数值计算方法试题及答案

【
数值计算方法试题一
一、 填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211
0)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，
则
a =( )，
b =（ ），
c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
0)(( )，
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((
)，当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n k k
( )。

；
5、设1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f
和=∆07
f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞
=0)(k k
x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=
1
4)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨
⎧=+-=-2211
21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题
00
(,)()y f x y y x y '=⎧⎨
=⎩的改进欧拉法
⎪⎩⎪
⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]
0[111]
0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是
阶方法。

10、设
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）
条件时，这种分解是唯一的。

二、 $
三、 二、选择题（每题2分）
1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x
k k +=+)()
1(收敛的充要条件是
（ ）。

（1）1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
⎰∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中，当系数
)
(n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）
时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
4、若用二阶中点公式))
,(4,2(1n n n n n n y x f h
y h x hf y y +++=+求解初值问题
1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为
（ ）。

(1)20≤<h , (2)20≤≤h , (3)20<
<h , (4)20<≤h ,
三、1、（8分）用最小二乘法求形如2
bx a y +=的经验公式拟合以下数据：
2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx
e x ⎰-1
0时，
(1) (1) 试用余项估计其误差。

（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种
不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)
x
x 1
1+
=对应迭代格式
n n x x 1
11+
=+；（3）13-=x x 对应迭代格式
131-=+n n x x 。

判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，
精确到小数点后第三位。

选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。

2、（8分）已知方程组f AX =，其中 《
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f
（1） （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2） （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR
迭代法。

五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪
⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dx
dy
用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足
)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =
六、（下列2题任选一题，4分） 1、 1、 数值积分公式形如 《
⎰'+'++=≈1
)
1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf
（1） （1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽
量高；（2）设]1,0[)(4
C x f ∈，推导余项公式
⎰-=1
)
()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。

2、 2、 用二步法
)],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα
求解常微分方程的初值问题⎩⎨
⎧=='00)()
,(y x y y x f y 时，如何选择参数θαα,,10使方
法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二
：
一、判断题：（共16分，每小题２分）
１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵
U ，使LU A =唯一成立。

（ ）
２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。

（ ）
3、形如)
()(1i n
i i b
a x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代
数精确度的次数为12+n 。

（ ）
４、矩阵⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。

（ ） 5、设⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。

（用∞⋅） （ ） 6、设n n R A ⨯∈，n
n R Q ⨯∈，且有I Q Q T
=（单位阵），则有22QA A =。

（ ）
7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。

（ ） }
8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解：
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A ，则b a ,的值分别为=a 2，=b 2。

（ ） 二、填空题：（共20分，每小题2分）
1、设
102139)(2
48+++=x x x x f ，则均差 =]2,,2,2[810 f __________，=]3,,3,3[9
10 f __________。

2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数，[]b a p ,∈为)(x f 的
一个m 重零点，Newton 迭代公式
)()
('1k k k k x f x f m
x x -=+的收敛阶至少
是 __________阶。

３、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到__________阶的连续导数。

4、向量T X )2,1(-=,矩阵
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1327A ，则 …
=1AX __________，=∞)(A cond __________。

5、为使两点的数值求积公式：⎰-+≈1
1
10)
()()(x f x f dx x f 具有最高的代
数精确度，则其求积基点应为=1x __________，=2x __________。

6、设n n R A ⨯∈，A A T =，则)(A ρ（谱半径）__________2A 。

（此处
填小于、大于、等于）
7、设
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=2141021A ，则=∞→k k A lim __________。

三、简答题：（9分）
1、 1、 方程x x 24-=在区间[]2,1内有唯一根*x ，若用迭代公式：
2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0( =k ，则其产生的序列{}k x 是否收敛于*x 说明理由。

2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选
主元的技术
3、 3、 设001.0=x ，试选择较好的算法计算函数值
2
cos 1)(x x x f -=。

,
四、（10分）已知数值积分公式为：
)]
()0([)]()0([2)(''20
h f f h h f f h
dx x f h
-++≈⎰λ，试确定积分公式中的参
数λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

五、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为：
2,1,00)(2101=>+=
+k x x a
x x k
k k
证明：对一切a x k k ≥=,,2,1 ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。

六、（9分）数值求积公式⎰+≈3
)]
2()1([23
)(f f dx x f 是否为插值型求积公
式为什么其代数精度是多少
七、（9分）设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异，X 为精确解，0≠b ，若向量~X 是b AX =的一个近似解，残向量~
X A b r -=，
证明估计式：b r
A cond X
X
X )
(~
≤-（假定所用矩阵范数与向量范数
相容）。

