原理两种基本思想。
加法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的概率等于各个子事件概率之和。
乘法原理是指，如果一个事件可以分解为若干个独立的子事件，那么这个事件的概率等于各个子事件概率之积。
在组合几何问题中，计数原理可以用来计算几何图形中的点、线、面等数量。
例如，在一个正方形中，取三个点，求它们所构成的三角形的个数。
根据乘法原理，我们可以得到答案为$C_3^2=3$。
二、重心法重心法是解决组合几何问题的常用方法之一。
它利用了几何图形的对称性和平衡性。
在一个几何图形中，如果我们能够找到它的重心，那么我们就可以通过重心的性质来解决问题。
重心是一个几何图形的中心点，它具有以下性质：（1）三角形的三条中线交于一点，该点为重心。
（2）四边形的对角线交于一点，该点为重心。
（3）正多边形的重心位于中心点和各个顶点的连线的交点处。
对角线长度等。
例如，在一个正方形中，以其中一个顶点为顶点，连接一条边上的中点和对角线的中点，求所得四边形的面积。
根据重心法，我们可以得到答案为正方形面积的$1/4$。
三、旋转法旋转法是解决组合几何问题的另一种常用方法。
它利用了几何图形的对称性和不变性。
在一个几何图形中，如果我们能够找到它的对称轴，那么我们就可以通过旋转来使问题变得更加简单。
旋转法的基本思想是，将一个几何图形旋转一定的角度后，它仍然是原来的几何图形。
在旋转过程中，我们可以利用几何图形的对称性来求出它的某些性质。
在组合几何问题中，旋转法可以用来求几何图形的面积、周长、对角线长度等。
解析组合问题技巧
解析组合问题技巧组合问题在数学中是一种常见的题型，它涉及到如何从给定的元素中选择不同的组合方式。
解决组合问题的关键在于灵活运用数学规则和技巧，下面将介绍几种常用的解析组合问题的技巧。
首先，对于简单的组合问题，可以直接使用组合公式进行求解。
组合公式通常用来计算从n个元素中取出r个元素的不同组合数，其公式为：$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$。
其中，n表示总共的元素个数，r表示选取的元素个数，！表示阶乘运算。
通过这个公式，可以直接计算出组合的种数。
其次，对于较为复杂的组合问题，可以采用分情况讨论的方法。
例如，如果题目中要求组合中不能出现某些元素，可以先计算出总的组合数，再减去不符合条件的组合数，以得到符合条件的组合数。
这种方法通常需要对问题进行更加细致的分析，但可以有效解决复杂的组合问题。
另外，对于重复元素的组合问题，可以采用排列组合相结合的方法进行求解。
首先计算出所有可能的排列数，再除以重复元素的排列数，即可得到不同的组合数。
这种方法适用于包含有重复元素的组合问题，可以帮助简化计算过程。
此外，对于需要满足一定条件的组合问题，可以先确定条件限制下的组合规则，再根据条件计算出符合条件的组合数。
这种方法可以帮助筛选出符合要求的组合方式，减少计算的复杂度。
总的来说，解析组合问题的关键在于熟练掌握数学规则和技巧，灵活运用不同的方法解决问题。
通过对组合问题的深入理解和分析，可以提高解题效率，准确解决各类组合问题。
希望本文介绍的解析组合问题技巧能够帮助读者更好地理解和解决组合问题，提升数学解题能力。
组合问题的解题方法与策略
组合问题的解题方法与策略
组合问题是数学中的一类重要问题，常见于组合数学、概率论等领域。
解决组合问题需要一些特定的方法和策略，下面将介绍一些解决组合问题的常用方法和策略。
1. 排列组合法
排列组合法是一种通过计算排列和组合的方法来解决组合问题的方法。
在计算排列和组合时，需要注意考虑重复和顺序的因素。
具体地说，排列是指从n个元素中取出m个元素进行排列，排列数为A(n,m)；组合是指从n个元素中取出m个元素进行组合，组合数为C(n,m)。
在计算排列和组合时，应注意使用相应的公式，并考虑是否有重复和顺序的要求。
2. 分类讨论法
分类讨论法是一种常见的解决组合问题的方法。
该方法通常通过将问题分成若干个小问题，然后依次对每个小问题进行分析和解决。
在使用分类讨论法时，应注意分类的准确性和全面性，以确保所有情况都被考虑到。
3. 逆向思维法
逆向思维法是一种从结果反推出具体步骤的解决问题的方法。
在使用逆向思维法时，应先确定问题的结果，然后从结果出发，逐步反推出具体的步骤和方法。
逆向思维法在解决组合问题时常常能够帮助我们找到问题的解决方式。
4. 枚举法
枚举法是一种通过枚举所有可能的情况来解决问题的方法。
在解决组合问题时，枚举法可以通过列出所有可能的组合情况，然后逐一计算得出正确答案。
在使用枚举法时，应注意枚举的全面性和准确性，以确保所有情况都被列出来。
总之，解决组合问题需要综合运用多种方法和策略，以找到正确的解决方式。
在实践中，我们应灵活运用各种方法，并在解决问题的过程中不断总结和改进，以不断提高解决问题的能力和水平。
立体几何中的组合体问题专题(有答案)
立体几何中的组合体问题专题(有答案)例1.正方体与球问题:正方体的棱长为1.求球的半径:⑴若正方体的八个顶点都在球面上,⑵若球内切于正方体;⑶12条棱组成一个正方体,一充气球在正方体内,求球的最大半径.例2.正四面体与球问题:正四面体的棱长为1.求球的半径:⑴若正四面体的四个顶点都在球面上,⑵若球内切于正四面体;⑶6条棱组成一个正四面体,一充气球在正四面体内,求球的最大半径.例3.四球问题:四个球的半径都为1.⑴桌面放两两相切的3个球,这3个球上面放一个球,求这个球的最高点离桌面的距离;⑵求与上述4个球都相切的小球的半径.例4.圆锥、圆柱与球⑴底面半径为1cm高为10cm的圆柱内,可以放几个半径为0.5cm的小球?⑵圆锥底面半径为3,高为4,一个球内切于圆锥,求球的半径;⑶圆锥底面半径为3,高为4,两个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑷圆锥底面半径为3,高为4,三个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑸圆锥底面半径为3,内接于一个半径为4的球,求圆锥的高.例5.