、
八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数，试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ，并导出
九、(9分)设)(x n ϕ是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列，)1,,,2,1(+=n n i x i 为{})(1x n +ϕ的零点，
)1,,,2,1)((+=n n i x l i 是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值
基函数，
∑⎰+=≈1
1
)
()()(n k k k b a
x f A dx x w x f 为高斯型求积公式，证明：
（1） （1）当j k n j k ≠≤≤,,0时，0
)()(1
1
=∑+=i j i k
n i i x x A ϕϕ
（2）⎰≠=b
a
j k j k dx x w x l x l )
(0
)()()(
（3）∑⎰
⎰+==1
12
)()()(n k b a b
a
k
dx
x w dx x w x l 十、（选做题8分） ]
若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+ ω，
),,1,0(n i x i =互异，求],,,[10p x x x f 的值，其中1+≤n p 。

数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
(1) (1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式，使计算结果较精确 。

(2) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间
[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。

(3) (3) (2分)设
()⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+=212
221x x x x x f ，则()=x f ' (4) ]
(5) (4) (3分)设
()⎩⎨⎧≤≤+++≤≤=21,10,22
3
3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则
(6)
a= , b= , c= 。

(7) (5) (3
分)若用复化梯形公式计算⎰
10
dx
e x ，要求
误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。

(8) (6) (6分)写出求解方程组⎩⎨
⎧=+-=+24.01
6.12121x x x x 的
Gauss-Seidel 迭代公式 (9) ，
迭
代
矩
阵
为 ， (10) 此迭代法是否收敛 。

(11) (7) (4分)设
A =⎛⎝ ⎫⎭⎪
5443,则=∞A ，()Cond ∞=A 。

(12) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题
()10,
10'=-=y y y ，为保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范
围为 二. (64分)
(1) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的
根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

(2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值
法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

(3) ;
(4)
(3) (10分)求()x
e x
f =在区间[0,1]上的1次最佳
平方逼近多项式。

(5) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分
()⎰
=1
0sin dx
x x I 的近似值，要求误差限为5105.0-⨯。

(6) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组：
(7) ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++27
6234532424321321321x x x x x x x x x
(8) (6) (8分)求方程组 ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛12511213121x x 的最小二乘解。

(9) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：
(10) ⎩⎨⎧=≤≤=2)1(2.11,y x y x dx dy
(11) 用改进的Euler 方法计算y (.)12
的近似值，取步长2.0=h 。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)
满足：
(2) ()151=p ，()201'=p ，()301''=p ，()572=p ，()722'=p
(3) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求
积公式，并求出其代数精度：
(4) ()()121101
f A f A dx x xf +⎪⎭⎫
⎝⎛≈⎰
(5) <
(6)
(3) (6分)用幂法求矩阵
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的
近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为()T
0,1。

(7) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 (8) ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤=
(9) 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N
(10) 的公式，使其精度尽量高，其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=,
i=0,1,…,N, (11) ()N a b h -=
(12) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边
值问题
(13) ()()()()()⎩⎨
⎧==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程
组。

数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
(13) (1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式，使计算结果较精确 。

(14) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间
[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。

(15) (
(16)
(3) (2分)设
()⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=212
221x x x x x f ，则()=x f ' (17) (4) (3分)设
()⎩⎨⎧≤≤+++≤≤=21,10,22
3
3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则
(18) a = , b= , c= 。

(19) (5) (3分)若用复化梯形公式计算⎰1
dx
e x ，要求
误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。

(20) (6) (6分)写出求解方程组⎩⎨
⎧=+-=+24.016.12121x x x x 的
Gauss-Seidel 迭代公式 (21) ，
迭代矩阵
为 ， (22) 此迭代法是否收敛 。

(23) (7) (4分)设
A =⎛⎝ ⎫
⎭⎪
5443,则=∞A ，()Cond ∞=A 。

(24) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题
()10,
10'=-=y y y ，为保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范
围为 二. (64分)
(12) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的
根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。

(13) ~
(14)
(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

(15) (3) (10分)求()x
e x
f =在区间[0,1]上的1次最佳
平方逼近多项式。

(16) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分
()⎰=1
0sin dx
x x I 的近似值，要求误差限为5105.0-⨯。

(17) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组：
(18) ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++27
6234532424321321321x x x x x x x x x
(19) (6) (8分)求方程组 ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛12511213121x x 的最小二乘解。