圆锥与正四棱柱⑴圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为3,且内接于圆锥,求正四棱柱的底面边长;⑵圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为x,且内接于圆锥,求正四棱柱的体积.练习一、补（补成长方体或正方体）1. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A 、3πB 、4πC 、33πD 、6π2. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A ．π12 B ．π32 C ．π36 D ．π483. 点P 在直径为6的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是 A ．6B ．435C ．2215D ．210554. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π 5. 设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ ）A ．π38B ．2πC ．4πD ．π346. 已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的半径为 A ．3 B ．6 C ．36 D ．97. 已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为A ．32B ．36C ．48D ．648. 长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::2:1:3AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为A .263 B . 63C .23D .3 9.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱锥P ABCD 的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为A .12B .24C .36D .4810. (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)已知四面体ABCD 中，AB =AD =6,AC =4,CD =213，AB 丄平面ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为A . π36B . π88C . π92D . π12811. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，一个球与正方体的棱长都相切，则这个球的半径是____________.12. 三棱锥A -BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ΔABC ，ΔACD , ΔADB 的面积分别为,222，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为. ______13. 四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为361、、，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路
例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路排列数问题
穷举法：穷举法的核心是将所有可能性均列出来，为了避免数多或数漏，多采用树状图方法。
分类讨论法：①分清元素、位置和限制条件；②决定是从位置还是元素开始讨论（哪个少就从哪个开始讨论）；③从限制最多的开始讨论，随后是限制条件次多的，逐一进行讨论。
正难则反法：①不看限制条件求全集②求限制条件反面的子集，③全集减子集。
捆绑法：①把相邻元素捆绑处理②将捆绑后的元素当做一个整体进行排序。
插书法：①先考虑不受限值元素的排列②再将不相邻的元素插在前面元素排列在空位中。
组合数问题
分类数数问题：该类型题的主要难点是不要出现重复计数和遗漏计数的问题，常用的解题技巧是最大值法和正难则反法。
分组排序问题：
①每组所含元素个数一样多，又称之为平均分组，策略为：取取取后再去序；
②每组所含元素个数均不一样，策略为：取取取；
③每组所含元素个数有一样多的也有不一样多的，策略为：取取取后对于元素个数相等的组之间要去序。
涂色问题：①对要涂色的区域进行分组，涂几种颜色就分几组，分组的原则是同组的区域互不相邻，这一步是重点，通常采用的是穷举法；②进行排序，每组填一种颜色，就是颜色种类的全排列。
插棍问题：①正整数解问题②非负数整数解。
组合问题的解题方法与策略
组合问题的解题方法与策略组合问题的解题方法与策略组合问题是数学中常见的一种问题类型，其解题方法和策略也是很多学生所关注的。
本文将从组合问题的定义、基本概念、解题方法和策略等方面进行详细介绍。
一、组合问题的定义和基本概念1.1 定义组合是指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），不考虑它们之间的顺序，所能得到的不同组合数目。
1.2 基本概念- 排列：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），考虑它们之间的顺序，所能得到的不同排列数目。
- 重复排列：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），允许重复，考虑它们之间的顺序，所能得到的不同排列数目。
- 组合：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），不考虑它们之间的顺序，所能得到的不同组合数目。
- 重复组合：指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），允许重复，不考虑它们之间的顺序，所能得到的不同组合数目。
二、组合问题的解题方法2.1 公式法组合问题可以使用公式来求解。