(20) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题：
(21) ⎩⎨⎧=≤≤=2)1(2
.11,y x y x dx dy
(22) 用改进的Euler 方法计算y (.)12
的近似值，取步长2.0=h 。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)
(14) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)
满足：
(15) ()151=p ，()201'=p ，()301''=p ，()572=p ，()722'=p (16) ?
(17) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求
积公式，并求出其代数精度：
(18)
()()121101
f A f A dx x xf +⎪⎭⎫
⎝⎛≈⎰
(19) (3) (6分)用幂法求矩阵
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为()T
0,1。

(20) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 (21) ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤=
(22) 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N
(23) 的公式，使其精度尽量高，其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=,
i=0,1,…,N, (24) ()N a b h -=
(25) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边
值问题
(26) ()()()()()⎩⎨
⎧==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b
x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程
组。

数值计算方法试题一答案 一、 一、填空题（每空1分，共17分） 1、（ 10 ） 2、（)0,22(-
)22,0(） 3、a =( 3 )，b =（ 3 ），c =
（ 1 ）
4、( 1 )、 ( j x )、( 324++x x )
5、 6 、25.2364945
26!77==⨯
6、 9
…
7、 0 8、1<a 9、 2 10、（
22
,
22-
）、
（ 0>ii l ）
二、 二、选择题（每题2分） 1、（(2)） 2、（（1）） 3、（（1）） 4、（（3））
三、1、（8分）解：},1{2x span =Φ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=2222
38312519
11
11
T A []3.730.493.320.19=T
y 解方程组 y A AC A T
T =
其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T
解得：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 、
2、（15分）解：
001302.0768
1
81121)(12][022==⨯⨯≤''--
=e f h a b f R T η
]
)()(2)([2)8(7
1∑=++=k k b f x f a f h
T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16
1
++++++⨯+=
6329434.0=
四、1、（15分）解：（1）32
1(31
)(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（ϕ，故收敛；
（2）
x x x 1
121)(2+
-
='ϕ，117.05.1<='）（
ϕ，故收敛； （3）23)(x x ='ϕ，
15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。

选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，
；
32476.15=x ，32472
.16=x
Steffensen 迭代：
k k k k k k k x x x x x x x +---
=+)(2))(())((2
1
ϕϕϕϕ
1
1211)1(333
2
3++-++-+-
=k k k k k x x x x x
计算结果：5.10=x ，324899.11=x ，324718.12=x 有加速效果。

2、（8分）解：Jacobi 迭代法：⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)
(2)1(3)(3)(1)1(2)
(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法：⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)
1(2)1(3)(3)1(1)1(2)
(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡--=+-=-0430430
43043
0)(1U L D B J ，
790569.0)410(85)(==或J B ρ
SOR 迭代法：⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+-=+++++ ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1()
1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2)
(2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω
、
五、1、（15分）解：改进的欧拉法：
⎪⎩⎪
⎨⎧+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),()
0(111)0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y
所以1)1.0(1==y y ；
经典的四阶龙格—库塔法：
⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎨
⎧
++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6
342312143211
hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ，所以1)1.0(1==y y 。

2、（8分）解：设)(3x H 为满足条件⎩⎨
⎧
='='=1,0)()()()(3
3i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式，
则 2
1203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得：
212202232)()()
()(x x x x x H x f k ---=
六、（下列2题任选一题，4分） —
1、解：将3
2,,,1)(x x x x f =分布代入公式得：
201,301,207,203-====
D B B A
构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足⎩⎨
⎧='='=1,0)()()()(3
3i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x
则有：⎰=1
03)()(x S dx x xH ， 2
2)4(3
)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ
dx x x f dx x S x f x x R 21
3
)4(10
)1(!4)(])()([)(-=-=⎰
⎰ξ
1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f =
⨯=-=⎰
2、解：
]
)(!3)(!2)()()(1()([)
)(!
3)(!2)()(()()(!3)(!2)()()()
4(323
2103
211,
+-'''+''-'-+'-+'''-''+'---+'''+''+'+=-=++n n n n n n n n n n n n n n n n h n x y h x y h x y h x y x y h x y h x y h x y h x y x y x y h x y h x y h x y y x y R θθαα
)
()()21661()()1221()
()11()()1(41312110h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''--++''-+-+'+-+--=θαθαααα
—
所以⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+-==--012210011110θαααα ⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===⇒230110θαα 主项：)(1253
n x y h ''' 该方法是二阶的。