对于从n个元素中取出r个元素的组合数，其公式为：C(n,r) = n! / r!(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
例如，从5个不同元素中取出3个元素的组合数为：C(5,3) = 5! / 3!(5-3)! = 102.2 枚举法枚举法是指通过枚举所有可能的情况来求解问题。
对于组合问题，可以通过枚举每一个可能的组合来计算总数。
例如，从4个不同元素中取出2个元素的所有组合如下所示：{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}共有6种情况，因此从4个不同元素中取出2个元素的组合数为6。
枚举法虽然简单易懂，但在处理大规模数据时效率较低。
2.3 递推法递推法是指通过计算前面已知结果来推导后面未知结果的方法。
对于组合问题，可以使用递推公式来求解。
例如，要求从6个不同元素中取出3个元素的组合数，可以通过递推公式C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)来计算。
数学竞赛中的立体几何组合体问题的解法探究
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
一
①
数 学 竞赛中 的 立 体几 何组 合 体问 题的 解 法 探究
■ 覃章 平
摘 要： 在数学竞赛的试题 中 ， 立体几何 占有很 重要的地位 ，而其中的组合体 问题是一类常见 的题 型， 是立体几何 的一个难点 ， 因此找到合适 的解题方
法至关重要 。
问题 。
对 于一 些具有对称性 的几何体组 合体 问题 ， 我 们通常可 以找到几者的连接点 ， 即纽带 ， 把各个几何 体 中的重要构成要素连接起来 ， 找 出关系 ， 再进行求
解。
例 １ 求棱 长为ｎ 的正 四面体 的外接球表面积。 分 析：由于正 四面体和其外 接球都是具有对称 性 的几何体 ， 所 以球心也就是正 四面体的中心 ， 把它 作为纽带 ， 把球 的半径和正 四面体 的棱长联系起 来。 解： 如 图设球心为０， 球半径为Ｒ， Ｏ Ａ＝ Ｏ Ｄ＝ Ｒ， 过Ａ 点作 面Ｂ Ｃ Ｄ的垂线
要 的探 究 。
一
即 一 ＝
＋ｒ
， 解 得ｒ ： （ ２ 了一 ３ ｏ
２
２
三、 连接球心 。 转化 为熟 悉 的 多面 体 问 题
、
找共同点 。 建 立 关 系
当两球外切 时 ， 球心连线通过切点 ， 球心距等于 两球半径 之和。因此 ， 研究 多球相切 问题时 ， 连接球 心使其构成多面体 的主要元素 ，从而转化为多面体
Ｃ Ｄ＝ ４，
Ｄ
有Ａ Ｄ＝ Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ ＝ Ｂ Ｃ ＝ ５ ，
Ｃ
８一 ． Ｏ，Ｄ ：
＿ ＝ ＿ ｜ 三 一 ０Ｄ Ｄ ： Ｒ， 由Ｄ ０， ： ＋ Ｄ， Ｄ ２ ＝ Ｏ Ｄ ２ ， 可得 ： ＿ ＝ ＿ ｆ 鱼 一 口
高二数学最新教案-立体几何组合问题的处理方法 精品
立体几何组合问题的处理方法与立体几何有关的组合问题，以灵活、有一定难度等特点使学生不易掌握.现结合具体例子谈谈这类问题的几种处理方法.1.直接求解例1.从平面α上取6点，从平面β上取4点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？ “和”的思路：要想使这10个点构成的三棱锥最多，除α上6点共面，β上4点共面外，应再无四点共面及三点共线.所以可从平面α上6个点中任取一个与平面β上4个点中任取3个构成三棱锥，有3416C C 个；也可以从平面α上6个点中任取2个与平面β上4个点中任取2个构成三棱锥，有2426C C 个；还可从平面α上6个点中任取3个与平面β上4个点中任取1个构成三棱锥，有1436C C 个.根据加法原理共有143624263416C C C C C C ++=194（个）.“差”的思路：先不考虑共面的点，从10个点中任取4点，可构成C 410个三棱锥，去掉在平面α上有C 46个，在平面β上有C 44个，要想达到最多应再无四点共面及三点共线，故最多可构成C 4446410C C --=194（个）.2.结合立几概念例2.空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，此外设有任四个点共面，则这些点可以组成四棱锥的个数有多少个.错解一（“和”的思路）：依题意，可从共面六个点中任取1个、2个、3个、4个点与从另外4个点中任取4个、3个、2个、1个点都可构成四棱锥，所以共有1446243634264416C C C C C C C C +++=264（个）.错解二（“差”的思路）：先不考虑共面，从10个点中任取5个点，可构成C 510个，去掉六点共面有C 56个，故有C 510－C 56=246（个）.正解：由立几中四棱锥的定义知：四棱锥的底面是平面四边形.故四棱锥底面的四点，只能从共面的6个点中选取，有C 46种，顶点可从另外4个点任取一个，有C 14种，由乘法原理有C 46C 14=60（个）.3.结合立几图形例3.（1991年全国高考题）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）A.12对B.24对C.36对D.48对解：结合六棱锥图形知：六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配，从6条侧棱中任取一条有C 16种.再从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有C 14种，由乘法原理共有C 16C 14=24对，选B. 例4.（1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A.70个B.64个C.58个D.52个解：先不考虑四点共面的情况，从正方体8个顶点中任取4个有C 48种取法，再结合图形去掉四点共面的情况.易知有6个表面，6个对角面，故所求四面体个数为C 48－12=58个，选C.例5.