数值计算方法试题二答案
一、 一、判断题：（共10分，每小题２分） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ） 二、 二、填空题：（共10分，每小题2分） 1、!89⨯、0 2、__二___ 3、__二___4、_16 、90__5、31
,3
1
-6、
= 7、0 三、 -
四、 三、简答题：（15分）
1、 1、 解：迭代函数为2ln /)4ln()(x x -=ϕ
12ln 1
2412ln 141)('<⨯-<⨯--=
x x ϕ
2、 2、 答：Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素)
(k kk a 全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使0)det(≠A ，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素)
(k kk a 的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避
免主元素)(k kk a =0
或)
(k kk
a 很小的情况发生，从而不会使计算中断
或因误差扩大太大而使计算不稳定。

3、
3、 解： +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n
n +-++-=--)!2()1(!4!2cos 12142n x x x x n
n
+-++-=--)!2()1(!4!21)(2
212n x x x f n n
五、 四、解：1)(=x f 显然精确成立；
%
x x f =)(时，]
11[]0[22220
-++==⎰h h h h xdx h
λ；
2
)(x x f =时，12122]20[]0[2332
2302
=⇒-=-++==⎰λλλh h h h h h h dx x h
； 3)(x x f =时，]
30[121
]0[2422340
3
h h h h h dx x h
-++==⎰；
4)(x x f =时，6]40[121]0[2553
2450
4
h h h h h h dx x h
=
-++≠=⎰；
所以，其代数精确度为3。

六、 五、证明：
2,1,0221)(211==⨯⨯⨯≥+=
+k a x a x x a x x k
k k k k
}
故对一切a x k k ≥=,,2,1 。

又1
)11(21
)1(2121=+≤+=+k
k k x a x x 所以k k x x ≤+1，即序列{}k x 是单调递减有
下界，
从而迭代过程收敛。

七、 六、解：是。

因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为
)2(121
)1(212)(f x f x x p ⨯--+⨯--=
⎰+=30)]2()1([23)(f f dx x p 。

其代数精度为1。

八、 七、证明：由题意知：r b X A b AX -==~
,
r
A X X r A X X r X X A 1~
1
~
~)(--≤-⇒=-⇒=-
"
又
b
A X X A AX b b AX ≤⇒
≤=⇒=1
所以
b A A cond b
r
A A X
X
X )
(1~
=≤
--。

八、解：设)2)(1()()(2--+=x x ax x N x H
)
1)(0(21
21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(2----=--+-+=x x x x x f x f f x N
所以)
2)(1()1(21
21)(--+---=x x ax x x x x H
由3)0('
=H 得：41=
a
所以
134541)(2
3-+-=
x x x x H
令)()()(x H x f x R -=，作辅助函数
)2)(1()()()()(2
----=t t t x k t H t f t g (
则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：21,0,，x t =
反复利用罗尔定理可得：
!4)()()4(ξf x k =
，)0)(()
4(=ξg
所以 )
2)(1(!4)()2)(1()()()()(2
)4(2
--=--=-=x x x f x x x x k x H x f x R ξ
九、 九、证明：形如
)
()()(1
1k b
a
n k k x f A dx x w x f ⎰∑+=≈的高斯（Gauss ）型
求积公式具有
最高代数精度2n+1次，它对)(x f 取所有次数不超过2n+1次
的多项式均精确成立
1）0
)()()()()(1
1
⎰∑==+=b
a
j k i j i k
n i i
dx x w x x x x A ϕϕϕϕ
2）因为)(x l i 是n 次多项式，且有
⎩⎨
⎧=≠=j i j
i x l j i 10)( 所以
)()()()()(1
1
==⎰∑+=i j i k b a n i i j k
x l x l A dx x w x l x l (j k ≠)
}
3）取)()(2x l x f i =，代入求积公式：因为)(2
x l i 是2n 次多项式，
所以
i
j
i
b
a n j j
i
A x
l A dx x w x l ==⎰∑+=211
)]([)()(
∑⎰
⎰∑+=+===1
111
2)()()(n k b
a
b a
n k k k
dx
x w A dx x w x l
故结论成立。

十、 十、解：
n
p x x
x f x x x f p
i p
i
j j j i
i p ≤=-=∑
∏=≠=0)
()
(],,,[0010
1
)!1()
(],,,[)1(110=+=++n f x x x f n n ξ
数值计算方法试题三答案
}
一.(24分) (1) (2分)
()x x x f ++=
11
(2) (2分) 10
(3) (2分) ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1221
22x x
x x (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477
(6) (6分) ()()
()() ,1,0,4.026.111112
211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--64.006.10 收敛 (7) (4分) 9 91 (8) (2分) h< 二. (64分) (1) (6分)
()()[]n n n x x x cos 141
1+=
=+φ，n=0,1,2,…
()()141
sin 41'<≤=
x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。