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？ 此题笔者见许多资料中都给出110个，这答案是错的.现结合图形给出正解. 解：结合正五棱柱的图形，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：（1）以棱柱底面为四棱锥底面的共有2C 1545C ； （2）以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有1615C C ； （3）以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有1615C C ；（4）以如图中ADC 1B 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有21615C C ，所以可构成的四棱锥共有2C 1545C +1615C C +1615C C +21615C C =170（个）.4.构造几何模型例6.与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解：由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个.故共有7个平面.例7.在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解：因四面体的6条棱可构成3对异面直线，故可构造四面体，为此只需求出正方体八个顶点可构成多少个四面体即可，而这恰是例4.故可得（C 48－12）×3=174对异面直线.。
[立体几何] 球的组合体
![[立体几何] 球的组合体](https://img.taocdn.com/s3/m/cc54d54bf5335a8102d220ad.png)
球的组合体一、正方体+球例1、甲球内切于某正方体的各个面，乙球内切于该正方体的条棱,丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比是二、四面体+球例2、球的内接正四面体内有一内球，求这两球的表面积之比练习：过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD，且两两夹角都是60o,若球的半径为R，则∆BCD的面积是（）例题：1、已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱的体积是（）A、3π4B、π C、π2D、π42、（“墙角型”三棱锥外接球）：在球面上有四个点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。
解法一、找截面图，找球心解法二、补正方体3、（“鳖臑型”三棱锥外接球）《九章算术》中，将底面是长方形且一条侧棱于底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。
两类三棱锥具有典型性，需重视。
（1）已知四面体P-ABC的四个顶点都在球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC ,且AC=1，PB=AB=2,则球O的表面积为解法一、构造长方体解法二：RT∆PBC和RT∆PAC有公共的斜边PC ，其中点到四个顶点距离相等。
（2）若三棱锥A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB=BC=2，BD=4, 三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（）提示：外接球的球心是AD的中点4、已知三棱锥S—ABC，所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SBC，SA=AC,SB=BC, 三棱锥S—ABC的体积等于9，则球O的表面积为5、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为。
文档：例谈求组合体的表面积和体积
例谈求组合体的表面积和体积现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的。
计算组合体的表面积和体积问题，是空间几何体的形与量的结合，是数形结合思想在立体几何中的充分体现，因而该部分内容也逐渐成为近年高考的热点之一.常用的方法是“加、减法”和“截面法”，其关键是能够分清组合的结构特征，并记住柱、锥、台、球几个几何体的表面积和体积公式。
下面用几个例子来说明它，希望能起到抛砖引玉的作用。
【例1】有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重5.8kg ，已知底面六边形的边长是12mm ，高是10mm ，内孔直径是10mm ．问约有毛坯多少个（铁的比重是7.8g/cm3）．分析：一个螺丝帽的体积等于一个正六棱柱与一个圆柱体积之差．求组合体积的关键是掌握简单体的体积公式．这是一个实际题，是属于近似计算的，由于所给的数据都具有两位有效数字，因此运算过程中都取三位有效数字，结果取二位有效数字．解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积之差． 233312610 3.7410(),V mm =⨯⨯≈⨯正六棱柱 233103.14100.78510().2V mm ⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭圆柱 毛坯的体积V=×103－×103≈×103（mm3）=（cm3）．×103÷（×）≈×102（个）答：这堆毛坯约有250个．评注：用“加减法” 计算组合体的表面积和体积，一般也分三步。
首先根据组合体的构成特点，将它分割成几个简单几何体；第二，分别计算出各个简单几何体的体积和表面积；第三，把各个简单几何体的体积和表面积分别相加、相减或相加减。
“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。