;
(2) (12分) 用Newton 插值方法：差分表：
≈11510+(115-100)(115-100)(115-121)
=
()2
5
83'''-
=x x f
()()()()00163.029*******
3
61144115121115100115!
3'''25
≈⨯⨯⨯≤---=
-ξf R
(3) (10分)设()()()x c c x c x c x 212211+=+=φφφ
()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121221
22111,,,,,,φφφφφφφφφφf f c c ，()1,1011==⎰dx φφ，()21,10
21==⎰xdx φφ，
()31
,1
0222==⎰dx x φφ，
()1)ex p(,101-==⎰e dx x f φ，()1)ex p(,1
02==⎰dx x x f φ ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112121121e c c ， ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛690.18731.021c c ,()x x 690.18731.0+=φ
()()x e e x 618104-+-=φ=+
(4) (10分) 【
()()0.9461458812140611=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
f f f f f S
5-12210933.0151
⨯=-≈
-S S S I 94608693.02=≈S I
或利用余项：()()
-+-+-==!9!7!5!31sin 8
642x x x x x x x f () -⨯+⨯-=!49!275142)
4(x x x f
()51
)4(≤
x f
()()54
)
4(4
5
105.0528801
2880-⨯≤⨯≤
-=
n f
n a b R
η，2≥n ， =≈2S I
(5) (10分)
;
()
T
x 0000.5,0000.3,0000.2=
(6) (8分) ()b A x A A T T =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2081466321x x ，
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=0000.23333.1x '
若用Householder 变换，则：
()⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛------→52073.236603.1052073.136603.0061880.446410.373205.1,b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→81650.00082843.241421.1061880.446410.373205.1
最小二乘解： ，T .
(7) (8分)
()5.0,001==y x f k ，())0.52380955.02.021.1,1012=⨯+=+=hk y x f k
()()1071429.25238095.05.01.0222101=+⨯+=++
=k k h
y y
三. (12分) (1) 差分表：
()()()()()()
4323
3
2
2345211711512015x x x x x x x x x x p ++++=--+-+-+-+=
其他方法：设()()()()()b ax x x x x p +-+-+-+=3
2111512015
令()572=p ，()722'=p ，求出a 和b
(2) 取f(x)=1,x ，令公式准确成立，得：
2110=
+A A ，312110=+A A 310=A ，61
1=A
f(x)=x 2时，公式左右=1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2
(3) ①⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==11001Av u , ()00.10,01)1(1==v u λ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==09950.09950.02111u u v ②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==095.105.1012Av u , ()108.10,12)2(1==v u λ,
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1083.09941.02222u u v ，
05
.011.0)2(1)1(1>=-λλ
③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==102.105.1023Av u , ()110.10,23)3(1==v u λ,
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1090.09940.02333u u v ， 05
.0002.0)
3(1)2(1<=-λλ
∴11.101≈λ，
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛≈1090.09940.01x (4) 局部截断误差=()11++-i i y t y
()()()()
()()()()()[
]
()()()()
3
2
1103
21103
2
''21'1''''''2
'h O x y h x hy h O x y h x hy x hy x y h O x y h x hy x y i
i i i i i i i i +⎪⎭
⎫
⎝⎛++--=+-++-+++=ββββββ
令0110=--ββ，0211=+β得
230=β，211
-=β， 计算公式为
()1132-+-+
=i i i i f f h
y y ，i=0,1,2,…
( 局部截断误差=()()
4
3
'''125h O x y h i + )
(5) 记N a b h )(-=,ih a x i +=,()i i x p p =,()i i x q q =,()i i x r r =,
()i i x y y =,i=0..N
()()i i i i i i
i i i r y q y y h p y y y h -=+-++--++-111122121, i=1..N-1 即()
i
i i i i i i r h y p h y q h y p h 2
12121221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-, i=1..N-1 (1)
043210=-+-y y y ,与(1)取i=1的方程联立消去y 2得
()()121112012222r h y hp q h y p -=+++-- (2)
0=N y ，与(1)取i=N-1的方程联立消去y N 得
()
12
11222221------=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-N N N N N r h y q h y p h (3)
所求三对角方程组：方程(2)，方程组(1)(i=1..N-2)，方程(3)。