【例2】 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积.分析：要求球的表面积和体积，先要求出半径，画出截面图，我们就可以导出半径和棱长的关系，注意轴截面中的矩形是正方体的对角面不是正方形. 解：作轴截面如图所示，/6CC =2623AC ==R ， 则2222/2639.R OC CC =+=+=3R =∴.2436S R ππ==∴球，34363V R ππ==球.评注：有些合体的表面积计算组时，由于连接，有些简单几何体的部分面积不应计算在内。
高中数学：立体几何中的排列组合概率问题
主要是指以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。
一、分类讨论共面问题例1、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个解析：平面α可以分为两类：一类是在平面α的两侧各有两个点；另一类是在平面α的两侧分别有一个点和三个点。
如图1，设E、F、G、H、M 分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面α满足题意，这样的平面有4个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有3个。
故适合题设的平面α共有7个，应选D。
图1例2、在四棱锥P—ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（）种。
A. 40B. 48C. 56D. 62图2解析：如图2，满足题设的取法可分为三类：（1）在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有（种）不同的取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有（种）不同的取法；（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有（种）不同的取法。
故不同的取法共有（种）。
这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类既不重复，也不遗漏。
在例2中，最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。
二、灵活转化异面问题例3、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A. 18对B. 24对C. 30对D. 36对解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线。
故选D。
利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对问题的常用方法。
例4、四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。
现有编号为①②③④的四个仓库，用来存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（）A. 96B. 48C. 24D. 0图3解析：如图3，分别用1～8标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下（其实就是异面直线配对）：则8种产品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，6）、（4，7）”两种可能，故所求的方法总数为（种），应选B。
组合问题解决简单的组合问题
组合问题解决简单的组合问题组合问题是数学中一类经典的问题，它涉及组合数学、概率论等多个领域。
本文将介绍如何解决简单的组合问题，并通过实例来进一步阐述。
一、组合问题的基本概念在开始解决组合问题之前，我们首先需要了解组合问题的基本概念。
在组合数学中，组合是指从给定的元素集合中选取特定数量的元素，而不考虑元素的顺序。
这里的元素可以是数字、字母或者其他对象。
二、解决组合问题的方法解决组合问题的方法有多种，下面将介绍两种常用的方法：穷举法和公式法。
1. 穷举法穷举法是组合问题最直观的解决方法之一。
它通过列举所有可能的组合情况来找到符合条件的组合。
在这个过程中，我们需要考虑组合的长度、元素的种类和元素的顺序等因素。
例如，假设有3个元素A、B、C，我们需要从中选取2个元素的所有组合。
那么按照穷举法的思路，我们将A、B、C三个元素两两组合，得到的所有组合情况为：AB、AC、BC。
这样我们就找到了所有符合条件的组合。
2. 公式法在解决组合问题时，我们可以利用组合数的性质来简化求解过程。
在数学中，组合数可以通过以下公式来计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中，n表示元素的总数，k表示选取的元素个数，!表示阶乘。
以之前的例子为例，如果我们要求解3个元素中选取2个元素的组合数，那么根据上述公式，我们可以计算出：C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!)= 3。
三、实例分析接下来，通过一个具体的实例来演示如何解决简单的组合问题。
假设有一家电商平台，它有4种商品A、B、C、D，现在需要从中选择3种商品进行促销活动。
根据之前介绍的方法，我们可以使用穷举法来找到所有可能的组合情况。
我们将列举出所有的组合情况，并判断是否满足条件：选取3种商品，不考虑顺序。
1. 选择A、B、C三种商品；2. 选择A、B、D三种商品；3. 选择A、C、D三种商品；4. 选择B、C、D三种商品。
通过穷举法，我们得到了4种满足条件的组合情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立体几何中组合问题的几种解法
解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。
1 直接求解法
例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?
分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。
解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。
∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)
本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]
例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?
解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。
根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。
解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。
其余的任4点都能构成一个三棱锥。
因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。
2 从几何概念上求解［2］
例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?
此题易错解，仿上例。
错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。
错解二：从10个点中任取5个点，有Ｃ■种取法，去掉6点共面的Ｃ■■个，共有Ｃ■－Ｃ■■=25－26=246(个)。
看来两种解法结果一样，认为此结果必对无疑。
其实不然，由四棱锥的定义知：四棱锥的底面是平行四边形，故四棱锥的底面的四个点，只能从共面的6个点中取，有Ｃ64种，顶点从不共面的4个点中取，有Ｃ1■种。
因此，构成四棱锥的个数有Ｃ64Ｃ1■=60(个)。
3 从图形中求解
例4：正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?
错解一：从6个顶点中任取3个点，构成的三角形有Ｃ■■个，再次从6个顶点中任取2个点，再与中心点构成的三角形有Ｃ2■Ｃ1■(个)，共有三角形Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ1■=20+15=35(个)。
错解二：正六边形的6个顶点与它的中点共7个点中任取三个点构成的三角形的个数有Ｃ■■=35(个)。
这两种求法都忽略了图形中三点共线的情况。
即三条对角线(过正六边形的中心)上的三点共线。
因此，正确的解法应是：取中心点的方法有Ｃ2■Ｃ1■－3=12。
不取中心点的方法有Ｃ■■个，共组成角形有Ｃ■■+ Ｃ2■Ｃ1■－3=32(个)。
例5：如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有多少对?
解：由六棱锥的图形知六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配，从6条侧棱中任取一条有Ｃ1■种，再从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有Ｃ1■种，共有Ｃ1■Ｃ1■=24(对)。
例6：以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有几个?
解：不共面的四个点都可以构成一个四面体，从正方体的8个顶点中任取4个有Ｃ4■种取法，再结合图形去掉四点共面的情况，易知，四点共面的有6个表面，以及6个对角面。
因此，所求四面体的个数为Ｃ4■-12=70-12-58(个)。
例7：用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥?
解：结合正五棱柱的图形，以不同类型的四棱锥的底面可分为以下几类：①以棱柱的底面为四棱锥底面的共有2Ｃ4■Ｃ1■种；②以棱柱的侧面为四棱锥的底面的共有2Ｃ1■Ｃ1■种；③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有Ｃ1■Ｃ1■种；
④以棱柱的底面的对角线与相对面的一条平行边为底面的四棱锥共有2Ｃ1■Ｃ1■种。
综合以上情况，可构成的四棱锥共有2Ｃ4■Ｃ1■+2Ｃ1■Ｃ1■+Ｃ1■Ｃ1■+2Ｃ1■Ｃ1■=50+30+30+60=170(个)。
例8：在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数的有多少?
解：结合图形，共线的三点组可分为三类：两端点都为顶点的(则中点为面的中心或正方体的中心)的共线三点组共有Ｃ2■=28(个)；两端点都为面的中心(则中点是正方体的中心)的共线三点组共有3个；两端点都为各棱中点的共线三点组，六个面上共(过面的中心)有2×6(个)，对角面(过正方体的中心)的共线三点线共6个。
所以共有28+3+12+6=49(个)。
4 构造几何图形求解
例9：在正方体的8个顶点的所有线中，有多少对异面直线?
解：构造四面体，因为一个四面体的6条棱中有3对异面直线，而一个正方形的8个顶点可构成四面体的个数是(Ｃ4■－12)个；成为异面直线有3(Ｃ4■－12)=3(70－12)=174(对)。
参考文献
1 王有奎等.排列组问题的类型及解答策略口[J]．数学通讯，
2003(5)：13～14
2 金日制普通高级中学数学．数学第二册[下][M].人民教育
出版社中学教学室，2004。